Prosa-Definition¶

Ein Punkt ist ein Element des dreidimensionalen affinen Raumes ℝ³, das eine eindeutige Stelle im Weltkoordinatensystem bezeichnet und durch ein geordnetes Tripel reeller Koordinaten (x, y, z) ∈ ℝ³ in der Längeneinheit Millimeter dargestellt wird.

Mathematische Definition¶

Sei

𝔸³ der dreidimensionale reelle affine Raum,
(O, e_x, e_y, e_z) das in CLAUDE.md festgelegte Welt-Koordinatensystem mit Ursprung O ∈ 𝔸³ und kanonischer rechtshändiger Orthonormalbasis (e_x, e_y, e_z), wobei e_z vertikal nach oben weist.

Dann ist ein Punkt p ∈ 𝔸³ eindeutig charakterisiert durch sein Koordinatentripel

p ↔ (x, y, z) ∈ ℝ³  mit  p = O + x·e_x + y·e_y + z·e_z.

Die Koordinaten sind in Millimeter zu interpretieren: x, y, z ∈ ℝ mit Einheit mm.

Wohldefiniertheit¶

Eindeutigkeit der Koordinaten: Bei festem Koordinatensystem (O, e_x, e_y, e_z) ist die Abbildung p ↔ (x, y, z) eine Bijektion.
Unabhängigkeit von der Wahl des Repräsentanten: trivial, da Punkte im verwendeten Datenmodell genau durch ihr Koordinatentripel repräsentiert werden.
Nicht-Zirkularität: Die Definition verwendet ausschließlich die Primitive reelle Zahl, affiner Raum und das festgelegte Koordinatensystem.

Erläuterung (nicht normativ)¶

Ein Punkt ist die Abstraktion einer „Stelle im Raum" ohne Ausdehnung. In der Holzkonstruktion sind Punkte typischerweise Eckpunkte von Bauteilen (Sparrenfußpunkt, Firstpunkt, Anschlusspunkte), Schnitt- punkte von Geraden (Verschneidungspunkte) oder ausgewiesene Markierungspunkte (Anriss, Bezugspunkt).

Der Unterschied zwischen Punkt und Vektor ist konzeptionell fundamental: ein Punkt benennt eine Stelle, ein Vektor eine gerichtete Verschiebung. Punkte können nicht addiert werden, wohl aber Punkt + Vektor → Punkt und Punkt − Punkt → Vektor.

Beziehungen¶

Oberbegriff: keiner; Punkt ist mathematisches Primitiv des Glossars.
Teilbegriffe (Spezialisierungen): keine im engeren Sinne; rollenbezogene Bezeichnungen wie Eckpunkt, Stützpunkt, Schnittpunkt, Fußpunkt sind Verwendungen, keine Subtypen.
Abgrenzung:
Vektor (eigener Eintrag): Element des Tangentialraums ℝ³ am affinen Raum, repräsentiert eine gerichtete Verschiebung. Ein Vektor hat keine Stelle; ein Punkt hat keine Richtung.
Koordinatentripel: ein Punkt ist nicht das Tripel (x, y, z), sondern wird durch dieses Tripel bezüglich eines festgelegten Koordinatensystems repräsentiert.

Implementierungshinweis¶

Datentyp (Domänen-Schicht, Kotlin, Schicht domain.geometrie):

data class Punkt(
    val x: Double,   // mm
    val y: Double,   // mm
    val z: Double    // mm
)

