Zum Inhalt

Achse

Prosa-Definition

Eine Achse ist eine Gerade in ℝ³, versehen mit einer ausgezeichneten semantischen Rolle (Symmetrie-, Dreh-, Bezugs-, Koordinaten- oder Bauteilhauptachse), die ihre Bedeutung im jeweiligen Bezugsrahmen festlegt; geometrisch ist sie nicht mehr und nicht weniger als ihre Trägergerade.

Mathematische Definition

Sei

  • g ⊂ ℝ³ eine Gerade im Sinne von gerade,
  • 𝓡 eine endliche Menge zulässiger Achsenrollen, mindestens 
    𝓡 ⊇ { Symmetrie, Drehung, Bezug, Koordinate, Bauteilhauptachse }.

Dann ist eine Achse A ein Tupel

A := (g, ρ)   mit ρ ∈ 𝓡,

bestehend aus der Trägergeraden g und der Rolle ρ. Die durch A bezeichnete Punktmenge in ℝ³ ist die der Trägergeraden:

|A| := g.

Eine Achse kann zusätzlich gerichtet sein: dann gehört zur Rolle ρ die Wahl eines Einheits-Richtungsvektors d_hat ∈ S² mit d_hat ∈ ℝ·v (v ein Richtungsvektor von g). Im ungerichteten Fall ist die Achse nur durch g und ρ bestimmt; die zwei möglichen Vorzeichen von d_hat sind dann äquivalent.

Wesentliche Spezialisierungen ergeben sich aus der Wahl von ρ:

  • Symmetrieachse (ρ = Symmetrie): g ist Fixpunktmenge einer Spiegelung S_g : ℝ³ → ℝ³ einer betrachteten Punktmenge X ⊂ ℝ³, d. h. S_g(X) = X.
  • Drehachse (ρ = Drehung): g ist die Fixpunktmenge einer Drehung R_{g, φ} ∈ SO(3) um den Winkel φ ≠ 0; gerichtete Variante mit d_hat legt den Drehsinn (rechtshändig zu d_hat) fest.
  • Bezugsachse (ρ = Bezug): g dient als Referenz für Abstände und Winkel anderer geometrischer Objekte (z. B. „Höhe über Trauflinie", „Abstand zur Firstachse").
  • Koordinatenachse (ρ = Koordinate): g geht durch den Ursprung eines Koordinatensystems und trägt einen Richtungs-Einheits- vektor; eine der drei kanonischen Achsen x, y, z eines Rechtssystems.
  • Bauteilhauptachse (ρ = Bauteilhauptachse): g ist die geometrische Hauptachse eines Bauteils; Spezialisierung bauteilachse.

Wohldefiniertheit

  • Existenz: Für jede Gerade g ∈ ℝ³ und jede Rolle ρ ∈ 𝓡 ist A = (g, ρ) wohldefiniert; die Menge der Achsen ist nicht-leer, da bereits jede Koordinatenachse eines beliebigen Rechtssystems ein Beispiel ist.
  • Repräsentantenwahl der Trägergeraden: Die Achse erbt die Repräsentanten-Invarianz der Geraden (siehe gerade, Wohldefiniertheit): Skalierung und Translation des Richtungsvektor-/Stützpunkt-Repräsentanten ändern die Achse als Tupel (g, ρ) nicht, da g als Punktmenge unverändert bleibt.
  • Vorzeichenkonvention: Im ungerichteten Fall sind (g, ρ) und (g, ρ) mit „umgekehrter" Richtungsrepräsentation dieselbe Achse. Im gerichteten Fall (mit d_hat) sind (g, ρ, d_hat) und (g, ρ, −d_hat) als Punktmengen identisch, aber als orientierte Achsen verschieden. Die Festlegung, ob eine Achse gerichtet ist, ist Eigenschaft der Rolle ρ und beim verwendenden Begriff zu dokumentieren.
  • Konsistenz Rolle ↔ Geometrie: Wenn ρ = Drehung, muss die Drehung um g eine wohldefinierte Isometrie ℝ³ → ℝ³ sein; das ist für jede Gerade g und jeden Winkel φ erfüllt. Wenn ρ = Symmetrie bezogen auf eine Punktmenge X, muss S_g(X) = X gelten; diese Konsistenz ist Eigenschaft des verwendenden Kontexts und nicht der Achse selbst.
  • Nicht-Zirkularität: Die Definition stützt sich nur auf gerade, vektor, einheitsvektor und toleranzen. Die Rolle ρ ist ein Element einer aufzählbaren Menge 𝓡, deren Mitglieder außerhalb der Geometrie definiert sind (Symmetrie, Drehung als Gruppentheorie-Begriffe; Bezug, Koordinate als Modellierungs- konventionen).
  • Eliminierbarkeit: Jede Verwendung des Begriffs „Achse" lässt sich durch „Gerade in der Rolle ρ" ersetzen. Die Achse trägt geometrisch nichts hinzu, was nicht schon in der Geraden steht; der Mehrwert liegt in der typsicheren Kommunikation der Rolle.

