Statisches System

Prosa-Definition¶

Ein Statisches System ist ein Aggregat aus einer endlichen Menge von Knoten im Weltkoordinatensystem, einer endlichen Menge gerichteter Stäbe, deren Trägerstrecken aus den Bauteilachsen eines zugehörigen Tragwerks gewonnen sind und deren Endpunkte in der Knotenmenge liegen, einer aus dem zugehörigen Tragwerk übernommenen Menge von Auflagern mit Wertigkeit pro Freiheitsgrad, einer aus dem zugehörigen Tragwerk übernommenen Menge von Lastfällen, einer Berechnungs-Theorie-Annahme und einer Referenz auf das Basistragwerk, das die bemessungstechnische Idealisierung des Tragwerks als Punkt-Stab-Modell für die Tragwerksanalyse darstellt, eine eigene technische Identität trägt und sich vom Tragwerk als bauteilbezogener Realität durch seinen Charakter als Abstraktions-Sicht unterscheidet.

Mathematische Definition¶

Sei

W das Weltkoordinatensystem (siehe hg_weltkoordinatensystem.md),
𝒰 der UUID-Raum nach hg_uuid.md,
𝒯 die Menge der Tragwerke nach hg_tragwerk.md,
𝓑 die Menge der Bauteile nach hg_bauteil.md,
𝓐 die Menge der Auflager nach hg_auflager.md,
𝓛 die (sammelbegrifflich geführte) Menge der Lastfälle nach EN 1990 / EN 1991 bzw. SIA 260 / SIA 261 (eigener Eintrag lastfall folgt; im aktuellen Glossarstand Forward-Verweis),
𝓟_W ⊂ ℝ³ die Menge der Punkte in W,
𝓢_W die Menge der Strecken in W nach hg_strecke.md.

Knoten und Stäbe¶

Ein Knoten des statischen Systems ist ein Punkt k ∈ 𝓟_W mit eigener Identität innerhalb des Systems. Die Knotenmenge K ist eine endliche Teilmenge von 𝓟_W; identische geometrische Punkte (im Sinne von LAENGE_EPS) werden zu einem Knoten kontrahiert (siehe Wohldefiniertheit, Knoten-Kontraktion).

Ein Stab des statischen Systems ist das Tripel

m := (uuid_m, traegerstrecke, basisbauteil)

mit

uuid_m ∈ 𝒰: Identität des Stabes innerhalb des Systems,
traegerstrecke ∈ 𝓢_W: die gerichtete Strecke des Stabes in W (Anfang und Ende ∈ K),
basisbauteil ∈ 𝒰: UUID des Bauteils b ∈ 𝓑, dessen Bauteilachse die Trägerstrecke geometrisch definiert.

Die Menge aller Stäbe ist M; die Endpunkte jedes Stabes liegen in K (Inzidenz-Bedingung S1, siehe unten).

Optional kann das System eine Menge F von Flächenelementen führen (Pendant zu IfcStructuralSurfaceMember, Folgearbeit; im aktuellen App-Stand F = ∅). F wird im Tupel als optionale Komponente mit Default-Wert ∅ geführt.

Berechnungs-Theorie¶

Sei 𝓣ʜ die Menge der Berechnungs-Theorie-Annahmen des statischen Systems:

𝓣ʜ := { linear_erster_ordnung,
        geometrisch_nichtlinear_zweiter_ordnung,
        materiell_nichtlinear,
        voll_nichtlinear_dritter_ordnung }.

Die App-Default-Wahl ist linear_erster_ordnung.

Tupel-Definition¶

Dann ist ein Statisches System das Tupel

S := (uuid, basistragwerk, K, M, F, A, L, theorie, bezeichnung)

mit den Komponenten

uuid ∈ 𝒰: technische Identität des Systems als Aggregat,
basistragwerk ∈ 𝒰: UUID des zugehörigen Tragwerks T ∈ 𝒯 (Pflicht; entspricht der physisch-analytischen Brücke IfcRelAssignsToProduct),
K ⊂ 𝓟_W, K endlich, K ≠ ∅: die Knotenmenge,
M endliche Menge von Stäben (m = (uuid_m, traeger, basisbauteil)),
F endliche Menge von Flächenelementen (Default: ∅; Folgearbeit),
A ⊂ 𝓐, A ⊆ T.A: die aus dem Basistragwerk übernommene Auflager-Menge,
L ⊂ 𝓛, L ⊆ T.L: die aus dem Basistragwerk übernommene Lastfall-Menge,
theorie ∈ 𝓣ʜ: die Berechnungs-Theorie-Annahme,
bezeichnung ∈ String ∪ {⊥}: freier Anzeigename.

Konsistenzbedingungen¶

(S1) Knoten-Stab-Inzidenz: für jeden Stab m ∈ M gilt m.traegerstrecke.anfang ∈ K ∧ m.traegerstrecke.ende ∈ K (im Sinne von LAENGE_EPS-Punkt-Identität).

