Pultkante

Prosa-Definition

Eine Pultkante ist eine Dachkante einer geneigten Dachfläche, die vollständig im Rand des Dachflächen-Polygons liegt, näherungsweise horizontal verläuft, unter allen näherungsweise horizontalen Polygonrandkanten dieser Dachfläche die höchste mittlere Höhe besitzt und nicht zugleich Schnittkante mit einer zweiten Dachfläche der Familie ist.

Mathematische Definition

Sei

• 𝒟 = { D₁, …, D_m } eine endliche Familie von Dachflächen,
• D = (E, P, n_a) ∈ 𝒟 eine geneigte Dachfläche im Sinne von dachflaeche mit Trägerebene E, Umrisspolygon P = (v₁, …, v_k), äußerer Normale n_a und Dachneigung α ∈ (0, π/2),
• (e₁, …, e_k) die zyklische Folge der Polygonrandkanten e_i := [v_i, v_{i+1}], v_{k+1} := v_1,
• e_z = (0, 0, 1)ᵀ die vertikale Achse,
• ε_W := Toleranzen.WINKEL_EPS die Winkeltoleranz,
• ε_L := Toleranzen.LAENGE_EPS die Längentoleranz,
• für eine Strecke s = [a, b] der Höhenmittelwert z_bar(s) := ½ · (a_z + b_z) und das Horizontalitätsmaß h(s) := |⟨e_hat(s), e_z⟩| (vgl. traufe).

Die Menge der näherungsweise horizontalen Polygonrandkanten von D ist

H(D) := { e_i | h(e_i) ≤ ε_W,  i = 1, …, k }.

Eine Polygonrandkante e_i heißt Schnittkante mit einer anderen Dachfläche der Familie, wenn ein j ≠ i existiert mit

e_i ⊂ F(P_j),                                                (∗)

d. h. wenn e_i auch im abgeschlossenen Polygonbereich F(P_j) einer zweiten Dachfläche D_j liegt (geprüft mit Toleranz ε_L auf den Punkt-Polygon-Abstand). Bedingung (∗) charakterisiert genau die Konfiguration, in der e_i Bestandteil eines Firsts, Grats oder einer Kehle wäre.

Eine Strecke p ⊂ ℝ³ heißt Pultkante der Dachfläche D in der Familie 𝒟 genau dann, wenn

1. Randkante: p ⊂ ∂F(P) — p ist Polygonrandkante von D,
2. Horizontal: h(p) ≤ ε_W — p verläuft näherungsweise horizontal,
3. Höchste Höhe: z_bar(p) ist Maximum unter allen Elementen von H(D), formal

   z_bar(p) = max { z_bar(e) | e ∈ H(D) },
   

   ausgewertet mit Toleranz ε_L auf der Vertikalen (mehrere Kanten gleicher Maximalhöhe sind zulässig und werden gemeinsam als Pultkante geführt),
4. Keine zweite Dachfläche: p erfüllt nicht (∗), d. h. es gibt keine andere Dachfläche D_j ∈ 𝒟 (j ≠ i), in deren Polygonbereich F(P_j) p ganz enthalten wäre. Anders ausgedrückt: p ist Randkante genau einer Dachfläche.

Die Vereinigung aller so identifizierten Strecken bildet, falls sie über gemeinsame Eckpunkte zusammenhängt, die Pultlinie als Streckenzug; im Regelfall (Pultdach mit rechteckigem Grundriss) besteht sie aus genau einer Strecke.