Erläuterung (nicht normativ)

Der Begriff „Achse" ist in der Geometrie und insbesondere im Holzbau allgegenwärtig, ohne präzise definiert zu sein. Er bezeichnet stets dasselbe Strukturobjekt — eine Gerade — qualifiziert durch eine Rolle, die im Kontext klar sein muss: Sparrenachse, Pfettenachse, Stützenachse, Trauflinie, Firstachse, Symmetrieachse eines Daches, Drehachse eines Schwenkdaches.

Die Entscheidung, „Achse" als Annotation an einer Geraden zu modellieren und nicht als eigenes Primitiv, vermeidet eine Begriffshypertrophie: eine Symmetrieachse und eine Drehachse sind geometrisch identisch (beide sind Geraden); sie unterscheiden sich nur in dem, wofür sie gerade gebraucht werden. Diese Modellierung ist parallel zu faserrichtung, das ein einheitsvektor mit einer semantischen Rolle ist.

In der Praxis bedeutet das: die App-Domäne kennt die Klasse Gerade als Geometrie-Primitiv und führt für jede konkrete Achsenrolle einen eigenen Typ (z. B. Bauteilachse, Koordinatenachse), der eine Gerade kapselt und zusätzliche Constraints und Operationen bereitstellt. Der Glossar-Begriff „Achse" ist der gemeinsame Oberbegriff dieser Spezialisierungen.

Polysemie-Hinweis: das Wort „Achse" hat im Schweizer Zimmermannssprachgebrauch außerdem die Lesart „Reihe von Stützen oder Stielen entlang einer gemeinsamen geometrischen Achse" (z. B. „Achse A", „Achse 1"). Diese Lesart ist hier nicht definiert; sie wäre eine Spezialisierung „Bauwerksachse" oder „Konstruktionsachse" und wird in einem eigenen Eintrag behandelt.

Beziehungen

  • Oberbegriff: gerade. Strukturell ist eine Achse eine Gerade; die Rolle ρ ist eine Annotation an dieser Geraden.
  • Spezialisierungen (eigene Einträge folgen):
  • Symmetrieachse (symmetrieachse): Achse einer Spiegelung.
  • Drehachse (drehachse): Achse einer Drehung; gerichtet.
  • Bezugsachse (bezugsachse): Referenzachse für Abstände und Winkel.
  • Koordinatenachse (koordinatenachse): kanonische Achse eines Koordinatensystems; durch den Ursprung mit Richtungs-Einheitsvektor.
  • Bauteilachse (bauteilachse): geometrische Hauptachse eines Bauteils; Spezialisierung mit Bezug auf einen Bauteilkörper.
  • Bestandteile (partitiv): keine eigenen; die partitiven Bestandteile der Trägergeraden gelten (siehe gerade).
  • Abgrenzung:
  • Gerade (gerade): die geometrische Substanz ohne Rolle. Jede Achse ist eine Gerade plus Rolle; jede Gerade kann durch Annotation einer Rolle zur Achse gemacht werden. Die zwei Begriffe sind nicht synonym, aber die Punktmenge ist dieselbe.
  • Strecke (strecke): begrenzt; eine Achse ist konzeptionell unbegrenzt. Die Trägergerade einer Bauteilachsen-Strecke ist eine Achse im Sinne dieses Eintrags; die Strecke selbst nicht.
  • Halbgerade (halbgerade): einseitig begrenzt; nicht Achse. Eine gerichtete Achse hat zwar eine Richtung, ist aber beidseitig unbegrenzt.
  • Vektor (vektor): ortsfreie Verschiebung; eine Achse hat Ortsbindung (geht durch konkrete Punkte des Raums). Der Richtungsvektor einer Achse ist ein Vektor, die Achse selbst nicht.
  • Faserrichtung (faserrichtung): Einheitsvektor in einer Materialrolle; ortsfrei. Eine Faserrichtung ist keine Achse in diesem Sinne. Eine Bauteilachse ist eine Achse; die Faserrichtung beschreibt die Materialhauptrichtung relativ zum Bauteilkörper, nicht eine Gerade in ℝ³.

Implementierungshinweis

Der Glossarbegriff „Achse" wird in der Domänen-Schicht (zimmermann.domain.geometrie, D4-Stand) als schlanker Wrapper-Datentyp über einer Gerade realisiert, der die Achsenrolle ρ als Aufzählung trägt. Strukturell ist Achse damit keine sealed interface mit Subtyp pro Rolle, sondern eine data class. Die im Glossar als Spezialisierungen genannten Achsenrollen (Symmetrieachse, Drehachse, Bezugsachse, Koordinatenachse, Bauteilhauptachse) werden als Enum-Konstanten geführt; rollenspezifische Operationen sind in D4 noch nicht erforderlich und werden als Folgearbeit hinzugefügt, wenn sie gebraucht werden (siehe „Folgearbeit" unten).