(S2) Stab-Bauteilachsen-Konsistenz: für jeden Stab m ∈ M existiert ein b ∈ T.B mit b.uuid = m.basisbauteil, und die Trägerstrecke von m fällt im prismatischen Stab-Fall mit der Bauteilachse von b (siehe hg_bauteilachse.md) zusammen — oder ist im allgemeinen Fall eine zulässige Diskretisierung der Bauteilachse (Polygonzug-Approximation gekrümmter Bauteilachsen). Formal:

∀ m ∈ M : ∃ b ∈ T.B : b.uuid = m.basisbauteil
                    ∧ traegerstrecke(m) ≈ bauteilachse(b),

wobei „≈“ die LAENGE_EPS-Identität der Endpunkte im prismatischen Fall ist und im gekrümmten Fall die zulässige Approximation gemäss Diskretisierungs-Konvention.

(S3) Auflager-Knoten-Inzidenz: für jedes Punkt-Auflager a ∈ A mit a.manifestation.dimension = 0 gilt a.manifestation.ort ∈ K. Für Linien- und Flächen-Auflager (dimension ∈ {1, 2}) liegen die Trägerpunkte der Manifestation auf Stäben in M (Inzidenz im LAENGE_EPS-Sinn auf der jeweiligen Trägerstrecke); falls F ≠ ∅, alternativ auf Flächenelementen in F.

(S4) Konsistenz Auflager mit Basistragwerk: A ⊆ T.A. Die Auflager-Menge des statischen Systems ist eine Teilmenge der Auflager-Menge des Basistragwerks. Identische UUIDs bedeuten identisches Auflager; das statische System fügt keine neuen Auflager hinzu, sondern wählt aus den Tragwerks-Auflagern aus (typisch: A = T.A).

(S5) Konsistenz Lastfälle mit Basistragwerk: L ⊆ T.L (analog zu S4).

(S6) Knoten-Vollständigkeit: jeder Knoten k ∈ K ist mindestens einmal inzident — entweder Endpunkt eines Stabes in M, Ort eines Punkt-Auflagers in A oder Endpunkt eines Stützungs-Knotens eines Linien-/Flächen-Auflagers. Isolierte Knoten (ohne Inzidenz) sind unzulässig.

(S7) Stabilität als ableitbares Prädikat (Abzählformel-Notwendigkeitskriterium): das statische System trägt eine ableitbare Eigenschaft istStabil(): Boolean. Die Abzählformel im räumlichen Fall ist

n := a + s + z − 6 · k,

mit - a = Σ der Auflagerwertigkeiten (Anzahl gesperrter Freiheitsgrade über alle Auflager in A), - s = |M| (Anzahl der Stäbe), - z = Anzahl der Zwischenreaktionen / Nebenbedingungen (Gelenke, Gleitsteine etc.; im aktuellen Stand 0, weil Stabgelenke nicht modelliert sind), - k = |K| (Anzahl der Knoten).

Im ebenen Fall (Sonderfall der Projektion auf eine Ebene) gilt entsprechend n := a + s + z − 3 · k. Die Interpretation ist n > 0 ⇒ n-fach statisch unbestimmt; n = 0 ⇒ statisch bestimmt (notwendiges, nicht hinreichendes Kriterium — selbst bei n = 0 kann das System kinematisch verschieblich sein, wenn die Auflager-Reaktionsachsen linear abhängig sind); n < 0 ⇒ kinematisch verschieblich. Das hinreichende Kriterium ist die Nicht-Singularität der Koeffizientenmatrix der Gleichgewichtsbedingungen, formuliert in der Bemessungs- Schicht.

(S8) Theorie-Konsistenz: die gewählte Berechnungs-Theorie muss mit den Werkstoff- und Schlankheits-Verhältnissen der Bauteile in T.B konsistent sein (zugesichert, nicht hart geprüft im Glossar; formaler Nachweis in der Bemessungs- Schicht).

Geometrische Punktmenge¶

Die geometrische Punktmenge des statischen Systems in W ist

G_W(S) := K ∪ ⋃_{m ∈ M} traegerstrecke(m) ∪ ⋃_{f ∈ F} flaeche(f)
                ⊂ ℝ³.