Wohldefiniertheit

• Existenz: Bei einer geneigten Dachfläche D mit nichtleerem H(D) wird das Maximum in Bedingung 3 angenommen, da F(P) kompakt und ∂F(P) endlich ist. Bedingung 4 ist bei einem isolierten Pultdach (m = 1) trivial erfüllt; bei einem Pultdach an einer Brandwand bleibt sie erfüllt, weil die Wand keine Dachfläche ist (siehe Quellenkonflikt zur Wandanschlusskante).
• Eindeutigkeit: Bei einer geneigten Dachfläche mit eindeutiger oberer Polygonseite (Regelfall im Holzbau) ist die Pultkante als Strecke oder zusammenhängender Streckenzug eindeutig bestimmt. Bei Sonderformen mit mehreren gleichhohen oberen Randkanten liefert die Definition mehrere gleichberechtigte Strecken — das ist gewollt.
• Disjunktheit zu Traufe: Traufe ist die Polygonrandkante mit niedrigster mittlerer Höhe in H(D); Pultkante diejenige mit höchster. Bei einer geneigten Dachfläche (α > 0) sind diese Werte verschieden, sofern H(D) mindestens zwei verschiedene Höhen enthält — Regelfall im Holzbau. Bei einer Dachfläche mit nur einer einzigen horizontalen Randkante (z. B. Walmfläche-Dreieck mit einer einzigen Trauf­kante) gibt es keine Pultkante; Bedingung 3 liefert dieselbe Kante wie für die Traufe, aber Bedingung 4 schließt sie aus, falls sie zugleich Schnittkante eines anderen Dachflächen-Polygons wäre — sonst klassifiziert sie eindeutig als Traufe (untere Kante) und nicht als Pultkante. Operativ wird die Disjunktheit dadurch gesichert, dass eine Kante zuerst auf Schnittkanten-Kriterien (First/Grat/Kehle) geprüft wird, dann auf Traufe (Minimum), dann auf Pultkante (Maximum, alleinig).
• Disjunktheit zu First: First ist Schnittkante zweier Dachflächen; Bedingung 4 schließt das aus.
• Disjunktheit zu Ortgang: Ortgang verläuft entlang der Falllinie und ist nicht horizontal; Bedingung 2 schließt das aus.
• Konsistenz mit dachkante: Eine Pultkante ist nach Bedingung 1 eine Randkante der Dachfläche D, also eine Dachkante (Fall „Randkante").
• Nicht-Zirkularität: Die Definition stützt sich nur auf strecke, dachflaeche, polygon, vektor, toleranzen und den Oberbegriff dachkante.

Erläuterung (nicht normativ)

Die Pultkante ist die obere, horizontale Randkante einer Pultdachfläche — das Gegenstück zur Traufe am unteren Rand. Im Gegensatz zum First entsteht sie nicht durch das Zusammentreffen zweier Dachflächen, sondern durch das einseitige Ende der Dachfläche. Konstruktiv schließt sie häufig an eine aufgehende Wand an (Brandwand, höhere Nachbarwand, Attikabereich); in diesem Fall ist der Wandanschluss durch eine Wandanschlussabdichtung herzustellen (Eindeckung mit Wandanschlussblech, Z-Profil oder Hochzug der Dachhaut).

Bei einem klassischen Pultdach mit rechteckigem Grundriss hat die einzige Dachfläche genau vier Polygonrandkanten: - eine Traufe (untere horizontale Kante), - eine Pultkante (obere horizontale Kante), - zwei Ortgänge (seitliche, geneigte Kanten entlang der Falllinie).

Komplexere Pultdachformen (z. B. mit polygonal abgeknicktem Grundriss oder mit gestaffelten Höhen) ergeben Pultlinien aus mehreren Streckenstücken, die durch die Streckenzug-Modellierung erfasst werden.

Beziehungen

• Oberbegriff: dachkante, Spezialfall „Randkante" mit zusätzlichen Lagebedingungen (näherungsweise horizontal, höchste mittlere Höhe, keine Schnittkante mit einer zweiten Dachfläche).
• Geschwister-Begriffe (andere Spezialisierungen von dachkante): traufe, first, ortgang, grat, kehle.
• Bestandteile (partitiv): Anfangspunkt und Endpunkt der Pultlinien-Strecke bzw. die Stützpunkte des Streckenzugs.
• Abgrenzung:
• Traufe (traufe): untere horizontale Randkante; gleiches Schema, aber Minimum statt Maximum der mittleren Höhe.
• First (first): obere horizontale Schnittkante zweier Dachflächen; Bedingung 4 (keine zweite Dachfläche) schließt diese Klassifikation aus.
• Ortgang (ortgang): seitliche, geneigte Randkante entlang der Falllinie; nicht horizontal.
• Grat (grat) / Kehle (kehle): geneigte Schnittkanten zweier Dachflächen.
• Wandanschlusskante (eigener Eintrag folgt bei Bedarf): jene Kante, an der eine Dachfläche an eine aufgehende Wand stößt; kann mit der Pultkante geometrisch zusammenfallen, ist aber eine von der Wand-Klassifikation ausgehende, davon unabhängige Eigenschaft. Eine Kante kann zugleich Pultkante und Wandanschlusskante sein.
• Attika / Attikakante: aufgehende Mauerkrone an einem Flachdachrand; betrifft nicht das Pultdach und ist hier nicht definiert.