Einheit: Millimeter (Double) in allen drei Komponenten.
Koordinatensystem: Weltkoordinatensystem aus CLAUDE.md (rechtshändig, z-Achse vertikal nach oben). Lokale Koordinaten werden durch eigene Datentypen (z. B. BauteilLokal) und explizite Transformationen abgebildet, niemals durch implizite Reinterpretation der Komponenten.
Invarianten: keine (jedes Tripel reeller Zahlen ist ein zulässiger Punkt). NaN- und Unendlichkeits-Werte sind im Konstruktor zugelassen; Aufrufer prüft Finitheit über istFinit(). Eine entartete Variante EntartetGeometrie.NichtFinit greift erst in nachgelagerten Operationen wie z. B. Strecke.ausPunkten.
Edge Cases:
Sehr große Beträge (> 10⁹ mm = 1000 km): zulässig, aber numerisch gefährdet; Hinweis im Domain-Test.
Gleichheitstest: ausschließlich mit Toleranz, niemals mit ==. Konvention: p.gleich(q, eps = Toleranzen.LAENGE_EPS) bedeutet ‖p − q‖ ≤ eps. Der kanonische Default-Wert für LAENGE_EPS (1e-3 mm = 1 µm) ist in hg_toleranzen.md festgelegt.
NaN/±∞ in einer Komponente: nicht im Konstruktor abgelehnt, sondern über istFinit() prüfbar; nachgelagerte Operationen liefern EntartetGeometrie.NichtFinit.
Abgeleitete Operationen (in eigener Datei PunktOps.kt):
operator fun Punkt.minus(q: Punkt): Vektor (Punkt − Punkt)
operator fun Punkt.plus(v: Vektor): Punkt (Punkt + Vektor)
infix fun Punkt.abstand(q: Punkt): Double (‖p − q‖, mm)

Quellen¶

Primär (normativ):

DIN ISO 80000-2:2022-08, „Größen und Einheiten – Teil 2: Mathematik".
ISO 80000-2:2019, „Quantities and units – Part 2: Mathematics".

Sekundär:

Bronstein, I. N.; Semendjajew, K. A.; Musiol, G.; Mühlig, H.: Taschenbuch der Mathematik. Edition Harri Deutsch, aktuelle Auflage, Kap. 3.5 „Analytische Geometrie des Raumes".
Bär, C.: Elementare Differentialgeometrie. 2. Aufl., de Gruyter, Berlin 2010.
Berger, M.: Geometry I. Springer, Berlin 1987.

Korpus (nicht autoritativ):

Wikipedia, Lemma „Punkt (Geometrie)" (abgerufen 2026-05-07).

Didaktische Hülle (Subglossar)¶

Punkt (Subglossar)¶

Brücke vom normativen Hauptglossar (hauptglossar/00_ressourcen/hg_punkt.md) zu den stufenweisen Theorie-Inhalten. Hier liegt die didaktische Aufbereitung: berufssprachliche Verankerung über die Rollen-Komposita am Werkplan und am Bauwerk, Werkzeug-Bezug, Negativ-Abgrenzung zu „Stelle", „Position" und „Marker" sowie etymologische Brücke vom lateinischen punctum zum Körner-Einstich des Zimmermanns.

Was der Punkt im Holzbau ist¶

Ein Punkt ist eine benannte Stelle im Raum — nicht das Wort „Stelle" im umgangssprachlichen Sinn, sondern eine ohne Ausdehnung gedachte Lage, eindeutig bestimmt durch ihre drei Koordinaten in der Welt.

Im Holzbau-Korpus tritt der Punkt fast nie als nacktes Substantiv auf. Er lebt in Rollen-Komposita: Sparrenfusspunkt, Firstpunkt, Knotenpunkt, Auflagerpunkt, Achspunkt, Lotpunkt, Bezugspunkt, Anrisspunkt. Das ist kein Zufall der Sprache, sondern Ausdruck der Sache — ein Punkt ist im Holzbau immer der Punkt von etwas: der Fuss des Sparrens, der First eines Daches, der Knoten eines Stabwerks, das Auflager an einer Pfette.

Das Wort selbst stammt aus lateinisch punctum „Einstich, das Gestochene" (zu pungere „stechen"). Etymologisch ist der Punkt also das Ergebnis eines Stech-Vorgangs — eine Brücke, die für die zimmermannssprachliche Praxis treffender liegt als für die mathematische Abstraktion: der mit dem Körner ins Holz geschlagene Anrisspunkt ist in der Wortwurzel genau das, was der Begriff benennt.

Geometrie und Welt-Bezug — eine Werkplan-Skizze¶

Die folgende Skizze zeigt einen Ausschnitt aus einem Werkplan: links das Schnurgerüst am Bauplatz mit zwei Achspunkten am Schnittpunkt der Bauachsen, rechts darüber der Dachschnitt mit Sparrenfusspunkt und Firstpunkt. Die beschrifteten Punkte sind dieselbe Sorte geometrisches Objekt — drei Koordinaten in der Welt — aber jeder trägt eine andere Rolle im Plan.