Wohldefiniertheit¶

Existenz: für jedes konkrete Tragwerk T ∈ 𝒯 lässt sich ein statisches System konstruieren. Die kanonische Konstruktion ist:
Knotenmenge K := { p_a, p_e | für jede Bauteilachse von T.B } modulo LAENGE_EPS-Identität (Knoten-Kontraktion).
Stab-Menge M := { (uuid_m, bauteilachse(b).strecke, b.uuid) | b ∈ T.B } für stabförmige Bauteile (geometrie ∈ 𝒢_stab in hg_bauteil.md-Lesart).
F := ∅ (Default; Folgearbeit für Flächenbauteile).
A := T.A; L := T.L.
theorie := linear_erster_ordnung (Default). Diese kanonische Konstruktion ist Inhalt der Funktion Tragwerk.statischesSystem(), die in hg_tragwerk.md Implementierungshinweis als Folgearbeit angekündigt ist.
Eindeutigkeit der Identität: die UUID des statischen Systems ist unabhängig von der UUID seines Basistragwerks und unabhängig von den UUIDs anderer Aggregate. Mehrere statische Systeme können auf demselben Basistragwerk aufsetzen — z. B. mit unterschiedlicher Berechnungs-Theorie (lineares System für Gebrauchstauglichkeit, geometrisch nichtlineares System für Stabilitätsnachweis); jedes ist eine eigene Aggregat-Instanz mit eigener UUID.
Knoten-Kontraktion (Repräsentanten-Wohldefiniertheit): zwei geometrische Punkte p_1, p_2 ∈ 𝓟_W mit ‖p_1 − p_2‖ ≤ LAENGE_EPS werden bei der Konstruktion auf denselben Knoten in K abgebildet. Die Inzidenz-Bedingungen (S1, S3) verwenden die Knoten-Identität, nicht den geometrischen Punkt-Vergleich. Diese Konvention ist notwendig, weil zwei sich treffende Sparren-Bauteilachsen am Firstpunkt einen einzigen Knoten teilen müssen, auch wenn die nominalen End-Koordinaten der Bauteilachsen sich um Rundungsfehler unterscheiden.
Wohldefiniertheit unter Permutation: K, M, F, A, L sind Mengen (unsortiert); alle Aussagen über das statische System sind invariant unter Permutation der Elemente.
Konsistenz mit hg_tragwerk.md: die Stabilitäts- zusicherung (Bedingung 4 in hg_tragwerk.md) bleibt im Tragwerk qualitativ; der formale Nachweis wird hier im statischen System geführt (S7-Abzählformel als notwendiges Kriterium; hinreichend in der Bemessungs-Schicht). Diese Aufgabenteilung ist die intendierte Funktion des statischen Systems gegenüber dem Tragwerk.
Konsistenz mit hg_auflager.md: die Auflager-Wertigkeit ist bereits im auflager-Aggregat als 6-Tupel (Tx, Ty, Tz, Rx, Ry, Rz) ∈ 𝓦 modelliert; das statische System übernimmt die Wertigkeit unverändert in die Abzählformel S7. Eine zusätzliche Idealisierung ist nicht nötig.
Konsistenz mit hg_bauteilachse.md: die Stab-Träger- strecken sind die Bauteilachsen-Strecken; die App-Konvention zur Vorzeichenausrichtung der Bauteilachse (siehe hg_bauteilachse.md) wird vom statischen System geerbt.
Nicht-Zirkularität: die Definition stützt sich auf bereits definierte Begriffe (tragwerk, bauteil, bauteilachse, auflager, punkt, gerade, strecke, uuid, weltkoordinatensystem, toleranzen). Sie verweist auf lastfall und fe_modell ausschließlich abgrenzend (Frontmatter abgrenzung_zu); auf die Sub-Begriffe knoten und stab als innere Bestandteile, deren eigene Glossar- Einträge als Folgearbeit angelegt werden.
Stabilität als notwendiges Kriterium: S7 prüft die Abzählung n = a + s + z − 6k. Bei n = 0 ist das System nicht zwingend stabil; ein hinreichender Nachweis erfordert die Determinante der Koeffizientenmatrix der Gleichgewichtsbedingungen und gehört in die Bemessungs- Schicht. Diese Asymmetrie ist im Glossar explizit benannt und folgt der Wikipedia- und Petersen-Lesart.

Erläuterung (nicht normativ)¶

Tragwerk und Statisches System — zwei Lesarten desselben Substrats¶

Das App-Modell trennt am selben physischen Holzbauwerk zwei Aggregate mit eigener UUID und unterschiedlicher Lesart:

Aspekt	Tragwerk (`hg_tragwerk.md`)	Statisches System (dieser Eintrag)
Lesart	bauteilbezogene Realität	bemessungstechnische Idealisierung
Geometrische Träger	Bauteil-Polyeder in W	Knoten als Punkte + Stäbe als Strecken in W
Bauteil-Bezug	direkt (B ⊂ 𝓑)	indirekt über `basisbauteil`-UUID je Stab
Auflager	Aggregat mit geometrischer Manifestation + Wertigkeit	übernommen aus Tragwerk
Lastfälle	Konzeptionelle Erfassung	übernommen aus Tragwerk
Stabilität	qualitativ zugesichert	formal über Abzählformel n = a + s + z − 6k
IFC-Pendant	`IfcBeam` / `IfcColumn` / `IfcWall` + `IfcRelConnectsElements`	`IfcStructuralAnalysisModel` mit `IfcStructuralCurveMember` / `…Connection` / `…Activity`
Brücke zur jeweils anderen Lesart	Funktion `Tragwerk.statischesSystem()`	Feld `basistragwerk` ∈ 𝒰

Die Parallelität zu hg_auflager.md Drei-Schichten-Trennung (Bearbeitung / Auflagefläche / Auflager) ist beabsichtigt: dort die Trennung am einzelnen Stützungs-Ort, hier die Trennung am gesamten Tragwerk. Beide stehen in einer Abstraktions-Relation, sind aber nicht identisch — die App führt sie als zwei getrennte UUIDs mit expliziter Brücke.

