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Dach

Prosa-Definition

Ein Dach ist das oberste raumabschließende Bauteil-Aggregat eines Gebäudes, bestehend aus einem Tragwerk (lastabtragende Holzkonstruktion), einer endlichen, nicht-leeren Familie von Dachflächen (geometrische Bezugsebenen) und einem Dachaufbau (geordnete Schichtfolge oberhalb des Tragwerks bis einschließlich der äußersten wettertrennenden Schicht), wobei die obere Hüllfläche des Dachaufbaus die Dachhaut des Daches bildet.

Mathematische Definition

Sei

  • T eine endliche Menge konstruktiver Tragwerks-Bauteile (Sparren, Pfetten, Binder, Kehlbalken, Aussteifungen, Verbindungsmittel; im aktuellen Glossarstand als Sammelbegriff geführt; eigener Eintrag tragwerk folgt),
  • 𝒟 = { D₁, …, D_m } mit m ≥ 1 eine endliche, nicht-leere Familie von Dachflächen D_i = (E_i, P_i, n_{a,i}) im Sinne von dachflaeche,
  • A ein Dachaufbau im Sinne von dachaufbau, definiert über dem Trägerbereich F := ⋃_{i=1..m} F(P_i),
  • H = H(A) die aus A abgeleitete Dachhaut im Sinne von dachhaut (obere Hüllfläche der äußersten Schicht von A).

Dann ist ein Dach das Tripel

Dach := (T, 𝒟, A)

mit den Konsistenzbedingungen

  1. Trägerbezug des Dachaufbaus: Der Dachaufbau A ist genau über F := ⋃_i F(P_i) definiert, d. h. seine Trägerflächen sind die Elemente von 𝒟.
  2. Statische Auflagerung der Dachflächen: Jede Dachfläche D_i ∈ 𝒟 wird konstruktiv von Elementen aus T getragen (im aktuellen Glossarstand als zugesicherte Konsistenzbedingung, nicht als formal überprüfbares Prädikat — die formale Auflager- Relation wird mit dem späteren Eintrag tragwerk nachgeliefert).
  3. Geschlossenheit der Hülle nach oben: Der gerichtete Halbraum-Verband H⁺ := ⋃i { x | ⟨n ist die nach außen weisende Seite des Daches. Es existiert kein Punkt im umbauten Raum, der durch eine vertikale Halbgerade nach oben den Verband ⋃_i F(P_i) verfehlt (Wohldefiniertheit der Funktion „raumabschließend nach oben").}, x − p_{0,i}⟩ > 0

Der geometrische Anteil des Daches ist die durch 𝒟 erzeugte Punktmenge

G(Dach) := ⋃_{i=1..m} F(P_i) ⊂ ℝ³,

die äußere Hüllfläche des Daches ist die Dachhaut H = H(A).

Wohldefiniertheit

  • Existenz: Für jedes konkrete Bauwerk mit T ≠ ∅, 𝒟 ≠ ∅ und einem wohldefinierten Dachaufbau A über F = ⋃ F(P_i) ist das Tripel (T, 𝒟, A) ein Dach. Bauliche Mindestkonfiguration: m = 1 (Pultdach mit einer Dachfläche), k = 1 (einlagiger Aufbau).
  • Eindeutigkeit der Komponentenzuordnung: Aus einem gegebenen Bauwerk lassen sich T, 𝒟 und A eindeutig extrahieren, wenn die Klassifikation der einzelnen Bauteile nach ihrer Rolle (Tragwerk vs. Dachfläche-Geometrie vs. Dachaufbau-Schicht) festgelegt ist. Die Klassifikation selbst ist Modellierungsentscheidung der Domänen-Schicht.
  • Eindeutigkeit der Dachhaut: H = H(A) ist durch A vollständig bestimmt (siehe Eintrag dachhaut); die Dachhaut tritt im Tripel nicht zusätzlich auf, sondern wird als abgeleitete Größe verfügbar gemacht (dach.dachhaut()).
  • Unabhängigkeit von der Reihenfolge: 𝒟 ist als Menge unsortiert; alle Aussagen über das Dach sind invariant unter Permutation der Dachflächen. Der Dachaufbau A hingegen besitzt eine geordnete Schichtfolge — die Permutation seiner Schichten ändert das Bauteil.
  • Konsistenz mit dachflaeche: Der Eintrag dachflaeche schließt α = π/2 aus; damit ist G(Dach) keine vertikale Wand und Bedingung 3 sinnvoll formulierbar. Der Grenzfall α = 0 (Flachdach mit m = 1) ist zulässig und erfüllt Bedingung 3 trivial.
  • Nicht-Zirkularität: Die Definition verwendet nur die Primitive Punkt, Vektor, Halbraum, das Aggregat-Konzept und die bereits definierten Begriffe dachflaeche, dachaufbau, dachhaut. Sie verweist auf tragwerk als bislang noch nicht definierten Sammelbegriff — diese Abhängigkeit ist im Frontmatter als voraussetzung geführt; die formale Auflager- Relation wird nachgereicht.