A_1 A_2 Achspunkte Schnurgerüst (Bauplatz)

F_l Sparrenfusspunkt

F_r Sparrenfusspunkt

K

P_F Firstpunkt Dachschnitt — Pfettendach mit Klauen- und First-Kerve (Werkplan) K = Kerveckpunkt (an jeder Kerve einer)

Welt: e_hat_h e_hat_v

Fünf Punkte sind in der Skizze beschriftet: zwei Achspunkte A_1, A_2 am Schnurgerüst (Nägel im Pfostenkopf, an denen die Bauachs-Schnüre fixiert sind), zwei Sparrenfusspunkte F_l, F_r am Anschluss der Sparren an die jeweilige Fusspfette, und der Firstpunkt P_F am gemeinsamen Treffpunkt der beiden Sparren am First. Jeder dieser Punkte ist als Drei-Koordinaten-Lage in der Welt beschreibbar, jeder trägt eine eigene Rolle in der Konstruktion.

Punkt-Rollen im Werk- und Tragwerksplan¶

Die Berufssprache benennt Punkte nach ihrer Rolle. Dieselbe geometrische Sache — eine Lage im Raum — heißt je nach Funktion anders.

Rollen-Kompositum	Wo der Punkt auftritt	Womit er erzeugt oder fixiert wird
Sparrenfusspunkt	unteres Sparrenende am Pfetten- oder Schwellholz-Anschluss; Lastabtragung nach unten	Werkplan-Bemaßung; in der Werkstatt durch Anriss am Sparren
Firstpunkt	oberes Sparrenende; Gelenk in der Statik des Sparrendachs	Werkplan; in der Aufrichte durch Zusammenführung der beiden Firstsparren
Knotenpunkt	Stelle, an der mehrere Stäbe im Tragwerk zusammenstoßen; kraftschlüssige Verbindung	Werkplan, Statik-Modell; in der Ausführung durch Verbinder oder Versatz
Auflagerpunkt	punktförmig idealisiertes Auflager; Eingangsgröße der Schnittkraft-Berechnung	Statik-Modell (Bemessung); in der Ausführung über die tatsächliche Auflagerfläche
Achspunkt / Achsenschnittpunkt	Schnittpunkt zweier Bauachsen; Lage-Anker für die Übertragung Grundriss → Bauplatz	am Schnurgerüst durch Nagel im Pfostenkopf materialisiert; im Plan als Achsen-Kreuz
Lotpunkt / Lotfusspunkt	Schnittpunkt eines Lotes mit der Bezugsebene	Senklot oder Senkel mit Schnur; Bodenmarkierung am Lotfuss
Bezugspunkt	Punkt, auf den sich Maße oder Höhenkoten beziehen (Nullpunkt einer Bauachse, Bezugshöhe ±0.00)	Werkplan-Festlegung; am Bau über eine Höhenmarke (Nivellier-Festpunkt)
Anrisspunkt / Körnerpunkt	punktförmiges Resultat des Anreissens; Schnittpunkt zweier Anriss-Linien	Bleistift-Kreuz, Reissnadel-Ritzkreuz oder Körner-Einstich

Eine Beobachtung zur Lese-Hilfe: der Werkplan kennt Punkte vor allem als Schnittpunkte (Achsen, Linien, Flächen treffen sich) und als Endpunkte (eine Strecke endet hier). Die Rolle hängt nicht am Punkt selbst, sondern am umgebenden Bauwerk.

Werkzeug und Markierung — wie ein Punkt entsteht¶

Der Übergang vom geometrisch abstrakten Punkt zum materialisierten Punkt am Holz oder am Bauplatz läuft über eine kleine Werkzeug-Trias plus zwei Hilfsmittel für längere Distanzen:

Werkzeug	Mark-Art	Permanenz
Bleistift / Zimmermannsstift	Kreuz oder feine Spitze auf einer Anriss-Linie	gering — wischt ab, wird übertüncht
Reissnadel	feine Ritzspur, geeignet für Hartholz, Sperrholz, Metall	mittel — bleibt erkennbar, lässt sich nicht ausradieren
Körner + Hammer	konische Vertiefung im Material („Körnung")	hoch — bleibt dauerhaft, dient als Bohr-Vorzentrierung
Schlagschnur	gerade Linie zwischen zwei vorher gesetzten Endpunkten, mit Kreide oder Farbe	mittel — Linie, keine Punkte
Senkel / Senklot	flüchtiger Lotpunkt am Boden unter dem Aufhängepunkt	flüchtig — übertragen, dann durch Bleistift-Kreuz oder Nagel fixiert
Schnurgerüst mit Nagel	Achsenschnittpunkt am Bauplatz	hoch — bleibt bis zum Abbruch des Gerüsts stehen