Bestandteile¶

Bestandteil	App-Symbol	Lehrbuch-Sprache	IFC-4.3-Pendant
Knoten	K	Stab-Verbindungs-Punkte, Lasteinleitungs- und Lager-Orte	implizit über Stab-Endpunkte und `IfcStructuralPointConnection`
Stab	M	1D-Idealisierung; Achse = Schwerlinie der Querschnitte	`IfcStructuralCurveMember`
Flächenelement (Folgearbeit)	F	2D-Idealisierung mit Bezugsfläche	`IfcStructuralSurfaceMember`
Auflager	A	Loslager / Festlager / Einspannung; Federlager	`IfcStructuralConnection` + `IfcBoundaryCondition`
Lastfall (Folgearbeit `lastfall`)	L	Eigengewicht, Nutzlast, Schnee, Wind, Erdbeben	`IfcStructuralAction` in `IfcStructuralLoadGroup`
Lagerreaktion (Berechnungs-Ergebnis)	(abgeleitet)	Resultat aus Σ F = 0, Σ M = 0	`IfcStructuralReaction` in `IfcStructuralResultGroup`
Bestimmtheits-Klassifikation	abgeleitet aus S7	bestimmt / n-fach unbestimmt / kinematisch verschieblich	keine eigene Entität; aus dem Modell ableitbar

Abzählformel — anwendungs-nahe Lesart¶

Für das paradigmatische Sparrenpaar (ebenes Sparrendach, symmetrisch, ohne Mittelpfette):

k = 3 (Traufknoten links, Firstknoten, Traufknoten rechts),
s = 2 (zwei Sparren),
z = 0 (keine Zwischengelenke),
a = 4 (zwei Festlager an den Traufen, je 2 gesperrte Translationen im ebenen Fall),
ebene Abzählformel: n = 4 + 2 + 0 − 3·3 = −3.

Der Sparrenpaar ohne Zugglied ist also dreifach kinematisch verschieblich — das bekannte Lehrbuch-Resultat, weshalb das Sparrendach ein Zugglied (Deckenbalken oder Kehlbalken) braucht. Mit einem Zugglied: s = 3, n = 4 + 3 + 0 − 3·3 = −2. Mit zwei Zuggliedern (Decken- und Kehlbalken): s = 4, n = 4 + 4 + 0 − 3·3 = −1. Eine kinematisch stabile Konfiguration erfordert weitere Sperrungen (z. B. Übergang zu einem Pfettendach mit Mittelpfette als zusätzlichem Auflager).

Die App führt diese Abzählung als statischesSystem.bestimmtheit(): Bestimmtheit (Folgearbeit, siehe Implementierungshinweis).

Berechnungs-Theorie¶

Die Berechnungs-Theorie ist ein eigenes Tupel-Feld, weil sie nicht aus der Geometrie ableitbar ist, sondern eine Modellierungs-Entscheidung trägt:

I. Ordnung (linear, kleine Verformungen am unverformten System): Standard für Gebrauchstauglichkeits-Nachweise schlanker, stabiler Holz-Tragwerke.
II. Ordnung (geometrisch nichtlinear, Gleichgewicht am verformten System): erforderlich bei Stabilitätsnachweis druckbeanspruchter schlanker Stäbe (Knicken), bei weicheren Tragwerken (Pendelstützen, schmale Hochbauten).
III. Ordnung (vollständig nichtlinear, geometrisch und materiell): in der Holzbau-Praxis selten; bei Brand-Bemessung, Erdbeben, plastischen Reserven.

Die App-Default-Wahl ist linear_erster_ordnung.

Statisches System vs. FE-Modell¶

Das statische System ist die analytische Modellierung mit Knoten, Stäben, Auflagern und Wertigkeiten — kontinuierlich. Das FE-Modell ist die numerische Diskretisierung des statischen Systems für eine Computer-Berechnung mit Element- Vernetzung, Ansatzfunktionen und Lösungsverfahren. Beide stehen in einer weiteren Abstraktions-Relation: FE-Modell ist Verfeinerung des statischen Systems, nicht Synonym. Das FE-Modell wird im aktuellen App-Plan nicht als eigener Glossar-Eintrag geführt (siehe Frontmatter quellenkonflikt, HG §6 (D)).

