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Bleischnitt

Prosa-Definition

Ein Bleischnitt ist eine im Welt-Koordinatensystem festgelegte Ebene, deren Normalenrichtung parallel zur Welt-Lotachse verläuft, sodass die Ebene selbst rechtwinklig zur Lotrichtung steht und damit waagerecht liegt.

Mathematische Definition

Sei

  • W das Welt-Koordinatensystem (siehe weltkoordinatensystem) mit Einheitsvektoren e_hat_x, e_hat_y, e_hat_z, wobei e_hat_z vertikal nach oben zeigt und damit die Lotachsen-Richtung trägt,
  • E ⊂ ℝ³ eine Ebene im Sinne von ebene, repräsentiert in Hesse-Normalform durch das Paar (n_hat, d) ∈ S² × ℝ,
  • ε_K := Toleranzen.KOLLINEAR_EPS die einschlägige dimensionslose Toleranzkonstante für Skalarprodukt-basierte Lage-Tests (siehe toleranzen).

Dann gilt E ist Bleischnitt genau dann, wenn

| ⟨ n_hat, e_hat_z ⟩ | ≥ 1 − ε_K.                                        (1)

Äquivalente Formulierungen:

  • Geometrisch: die Ebenen-Normale n_hat ist parallel oder antiparallel zur Welt-Lotachse e_hat_z; folglich steht die Ebene E rechtwinklig zur Lotrichtung und ist waagerecht.
  • Über Höhenkonstanz: für jeden Punkt p ∈ E hat ⟨e_hat_z, p⟩ denselben Wert; E ist eine Höhenlinie der z-Koordinaten- funktion.

Die zugehörige Bleischnitt-Menge ist die Klasse aller Ebenen, die (1) erfüllen:

ℬ := { E ⊂ ℝ³ | E Ebene, |⟨n_hat_E, e_hat_z⟩| ≥ 1 − ε_K }.              (2)

Bleischnitt ist damit ein Prädikat (istBleischnitt: Ebene → Bool), nicht ein eigener geometrischer Konstruktor.

Wohldefiniertheit

  • Vorzeichen-Invarianz: Die Hesse-Normalform repräsentiert E nur bis auf die Vorzeichenmehrdeutigkeit (n_hat, d) ↔ (−n_hat, −d) (siehe ebene Wohldefiniertheit). Bedingung (1) ist davon unabhängig, weil sie den Betrag |⟨n_hat, e_hat_z⟩| verwendet: |⟨−n_hat, e_hat_z⟩| = |−⟨n_hat, e_hat_z⟩| = |⟨n_hat, e_hat_z⟩|. Das Prädikat ist damit auf der Ebene wohldefiniert, nicht nur auf einer bestimmten Hesse-Repräsentation.
  • Existenz: Für jede Ebene E ist ⟨n_hat_E, e_hat_z⟩ wohldefiniert (Skalarprodukt zweier Einheitsvektoren in ℝ³); der Betrag und der Vergleich mit 1 − ε_K liefern einen Wahrheitswert.
  • Eindeutigkeit der Klassifikation: Bei gegebener Toleranz ε_K liefert (1) eine eindeutige Ja-Nein-Antwort. Innerhalb des Toleranzbandes |⟨n_hat, e_hat_z⟩| ∈ (ε_K, 1 − ε_K) ist E weder Senkel noch Bleischnitt; die beiden Klassen sind disjunkt, decken aber nicht alle Ebenen ab (geneigte Ebenen fallen in keine).
  • Konsistenz mit Senkel: Aus (1) und der Senkel-Bedingung |⟨n_hat, e_hat_z⟩| ≤ ε_K folgt, dass eine Ebene mit ε_K < 1 − ε_K (also für jede praktische Wahl von ε_K) nicht gleichzeitig Bleischnitt und Senkel sein kann. Die beiden Prädikate sind zueinander disjunkt (Beweis: Annahme Bleischnitt-Bedingung ∧ Senkel-Bedingung erzwingt ε_K ≥ 1 − ε_K, also ε_K ≥ 1/2, was die Toleranzwahl ausschliesst).
  • Toleranzwahl KOLLINEAR_EPS (dimensionslos): Die Bedingung (1) testet ein Skalarprodukt zweier Einheitsvektoren, also einen Cosinus. Die einschlägige App-Toleranzkonstante für Cosinus-/Sinus-basierte Lage-Tests ist KOLLINEAR_EPS (siehe toleranzen, Abschnitt „Kollinearitäts-Toleranz"); WINKEL_EPS (in Radiant) wäre dimensionsfremd. Die beiden Konstanten sind im App-Default beide auf 10⁻⁹ gesetzt, sodass die numerische Schwelle praktisch gleich ist.
  • Nicht-Zirkularität: Die Definition stützt sich nur auf bereits definierte Begriffe (ebene, weltkoordinatensystem, einheitsvektor, toleranzen). Sie kommt nicht in ihrer eigenen Definition vor und verweist nicht auf senkel als Voraussetzung, sondern nur in der Abgrenzung.