Implementierungshinweis

Datentyp (Domänen-Schicht, Kotlin, Schicht domain.bauteil):

sealed class Pultkante : Dachkante() {

    data class Regulaer(
        override val polylinie: Streckenzug,
        val dachflaeche: Dachflaeche
    ) : Pultkante()

    sealed class Entartet : Pultkante() {
        object Nullkante : Entartet()
        object NichtIdentifizierbar : Entartet()
    }
}

Klassifikations-Prädikat in DachkanteOps.kt:

fun istPultkante(
    e: Strecke,
    d: Dachflaeche,
    familie: List<Dachflaeche>,
    eps_W: Double = Toleranzen.WINKEL_EPS,
    eps_L: Double = Toleranzen.LAENGE_EPS
): Boolean {
    // 1. e ist Polygonrandkante von d
    if (!d.umriss.enthaeltKante(e, eps_L)) return false
    // 2. e ist näherungsweise horizontal
    val eHat = e.einheitsRichtung().werteOder { return false }
    if (abs(eHat dot Vektor.E_Z) > eps_W) return false
    // 3. z_bar(e) ist Maximum unter allen näherungsweise horizontalen
    //    Polygonrandkanten von d
    val horizontale = d.umriss.kanten().filter { it.istHorizontal(eps_W) }
    val maxZ = horizontale.maxOf { it.hoehenMittelwert() }
    if (abs(e.hoehenMittelwert() - maxZ) > eps_L) return false
    // 4. e ist keine Schnittkante mit einer anderen Dachfläche der Familie
    val andere = familie.filter { it !== d }
    for (dj in andere) {
        if (dj.umriss.enthaeltStrecke(e, eps_L)) return false
    }
    return true
}

• Einheit: alle Koordinaten in mm (Double), Längen in mm.
• Invarianten (in Factory prüfen, niemals Exception):
• ℓ(polylinie) > Toleranzen.LAENGE_EPS — sonst Entartet.Nullkante.
• Jede Teilstrecke der Polylinie ist Polygonrandkante der übergebenen Dachfläche.
• Jede Teilstrecke ist näherungsweise horizontal: |e_hat · e_z| ≤ Toleranzen.WINKEL_EPS.
• Mittlere z-Höhe jeder Teilstrecke ist gleich dem Maximum der mittleren z-Höhen aller näherungsweise horizontalen Polygonrandkanten der Dachfläche, mit Toleranz Toleranzen.LAENGE_EPS.
• Keine andere Dachfläche der Familie enthält die Teilstrecke in ihrem Polygonbereich (Bedingung 4 in der mathematischen Definition).
• Edge Cases:
• Nullkante: ℓ ≤ Toleranzen.LAENGE_EPS → Entartet.Nullkante.
• NichtIdentifizierbar: Keine näherungsweise horizontale obere Polygonrandkante existiert (z. B. bei einer Walmfläche-Dreieck ohne obere horizontale Kante) oder die obere Kante ist zugleich Schnittkante mit einer anderen Dachfläche (dann First/Grat/Kehle statt Pultkante) → Entartet.NichtIdentifizierbar.
• Flachdach (α = 0): obere Kante nicht von unterer Kante unterscheidbar → Entartet.NichtIdentifizierbar.
• Geneigte obere Kante (z. B. Pultdach mit schrägem Wandanschluss): Bedingung 2 verletzt → die Kante ist als Ortgang zu klassifizieren, nicht als Pultkante.
• Wandanschluss: Eine Pultkante kann zugleich Wandanschlusskante sein; das wirkt sich nicht auf die Pultkante- Klassifikation aus. Die Wand ist keine Dachfläche der Familie 𝒟.
• Geknickte Pultkante: zulässig durch Streckenzug-Modellierung; jede Teilstrecke wird einzeln klassifiziert.
• Abgeleitete Operationen:
• fun pultkantenlaenge(): Double (mm) = ℓ(polylinie).
• fun pultlinie(): Streckenzug = polylinie.
• fun pulthoehe(): Double (mm) = mittlere z-Koordinate der Polylinie (Bezugsmaß für die Pultdachhöhe gegenüber der Traufe).

Quellen

Primär (normativ):

• SIA 232/1:2020, „Geneigte Dächer", Schweizerischer Ingenieur- und Architektenverein, Abschnitt 1.
• DIN 1356-1:1995-02, „Bauzeichnungen – Teil 1: Arten, Inhalte und Grundregeln der Darstellung", Abschnitt 5.

Sekundär:

• Mönck, W.; Rug, W.: Holzbau – Bemessung und Konstruktion.
• Auflage, Beuth Verlag 2015.
• Lignum (Hrsg.): Lignatec — Geneigte Dächer in Holzbauweise. Lignum, Zürich, aktuelle Auflage.

Korpus (nicht autoritativ):

• Wikipedia, Lemma „Pultdach" (abgerufen 2026-05-08).

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