Methodisch wichtig: die Berufssprache unterscheidet Tätigkeit und Resultat genau. Anreissen ist die Tätigkeit, der Anriss ist die entstandene Linie, der Anrisspunkt das punktförmige Resultat — typischerweise der Schnittpunkt zweier Anriss-Linien oder der mit dem Körner verstärkte Endpunkt einer Anriss-Linie. Analog: Ankörnen ist die Tätigkeit, die Körnung das Resultat. Lehrlinge verwechseln das gern, weil die Werkstattsprache beides bedarfsweise kürzt.

Eine zweite Beobachtung: die Schlagschnur markiert keine Punkte. Sie zieht eine gerade Linie zwischen zwei Endpunkten, die vorher mit einem der ersten drei Werkzeuge fixiert worden sind. Die Endpunkte einer Schlagschnur-Linie tragen dann ihren Rollennamen (Sparrenfusspunkt, Firstpunkt, Achspunkt) — nicht einen Werkzeug-Namen.

Was ein Punkt nicht ist — Stelle, Position, Marker¶

Drei Wörter werden im Alltag gern als Synonym für „Punkt" verwendet, lassen sich aber im Holzbau-Kontext fachlich abgrenzen:

„Stelle" ist in der Mathematik-Didaktik eindimensional — die Nullstelle, die Extremstelle, die Wendestelle einer Funktion sind x-Werte, nicht vollständige Koordinaten-Tupel. Im Holzbau wird das Wort umgangssprachlich auch räumlich verwendet („eine Stelle am Sparren markieren"), trifft aber die Drei-Koordinaten-Lage nicht sauber. Ein Maß am Messstab — „bei 1235 mm" — ist genau so eine Stelle: ein 1D-Wert, erst mit zweiter und dritter Koordinate ein Punkt.

„Position" ist im Bauwesen mit der Positionsnummer belegt: die Stücklisten-Nummer eines Bauteils im Werkplan, das Identifikations- Etikett. Eine Position bezeichnet ein Bauteil, kein Koordinaten-Tupel. „Position" als Synonym für „Stelle im Raum" ist ein Drift, oft aus CAD-Software-Sprache übernommen, und sollte für geometrische Lagen vermieden werden.

„Marker" ist Software-Slang (CAD, Vermessung); ein Marker ist die Visualisierung eines Punkts auf einem Bildschirm, nicht der Punkt selbst. „Node" für „Knotenpunkt" ist ähnlich gelagert — Statik-Software-Slang, nicht zimmermannssprachlich. Beide Wörter gehören in die Werkzeug-Bedienung, nicht in die Bauteil-Geometrie.

Zur Trennung Punkt vs. Vektor in einem Satz, ohne die HG- Abgrenzung zu doppeln: ein Punkt benennt eine Lage, ein Vektor eine gerichtete Verschiebung — der Punkt hat keine Richtung, der Vektor keine Lage.

Verweise¶

Diese Subglossar-Datei stützt sich auf die folgenden Hauptglossar- Begriffe; bei Detailfragen ist dort die normative Definition zu finden:

hauptglossar/00_ressourcen/hg_punkt.md — das normative Hauptglossar zum Punkt, mit mathematischer Definition als Element des affinen Raumes ℝ³, Wohldefiniertheit, Implementierungshinweis und Quellenliste.
hauptglossar/00_ressourcen/hg_vektor.md — der konzeptionell abgegrenzte Nachbar-Begriff (gerichtete Verschiebung, keine Lage).
hauptglossar/00_ressourcen/hg_koordinatensystem.md — das Bezugssystem, in dem ein Punkt durch drei Koordinaten dargestellt wird.
hauptglossar/00_ressourcen/hg_toleranzen.md — die Sammelstelle für Plausibilitäts-Schwellen; Punkt-Gleichheit ist in der Praxis immer toleranzbehaftet.

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