Erläuterung (nicht normativ)

Ein Dach ist im Sinne dieses Glossars kein einzelnes geometrisches Objekt, sondern ein Container mit drei Schichten von Begriffen:

  1. Tragwerk (statisch, materiell): die lastabtragende Holzkonstruktion (Sparren, Pfetten, Binder, Kehlbalken, Stuhlsäulen, Aussteifungen). Im traditionellen Sprachgebrauch der Zimmerleute als „Dachstuhl" bezeichnet.
  2. Dachflächen (geometrisch, dickenlos): die ebenen, polygonal begrenzten Bezugsflächen, an denen sich Form und Neigung des Daches ausdrücken (siehe dachflaeche).
  3. Dachaufbau (materiell, geschichtet): die Schichtfolge oberhalb des Tragwerks (Dampfbremse, Wärmedämmung, Unterdach, Konterlattung, Traglattung, Eindeckung — siehe dachaufbau). Seine obere Hüllfläche ist die Dachhaut (geometrische Außenfläche des Daches, siehe dachhaut).

Form-Klassen (Sattel, Walm, Pult, Mansarde, Krüppelwalm, Zelt) ergeben sich aus der Konfiguration der Dachflächen-Familie 𝒟 und sind ein Klassifikationsmerkmal, kein eigener Bauteil-Begriff.

Die saubere Trennung Geometrie / Material / Hüllfläche dieses Glossars (Dachfläche / Dachaufbau / Dachhaut) löst die in der Fachliteratur verbreitete Vermischung dieser drei Konzepte auf.

Beziehungen

  • Oberbegriff: derzeit null. Künftig bauteil_aggregat (oberste Aggregatklasse für Bauteile, die selbst aus mehreren Bauteilen bestehen). Eintrag wird angelegt, sobald weitere Aggregate (Wandaufbau, Deckenaufbau) hinzukommen.
  • Bestandteile (partitiv):
  • Tragwerk (tragwerk, eigener Eintrag folgt): Sparren, Pfetten, Binder, Kehlbalken, Aussteifungen, Verbindungsmittel.
  • Dachflächen (dachflaeche): geometrische Bezugsebenen.
  • Dachaufbau (dachaufbau): materielle Schichtfolge.
  • Dachhaut (dachhaut, abgeleitet): obere Hüllfläche des Dachaufbaus.
  • Spezialisierungen nach Dachform: siehe hg_dachform.md für den vollständigen Werte-Katalog (zwölf Formen plus Freiform: Flach-, Pult-, Sattel-, Walm-, Krüppelwalm-, Zelt-, Mansard-, Schmetterlings-, Shed-, Tonnen-, Bogen-, Trogdach + Freiform). Eigene HG-Einträge für die einzelnen Werte folgen trigger-basiert je nach erstem Tool-Bedarf.
  • Abgrenzung:
  • Dachfläche (dachflaeche): rein geometrischer Bestandteil eines Daches, kein Aggregat. Ein Dach hat eine oder mehrere Dachflächen; eine Dachfläche ist nicht das Dach.
  • Dachaufbau (dachaufbau): die materielle Schichtfolge oberhalb des Tragwerks. Bestandteil eines Daches, nicht das Dach selbst.
  • Dachhaut (dachhaut): die geometrische Hüllfläche über dem Dachaufbau. Aus dem Dachaufbau abgeleitet, nicht eigenständiges Bauteil.
  • Dachstuhl (umgangssprachlich): in der zimmermannssprachlichen Tradition meist nur das Tragwerk. Wegen der schwankenden Verwendung in Fachglossaren ausdrücklich nicht als Synonym geführt; eigener Eintrag dachstuhl (= Tragwerk) folgt.
  • Tragwerk (Dachtragwerk): Bestandteil des Daches, nicht das Dach selbst. Eigener Eintrag folgt.
  • Dachform (Sattel-, Walm-, Pultdach …): ein Klassifikationsmerkmal eines Daches, kein eigenständiges Bauteil. Wird als Aufzählungs-Typ modelliert.
  • Dachkonstruktion: in DIN/SIA uneinheitlich verwendet, mal synonym zu Tragwerk, mal synonym zum hier definierten Dach. Wegen Mehrdeutigkeit kein Synonym.
  • Bedachung: zulässiges Synonym im Sinne „das Dach als Gesamtheit". In Fachsprache eher nordwestdeutsch; in der Schweiz selten.
  • Gebäudehülle: das gesamte raumabschließende Hüllaggregat (Dach + Außenwände + Bodenplatte). Übergeordneter Aggregatbegriff, nicht Synonym.