Datentyp (Domänen-Schicht, Kotlin, Schicht zimmermann.domain.geometrie):

package zimmermann.domain.geometrie

/**
 * Achse als Annotation einer Geraden mit semantischer Rolle.
 * Glossar: hg_achse.md
 */
public data class Achse(
    public val gerade: Gerade,
    public val rolle: AchsenRolle = AchsenRolle.UNSPEZIFIZIERT,
)

public enum class AchsenRolle {
    SYMMETRIEACHSE,
    DREHACHSE,
    BEZUGSACHSE,
    KOORDINATENACHSE,
    BAUTEILHAUPTACHSE,
    UNSPEZIFIZIERT,
}
  • Einheit: erbt von gerade (Stützpunkt-Koordinaten in mm, Richtungsvektor-Komponenten dimensionslos bis auf Skalierung).
  • Rolle als Datenfeld vs. Typinformation: D4-pragmatisch wird die Rolle ρ als enum-Feld gespeichert, nicht über Subtypen. Begründung: in der aktuellen Phase gibt es keine rollenspezifischen Operationen, die ein Subtyp typsicher tragen müsste; ein Enum-Feld vermeidet Klassen-Hypertrophie. Wenn später rollenspezifische Operationen anfallen (z. B. fun drehung(achse: Drehachse, winkel: Double): Lage), werden die betreffenden Rollen als eigene Wrapper-Klassen herausgezogen (Folgearbeit).
  • Gerichtetheit: Eine Achse über einer Gerade ist strukturell ungerichtet (Gerade.umkehren() liefert dieselbe Punktmenge). Gerichtete Achsen werden bei Bedarf durch eigene Klassen modelliert (analog zu Bauteilachse, die strukturell über Strecke läuft und damit gerichtet ist).
  • Strukturelle Beziehung zu Bauteilachse: Die im Glossar ausgewiesene Hierarchie bauteilachse oberbegriff achse ist semantisch zu lesen, nicht als Kotlin-Vererbung. Achse (Wrapper über Gerade, unbegrenzt, ungerichtet) und Bauteilachse (Wrapper über Strecke, begrenzt, gerichtet) sind strukturell verschieden; eine Vererbung wäre semantisch falsch. Beide Klassen stehen unabhängig nebeneinander; die KDoc verweist explizit auf die Glossar-Hierarchie als semantische Beziehung.
  • Edge Cases / Entartet-Varianten: Die Gerade-Factory fängt alle entarteten Eingaben ab (Nullrichtung, NichtFinit); die Achse-Konstruktion fügt keine zusätzlichen Invarianten hinzu und kann daher als nackte data class ohne Factory geführt werden. Inkonsistenz-Prüfungen Rolle ↔ Geometrie (z. B. Symmetrieachse einer konkreten Punktmenge) sind Sache der jeweiligen Anwendungsstelle, nicht der Achse-Klasse.
  • Identität / Gleichheit: equals (data-class-Standard) ist strukturell-exakt; für geometrische Identität stellen die Methoden istGleicheAchse(other, eps) (Geraden-Identität UND gleiche Rolle) und istGleicheAchsenLinie(other, eps) (Geraden-Identität, Rolle ignoriert) zur Verfügung.
  • Verwendungsregel: Funktionen, die eine Achse mit einer konkreten Rolle benötigen, prüfen rolle explizit oder nehmen einen rollenspezifischen Wrapper-Typ entgegen, sobald dieser eingeführt ist.

Folgearbeit (trigger-basiert):

  • Rollen als eigene Wrapper-Klassen (Drehachse, Koordinatenachse, Symmetrieachse, Bezugsachse) — wenn rollenspezifische Operationen erforderlich werden (z. B. Drehung um eine Drehachse, Koordinatentransformation entlang einer Koordinatenachse). Bis dahin reicht die Enum-Rolle.
  • sealed interface Achse mit Subtypen statt Enum — wenn mindestens zwei Rollen rollenspezifische API tragen und der Refactoring-Aufwand sich gegen den Vorteil typsicherer Operationen lohnt.

Quellen

Primär (normativ):

  • DIN ISO 80000-2:2022-08, „Größen und Einheiten – Teil 2: Mathematik".
  • ISO 80000-2:2019, „Quantities and units – Part 2: Mathematics".

Sekundär:

  • Bronstein, I. N.; Semendjajew, K. A.; Musiol, G.; Mühlig, H.: Taschenbuch der Mathematik. Edition Harri Deutsch, aktuelle Auflage, Kap. 3.5 und 3.6.
  • Bär, C.: Elementargeometrie. Springer Spektrum, Kap. 4.
  • Fischer, G.: Lineare Algebra. 19. Aufl., Springer Spektrum 2020, Kap. 4.

Korpus (nicht autoritativ):

  • Wikipedia, Lemma „Achse (Geometrie)" (abgerufen 2026-05-08).

Quelle herunterladen

MarkdownPlain TextBibTeX