IFC-Mapping¶

Aspekt	IFC-4.3-Pendant
Statisches System als Aggregat	`IfcStructuralAnalysisModel` mit GlobalId
Knoten (Punkt-Auflager-Inzidenz)	`IfcStructuralPointConnection` mit `AppliedCondition`
Stab	`IfcStructuralCurveMember`
Flächenelement (Folgearbeit)	`IfcStructuralSurfaceMember`
Berechnungs-Theorie	`IfcStructuralAnalysisModel.PredefinedType` (LOADING_3D, LOADING_PLANE_FRAME …)
Übernahme der Auflager aus Tragwerk	`IfcStructuralConnection`-Instanzen, gemeinsam zwischen Tragwerk und statischem System
Lastfall-Gruppen	`IfcStructuralLoadGroup` (Subtypen: LoadCase, LoadCombination)
Berechnungs-Ergebnis	`IfcStructuralResultGroup` mit `IfcStructuralReaction` und Schnittgrössen
Physisch-analytische Brücke	`IfcRelAssignsToProduct` zwischen `IfcStructuralMember` und `IfcBeam`/`IfcColumn`/`IfcWall`

Die App-Aggregat-Struktur folgt damit eng dem IFC-4.3-Schema der Structural-Analysis-Domain. Das Tupel-Feld basistragwerk ist das App-Pendant zur IfcRelAssignsToProduct-Beziehung. Das BTLx-Schema (design2machine) kennt keine Pendant-Entität; die Bemessungs-Information ist dort nicht abbildbar.

Beziehungen¶

Oberbegriff: null (analog verbindung, auflager). Statisches System ist eine eigenständige Abstraktions-Sicht auf das Tragwerk, kein Subtyp eines fachlichen Trägerbegriffs. Siehe Frontmatter quellenkonflikt für die Begründung der Wahl gegen oberbegriff: tragwerk.
Bestandteile (partitiv):
Knoten (knoten, Folgearbeit, sealed-Klasse Element- intern im statischen System): Punkte in W mit eigener Identität innerhalb des Systems.
Stab (stab, Folgearbeit): 1D-Element mit gerichteter Trägerstrecke, Endknoten-Inzidenz und Bauteil-UUID-Referenz.
Flächenelement (flaechenelement, Folgearbeit; Default ∅): 2D-Element mit Bezugsfläche.
Auflager-Auswahl (Teilmenge von T.A).
Lastfall-Auswahl (Teilmenge von T.L; lastfall als eigener Eintrag folgt).
Berechnungs-Theorie-Annahme.
Spezialisierungen nach Theorie (Folgearbeit, falls benötigt; im aktuellen Stand im theorie-Feld aufgelöst): lineares statisches System, geometrisch nichtlineares statisches System (Theorie II. Ordnung) etc.
Verwendung:
Abgeleitet aus einem Tragwerk (tragwerk) via Tragwerk.statischesSystem(). Das Feld basistragwerk trägt die UUID des Tragwerks.
Eingangsgrösse für die Bemessungs-Schicht (Folgearbeit): Tragsicherheits- und Gebrauchstauglichkeits-Nachweise nach EN 1995-1-1 / SIA 265 setzen das statische System voraus.
Abgrenzung:
Tragwerk (tragwerk): bauteilbezogene Realität. Statisches System ist die idealisierte Modellierung desselben physischen Substrats; beide sind getrennte Aggregate mit eigener UUID. Die Brücke ist das Feld basistragwerk.
Bauteil (bauteil): Tragwerks-Substanz im W; Stäbe im statischen System sind Idealisierungen der Bauteile, nicht die Bauteile selbst. Der Bezug ist über die UUID-Referenz stab.basisbauteil explizit.
Bauteilachse (bauteilachse): geometrische Hauptachse eines Stabbauteils; die Trägerstrecke eines Stabes im statischen System ist die Bauteilachsen-Strecke des zugehörigen Bauteils. Die Bauteilachse lebt am Bauteil, der Stab im statischen System.
Auflager (auflager): Aggregat mit Manifestation und Wertigkeit. Statisches System übernimmt Auflager unverändert aus dem Basistragwerk (A ⊆ T.A); keine zusätzliche Idealisierung.
Verbindung (verbindung): Aggregat auf der Anschluss- Bemessungs-Seite. Verbindungen sind nicht Bestandteil des statischen Systems; ihre Federsteifigkeiten gehen gegebenenfalls als Gelenkfreiheiten oder Federgelenke in die Stab-Modellierung ein (Folgearbeit).
Lastfall (lastfall, Folgearbeit): konzeptuelle Einwirkung. Statisches System trägt eine ausgewählte Lastfall-Menge L ⊆ T.L.
FE-Modell (fe_modell, Korpus-Begriff dauerhaft ohne eigenen Eintrag, HG §6 (D)): numerische Diskretisierung des statischen Systems. Statisches System ist analytisch und kontinuierlich; FE-Modell ist diskret und numerisch.
Knoten (knoten, Folgearbeit) und Stab (stab, Folgearbeit): partitive Bestandteile des statischen Systems mit eigenen Folge-Glossareinträgen, sobald die sealed-Klasse Element (statisches-System-intern, nicht zu verwechseln mit der ontologischen element- Basisklasse aus hg_bauteil.md) im Code implementiert wird.