Implementierungshinweis

Datentyp (Domänen-Schicht, Kotlin, Schicht domain.bauteil):

data class Dach(
    val tragwerk: Tragwerk,                  // T, eigener Typ folgt
    val dachflaechen: List<Dachflaeche>,     // 𝒟, Reihenfolge bedeutungslos
    val dachaufbau: Dachaufbau               // A
) {
    init {
        // 1. dachflaechen.isNotEmpty()                  → sonst Entartet.LeeresDach
        // 2. dachaufbau.dachflaechen entspricht
        //    dachflaechen (gleicher Trägerbereich)      → sonst Entartet.AufbauTraegerInkonsistent
        // 3. Kein flächiger Selbstüberlapp der Dachflächen
        //    außer entlang gemeinsamer Ränder
        //    (First, Grat, Kehle)                       → sonst Entartet.SelbstUeberlapp
    }

    fun dachhaut(): Dachhaut = dachaufbau.dachhaut()
}
  • Einheit: alle Geometrie-Komponenten in mm; Dachneigungen intern in Radiant.
  • Invarianten (in init prüfen, bei Verletzung Resultat.Fehler bzw. EntartetGeometrie-Variante zurückgeben, niemals Exception werfen):
  • dachflaechen.isNotEmpty() ⇒ sonst Entartet.LeeresDach.
  • Trägerbereich des Dachaufbaus deckt sich mit dachflaechen bis auf Toleranzen.LAENGE_EPS am Rand; Verletzung ⇒ Entartet.AufbauTraegerInkonsistent.
  • Paarweise Dachflächen-Schnitte sind entweder leer oder bestehen aus gemeinsamen Randstrecken (First, Grat, Kehle); ein flächiger Selbstüberlapp ist verboten ⇒ Entartet.SelbstUeberlapp.
  • Auflagerung jeder D_i ∈ 𝒟 durch Elemente aus T; Verletzung ⇒ Entartet.NichtAufgelagert (formal nachgeliefert, sobald tragwerk definiert ist).
  • Edge Cases:
  • Pultdach (m = 1): zulässig.
  • Flachdach (alle α_i ≤ Toleranzen.WINKEL_EPS): zulässig, Sonderfall der Definition; Außenabschluss des Dachaufbaus typischerweise eine ABDICHTUNG.
  • Mehrere getrennte Dächer auf einem Gebäude (z. B. zwei Satteldachflügel mit Lichthof dazwischen): werden als zwei getrennte Dach-Instanzen modelliert, nicht als ein einziges Dach mit nicht-zusammenhängender Dachflächen-Familie.
  • Aufbauten (Gauben, Schornsteindurchführungen): die Gaubenflächen sind eigenständige Dachflächen in 𝒟, die Schornsteindurchführung ist eine lokale Aussparung in Dachfläche und Dachaufbau (Modellierung in späterem Eintrag dachoeffnung).
  • Abgeleitete Eigenschaften (als Funktionen, keine Felder):
  • geometrischerAnteil(): Geometrie = Vereinigung der F(P_i).
  • gesamtflaeche(): Double (mm²) = Σ flaecheninhalt(D_i).
  • dachform(): Dachform = Klassifikation aus Anzahl, Neigungen und Topologie der D_i (eigener Eintrag dachform folgt).
  • dachhaut(): Dachhaut = abgeleitete Hüllfläche aus dachaufbau.
  • enthaelt(p: Punkt, eps): Boolean = ∃ D_i ∈ 𝒟 mit D_i.enthaelt(p, eps).

Quellen

Primär (normativ):

  • SIA 232/1:2020, „Geneigte Dächer", Schweizerischer Ingenieur- und Architektenverein, Abschnitt 1.
  • DIN 18531-1:2017-07, „Abdichtung von Dächern sowie von Balkonen, Loggien und Laubengängen – Teil 1: Nicht genutzte und genutzte Dächer – Anforderungen, Planungs- und Ausführungsgrundsätze", Abschnitt 3.
  • DIN EN 1995-1-1:2010-12, „Eurocode 5: Bemessung und Konstruktion von Holzbauten – Teil 1-1: Allgemeines", Abschnitt 1.5.
  • Musterbauordnung (MBO) 2002, § 32.

Sekundär:

  • Mönck, W.; Rug, W.: Holzbau – Bemessung und Konstruktion.
  • Auflage, Beuth Verlag 2015.
  • Gerner, M.: Fachwerk – Instandsetzung, Sanierung, Neubau. DVA, 7. Auflage 2007.
  • Lignum (Hrsg.): Holzbautabellen HBT. Lignum, Zürich, aktuelle Auflage.
  • NIhK: Glossary of Prehistoric and Historic Timber Buildings.

Korpus (nicht autoritativ):

  • Wikipedia, Lemma „Dach" (abgerufen 2026-05-08).

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