Erläuterung (nicht normativ)

Etymologie

Der Begriff Blei stammt vom Bleigewicht des Lots, dem klassischen Zimmermanns-Werkzeug aus einem Stück Blei an einer Schnur. Das Bleigewicht hängt per Schwerkraft strikt entlang der Lotrichtung; eine Fläche, auf der das Blei zur Ruhe kommt, steht entsprechend rechtwinklig zur Lotrichtung — sie ist „im Lot, also waagerecht". Eine Schnittfläche mit dieser Lage heisst deshalb Bleischnitt oder kurz Blei. Der Begriff ist komplementär zum Senkel (siehe senkel): der Senkel bezeichnet die Schnur, an der das Bleigewicht hängt, und gibt dem Senkelschnitt seinen Namen — die zur Schwerkraft parallel verlaufende, also lotrechte Fläche. (Quelle: Holzbau-Schweiz-Magazin, Sammelserie „Austragen", Teil 4.)

Verwendung im Holzbau

Bleischnitte treten an mehreren Stellen am geneigten Dach auf:

  • Kervsohle der Standardklauenkerve (siehe kerve, α₁ = α₂ = π/2): die Sohle ist ein Bleischnitt; sie liegt formschlüssig auf der waagerecht orientierten Pfetten- Oberkante. Die beiden Flanken sind dagegen Senkel.
  • Bezugsebene des Sparren-Tools: die Bezugsebene auf der Höhe des Bleischnitts der Fußpfetten-Kerve ist selbst ein Bleischnitt mit zusätzlicher Bezugsrolle (siehe bezugsebene).
  • Sparrenüberstand-Begrenzung: der obere Endpunkt des Sparrenüberstands liegt am Bleischnitt-Punkt p_K der Fußpfettenkerve (siehe hg_kerve.md Gl. (7a)/(7b), hg_sparrenueberstand.md).
  • Sparrenfuß-Stirnseite im Standardfall „waagerechter Sparrenfußabschnitt" bei Sparren mit horizontaler Stirnfläche: die Stirnfläche ist ein Bleischnitt (für Stirnbretter, die waagerecht ausgerichtet werden).
  • Pfettenoberkante und Pfettenunterkante als geometrische Bezugsflächen: beide sind Bleischnitte (sofern die Pfette in Standardlage horizontal eingebaut ist).
  • Bleiriss im Werkplan: die zeichnerische Darstellung der Bleilage in Höhenrissen.

Bleischnitt und Bezugsebene

Im Standardfall (horizontaler Höhenbezug) ist eine Bezugsebene typisch ein Bleischnitt mit zusätzlicher Bezugsrolle (siehe bezugsebene). Die beiden Begriffe sind dabei nicht gleich: ein Bleischnitt ist eine geometrische Lage-Klassifikation jeder horizontalen Ebene; eine Bezugsebene ist eine ausgezeichnete Bleischnitt-Ebene mit zugewiesener Höhenreferenz-Rolle in einem konkreten Tool. Jede Bezugsebene im Standardfall ist ein Bleischnitt, aber nicht jeder Bleischnitt ist eine Bezugsebene.

„Höhe des Bleischnitts" als skalare Lesart

In Werkplan- und Tool-Sprache wird gelegentlich von der „Höhe des Bleischnitts" (z. B. der Fußpfettenkerve) gesprochen. Diese Lesart bezeichnet die abgeleitete Skalar-Größe z = ⟨e_hat_z, p⟩ für einen ausgezeichneten Punkt p der Bleischnittebene (etwa den Bleischnitt-Punkt p_K der Fußpfettenkerve nach hg_kerve.md Gl. (7a)/(7b)); sie ist nicht eine alternative Definition des Bleischnitts. Der Bleischnitt selbst bleibt eine Ebene mit Lage-Klassifikation gemäß (1), kein Punkt und keine Skalar- Größe.