Implementierungshinweis¶

Datentyp (Domänen-Schicht, Kotlin, Schicht domain.aggregat.statischessystem):

package domain.aggregat.statischessystem

import domain.aggregat.auflager.Auflager
import domain.bauteil.Bauteil
import domain.bauteil.Tragwerk
import domain.geometrie.Punkt
import domain.geometrie.Strecke
import java.util.UUID

/** Berechnungs-Theorie-Annahme des statischen Systems. */
sealed interface BerechnungsTheorie {
    data object LinearErsterOrdnung                    : BerechnungsTheorie
    data object GeometrischNichtlinearZweiterOrdnung   : BerechnungsTheorie
    data object MateriellNichtlinear                   : BerechnungsTheorie
    data object VollNichtlinearDritterOrdnung          : BerechnungsTheorie
}

/** Klassifikation der Bestimmtheit aus S7-Abzählformel. */
sealed interface Bestimmtheit {
    data class StatischUnbestimmt(val grad: Int)       : Bestimmtheit
    data object StatischBestimmt                       : Bestimmtheit
    data class KinematischVerschieblich(val grad: Int) : Bestimmtheit
}

/** Knoten im statischen System: Punkt in W mit eigener Identität. */
data class Knoten(
    val uuid: UUID,
    val ort: Punkt
)

/** Stab im statischen System: gerichtete Strecke mit Bauteil-UUID-Referenz. */
data class Stab(
    val uuid: UUID,
    val traegerstrecke: Strecke,             // Anfang/Ende in der Knotenmenge
    val basisbauteil: UUID                   // FK auf Bauteil im Basistragwerk
)

/**
 * Statisches System: Aggregat aus Knoten, Stäben (1D), optional
 * Flächenelementen (2D, Folgearbeit), übernommenen Auflagern und
 * Lastfällen, Berechnungs-Theorie-Annahme und Referenz auf das
 * Basistragwerk.
 *
 * Glossar: hg_statisches_system.md
 *
 * NICHT Subtyp eines fachlichen Trägerbegriffs. Eigenes Aggregat,
 * analog Verbindung und Auflager. Brücke zum Tragwerk über das
 * Feld basistragwerk (Pendant zu IfcRelAssignsToProduct).
 *
 * IFC: IfcStructuralAnalysisModel mit IfcStructuralCurveMember,
 *      IfcStructuralConnection, IfcStructuralActivity.
 * BTLx: keine Pendant-Entität.
 */
data class StatischesSystem(
    val uuid: UUID,                          // eigene Identität als Aggregat
    val basistragwerk: UUID,                 // FK auf Tragwerk; physisch-analytische Brücke
    val knoten: Set<Knoten>,                 // K, |K| >= 1
    val staebe: Set<Stab>,                   // M
    val flaechenelemente: Set<Flaechenelement> = emptySet(),  // F, Default ∅, Folgearbeit
    val auflager: Set<Auflager>,             // A ⊆ T.A
    val lastfaelle: Set<Lastfall> = emptySet(),               // L ⊆ T.L, Folgearbeit
    val theorie: BerechnungsTheorie = BerechnungsTheorie.LinearErsterOrdnung,
    val bezeichnung: String? = null
) {
    init {
        // S1. Knoten-Stab-Inzidenz       (Modell-Validierung)
        // S2. Stab-Bauteilachsen-Konsistenz (Modell-Validierung mit Tragwerks-Lookup)
        // S3. Auflager-Knoten-Inzidenz   (Modell-Validierung)
        // S4. A ⊆ T.A                    (Modell-Validierung mit Tragwerks-Lookup)
        // S5. L ⊆ T.L                    (Modell-Validierung)
        // S6. Knoten-Vollständigkeit     (keine isolierten Knoten)
        // S7. Stabilität abgeleitet      (siehe bestimmtheit())
    }

    /** Abzählformel im räumlichen Fall (S7, notwendiges Kriterium). */
    fun bestimmtheit(): Bestimmtheit {
        val a = auflager.sumOf { it.gesperrteFhg() }
        val s = staebe.size
        val z = 0                                // Stabgelenke noch nicht modelliert
        val k = knoten.size
        val n = a + s + z - 6 * k
        return when {
            n > 0  -> Bestimmtheit.StatischUnbestimmt(n)
            n == 0 -> Bestimmtheit.StatischBestimmt
            else   -> Bestimmtheit.KinematischVerschieblich(-n)
        }
    }

    /** Notwendiges Stabilitäts-Kriterium aus S7. */
    fun istStabilNotwendig(): Boolean = bestimmtheit() !is Bestimmtheit.KinematischVerschieblich

    /** Hinreichendes Stabilitäts-Kriterium: Folgearbeit (Bemessungs-Schicht). */
    fun istStabil(): Boolean = TODO("Hinreichendes Kriterium: Determinante der Gleichgewichts-Matrix")
}

/** Platzhalter-Typ; eigener Eintrag folgt. */
data class Flaechenelement(val uuid: UUID /* ... */)
// Lastfall ist in domain.aggregat.lastfall.Lastfall ausformuliert
// (siehe hg_lastfall.md).

Einheit: Längen in mm (Double); Winkel intern in Radiant; Lasten in der späteren Lastfall-Schicht in N, N/m, N/m² (SI).
Identität: uuid ist Pflicht und eigenständig (eigene UUID des Aggregats, RFC 9562 v7, persistent).
Foreign-Key-Regel: basistragwerk, stab.basisbauteil und alle Auflager-Referenzen gehen ausschließlich auf UUIDs (Memory project_bauteil_identifikation).
Pflicht- und Optionalfelder:
basistragwerk, knoten, staebe, auflager, theorie sind Pflicht.
flaechenelemente (Default ∅, Folgearbeit für 2D-Pendant), lastfaelle (Default ∅ im Entwurfsstadium vor Bemessung), bezeichnung (frei) sind optional.
Invarianten (in der Aggregat-Fabrikfunktion StatischesSystem.bilde(modell: Modell, tragwerk: Tragwerk, …) geprüft; bei Verletzung Resultat.Fehler, niemals Exception):
knoten.isNotEmpty() ⇒ sonst Entartet.LeeresSystem.
S1 (Knoten-Stab-Inzidenz): jeder Stab-Endpunkt ist im LAENGE_EPS-Sinn ein Knoten in knoten ⇒ sonst Entartet.StabEndpunktAusserhalbKnoten.
S2 (Stab-Bauteilachsen-Konsistenz): jeder stab.basisbauteil existiert in tragwerk.bauteile, und die Trägerstrecke entspricht der Bauteilachsen-Strecke (Toleranz LAENGE_EPS) ⇒ sonst Entartet.StabOhneBasisbauteil bzw. Entartet.TraegerstreckeAbweichend.
S3 (Auflager-Knoten-Inzidenz): Punkt-Auflager liegen auf Knoten; Linien-/Flächenauflager auf Stäben (bzw. Flächenelementen) ⇒ sonst Entartet.AuflagerOhneInzidenz.
S4, S5 (Teilmengen-Konsistenz): auflager ⊆ tragwerk.auflager und lastfaelle ⊆ tragwerk.lastfaelle ⇒ sonst Entartet.AuflagerNichtImTragwerk bzw. Entartet.LastfallNichtImTragwerk.
S6 (Knoten-Vollständigkeit): jeder Knoten ist mindestens einmal inzident ⇒ sonst Entartet.IsolierterKnoten.
S7 (Stabilität als abgeleitete Eigenschaft): nicht in init geprüft; nur über bestimmtheit() abrufbar. Konstruktion eines kinematisch verschieblichen statischen Systems ist zulässig (Entwurfsstadium); die Stabilität wird in der Bemessungs-Schicht erzwungen.
Knoten-Kontraktion (Wohldefiniertheits-Konvention): bei der kanonischen Konstruktion aus einem Tragwerk werden Bauteil-Achsen-Endpunkte mit Abstand ≤ LAENGE_EPS zu einem Knoten kontrahiert. Implementiert in der Fabrikfunktion Tragwerk.statischesSystem().
Edge Cases:
Leeres statisches System (|K| = 0 ∨ |M| = 0): nicht erlaubt; mindestens ein Knoten und ein Stab (oder Flächenelement) müssen vorhanden sein.
Statisches System ohne Auflager: nicht erlaubt im räumlichen Fall (Bestimmtheit wäre n < 0); im Code als Entartet.OhneAuflager abgelehnt (geerbt aus Tragwerk- Konsistenz S4 mit |T.A| ≥ 1).
Mehrere statische Systeme an einem Tragwerk: zulässig; z. B. ein lineares System für GZG und ein nichtlineares für Stabilität. Beide referenzieren dasselbe basistragwerk mit unterschiedlicher uuid und theorie.
Knoten an identischem geometrischem Ort: nicht erlaubt im LAENGE_EPS-Sinn (Knoten-Kontraktion in der Fabrikfunktion); manuelle Konstruktion mit Duplikaten liefert Entartet.KnotenDuplikat.
Statisches System ohne 2D-Anteil: Default; F = ∅. Aktueller App-Stand.
Statisches System mit Stabgelenken: noch nicht modelliert; z = 0 in der Abzählformel S7. Folgearbeit, sobald Anschluss-Federsteifigkeiten aus Verbindungen einfliessen.
Toleranz-Anwendung (siehe hg_toleranzen.md §4):
Knoten-Identität und Stab-Endpunkt-Inzidenz: LAENGE_EPS.
Trägerstrecken-Abweichung von der Bauteilachse: LAENGE_EPS an den Endpunkten.
Punkt-Auflager-Inzidenz auf Knoten: LAENGE_EPS.
IFC-Export-Mapping:
StatischesSystem → IfcStructuralAnalysisModel mit GlobalId, Name, PredefinedType (abgeleitet aus theorie).
staebe → IfcStructuralCurveMember-Instanzen, je UUID-tragend.
knoten → bei Punkt-Auflager-Inzidenz als IfcStructuralPointConnection; sonst implizit über Stab-Endpunkte.
auflager mit AppliedCondition (siehe hg_auflager.md- IFC-Mapping).
lastfaelle → IfcStructuralLoadGroup-Instanzen (Folgearbeit).
basistragwerk und stab.basisbauteil → IfcRelAssignsToProduct-Beziehungen zwischen IfcStructuralMember und IfcBeam/IfcColumn/IfcWall.
BTLx-Export: keine Pendant-Entität. Bemessungs- Information wird im BTLx-Export nicht ausgegeben.
Abgeleitete Eigenschaften (als Funktionen, keine Felder):
geometrieInWelt(): GeometrieInW — Vereinigung der Knoten-Orte, Stab-Trägerstrecken und (falls vorhanden) Flächenelement-Träger.
boundingBox(): AABB — achsenparalleler Hüllquader in W.
inzidenzgraph(): Graph<Knoten, Stab> — ungerichteter Graph mit Knoten als Graphknoten und Stäben als Kanten.
bestimmtheit(): Bestimmtheit — Klassifikation aus S7 (notwendiges Kriterium).
istStabilNotwendig(): Boolean — notwendiges Stabilitäts-Kriterium (Abzählung n ≥ 0).
istStabil(): Boolean — hinreichendes Kriterium (Folgearbeit Bemessungs-Schicht; Determinante der Gleichgewichts-Matrix).
Bezeichner-Konvention (siehe docs/_CODE_KONVENTIONEN.md): Domänen-Klasse heisst StatischesSystem (deutsch, Glossarbegriff). Synonyme Tragwerksmodell, Stabwerksmodell, Strukturmodell erscheinen ausschliesslich als KDoc-Stichworte. Die innere sealed-Klasse Element des statischen Systems (für die Vereinigung von Stab und Flaechenelement) ist nicht zu verwechseln mit der ontologischen element-Basisklasse aus hg_bauteil.md; sie ist Implementierungs-intern.

Quellen¶

Primär (normativ):

ISO 16739-1:2024, „Industry Foundation Classes (IFC) for data sharing in the construction and facility management industries – Part 1: Data schema" (IFC 4.3), Structural-Analysis-Domain- Entitäten IfcStructuralAnalysisModel, IfcStructuralCurveMember, IfcStructuralSurfaceMember, IfcStructuralConnection, IfcStructuralAction, IfcStructuralReaction, IfcStructuralLoadGroup, IfcStructuralResultGroup, IfcRelAssignsToProduct.
DIN EN 1990:2010-12, „Eurocode: Grundlagen der Tragwerksplanung", Abschnitt 1.5.1.7.
DIN EN 1995-1-1:2010-12, „Eurocode 5: Bemessung und Konstruktion von Holzbauten – Teil 1-1", Abschnitt 5.
SIA 260:2013, „Grundlagen der Projektierung von Tragwerken", Schweizerischer Ingenieur- und Architektenverein, Zürich.
SIA 265:2021, „Holzbau", Schweizerischer Ingenieur- und Architektenverein, Zürich.
DIN 1052:2008-12, „Entwurf, Berechnung und Bemessung von Holzbauwerken", Abschnitt 5.

Sekundär:

Krätzig, W. B.; Wittek, U.; Harte, R.; Meskouris, K.: Tragwerke 1 / Tragwerke 2. Springer (VDI-Buch), Berlin/Heidelberg, Kapitel „Das Tragwerksmodell der Statik der Tragwerke".
Petersen, Chr.: Statik und Stabilität der Baukonstruktionen. Vieweg, Braunschweig.
Schneider, K.-J.; Albert, A.: Bautabellen für Ingenieure.
Aufl., Bundesanzeiger Verlag, Köln 2024.
Mönck, W.; Rug, W.: Holzbau – Bemessung und Konstruktion.
Aufl., Beuth, Berlin 2015, Kap. 11.
Blass, H. J.; Sandhaas, C.: Ingenieurholzbau – Grundlagen der Bemessung. KIT Scientific Publishing, Karlsruhe 2016, Kap. 5.
Natterer, J.; Herzog, T.; Volz, M.: Holzbau-Atlas.
Aufl., Birkhäuser, Basel 2003.
buildingSMART, IFC-4.3.2-Dokumentation Structural-Analysis- Domain (Sekundärrezeption über WebSearch-Snippets; IfcStructuralAnalysisModel, IfcRelAssignsToProduct).

Korpus (nicht autoritativ):

Wikipedia, Lemma „Baustatik" (abgerufen 2026-05-14).
Wikipedia, Lemma „Stabwerk (Technische Mechanik)" (abgerufen 2026-05-14).
Wikipedia, Lemma „Stab (Statik)" (abgerufen 2026-05-14).
Wikipedia, Lemma „Lager (Statik)" (abgerufen 2026-05-14).
Wikipedia, Lemma „Statische Bestimmtheit" (abgerufen 2026-05-14).
D.I.E.-Statik, „Statisches System / Modell-Allgemeines" (abgerufen 2026-05-14).
ingenieurkurse.de, „Tragwerksmodell", „Statische Bestimmtheit (Abzählformel)" (Sekundärrezeption).
Recherche-Bericht: docs/recherche/2026-05-14_hg_statisches_system.md.

Quelle herunterladen¶

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