Toleranz in der Praxis

Die Toleranzbedingung (1) berücksichtigt, dass eine in der App modellierte Bleischnitt-Fläche durch numerische Konstruktion leicht von der exakten Lage abweichen kann. Mit KOLLINEAR_EPS = 10⁻⁹ entspricht die Toleranz einer Winkelabweichung von etwa 5,73·10⁻⁸ Grad und ist damit weit unterhalb jeder praktischen Zimmermannstoleranz; sie filtert nur numerische Restfehler.

Beziehungen

  • Oberbegriff: ebene. Ein Bleischnitt ist eine Ebene mit zusätzlicher Rolle (Rechtwinkligkeit zur Lotachse).
  • Spezialisierungen: keine eigenständigen Glossar- Spezialisierungen vorgesehen; konkrete Bleischnitt- Verwendungen (Kervsohle, Bezugsebene, Pfettenoberkante) sind keine eigenen Begriffe, sondern Anwendungen oder rollenbezogene Spezialisierungen mit eigenem Eintrag (z. B. bezugsebene).
  • Bestandteile (partitiv):
  • Trägerebene (geerbt von ebene): die Punktmenge im Welt-Koordinatensystem.
  • Bleischnitt-Eigenschaft: das Lage-Merkmal nach (1). Es ist keine zusätzliche Information, sondern eine ableitbare Eigenschaft der Ebene.
  • Verwendung:
  • Klassifikation der Kervsohle in hg_kerve.md für den Standardfall α₁ = α₂ = π/2.
  • Klassifikation der Bezugsebene im Standardfall (siehe bezugsebene).
  • Geometrischer Anker des Sparrenüberstands (siehe sparrenueberstand).
  • Klassifikation von Sparren-Stirnseiten am Werkplan (Bleischnitt vs. Senkel vs. rechtwinkliger Anschnitt).
  • Werkplan-Beschriftung als Hinweis auf die Schnittart (Bleischnitt-Notation in der traditionellen Schweizer Werkplan-Konvention).
  • Abgrenzung:
  • Ebene (ebene): allgemeines geometrisches Primitiv ohne Lage-Merkmal. Bleischnitt ist eine Ebene mit Lage-Klassifikation.
  • Senkel (senkel): Schwester-Begriff. Während der Bleischnitt rechtwinklig zur Welt-Lotachse verläuft (Normale parallel zur Lotachse), verläuft der Senkel parallel zur Welt-Lotachse (Normale rechtwinklig zur Lotachse). Senkel und Bleischnitt sind die beiden ausgezeichneten Lot-Lage-Klassen einer Ebene; sie sind geometrisch komplementär und zueinander disjunkt.
  • Bezugsebene (bezugsebene): tool-eigene Höhenreferenz mit zusätzlicher Bezugsrolle. Eine Bezugsebene ist im Standardfall ein Bleischnitt; aber nicht jeder Bleischnitt ist eine Bezugsebene (die Bezugsrolle ist die zusätzliche Information).
  • Dachfläche (dachflaeche): geneigte Berandungsfläche eines Daches. Eine Dachfläche ist im Regelfall weder Bleischnitt noch Senkel (sie ist um die Dachneigung geneigt); im Grenzfall Dachneigung = 0° (Flachdach) wäre sie ein Bleischnitt, im Grenzfall Dachneigung = 90° ein Senkel.
  • Welt-Koordinatensystem (weltkoordinatensystem): legt die Lotachsen-Richtung e_hat_z fest, gegen die Bleischnitt und Senkel gemessen werden. Ohne Welt-Koordinatensystem sind Bleischnitt und Senkel nicht definiert.

Implementierungshinweis

Kein eigener Code-Typ. Bleischnitt wird in der Domänen-Schicht als Prädikat über Ebene realisiert, nicht als data class oder Subtyp. Die Implementierung lebt als Erweiterungsfunktion auf Ebene:

package domain.geometrie

import domain.Toleranzen
import kotlin.math.abs

/**
 * Prädikat: ist diese Ebene ein Bleischnitt?
 *
 * Eine Ebene ist genau dann Bleischnitt, wenn ihre Normale
 * parallel oder antiparallel zur Welt-Lotachse e_hat_z = (0, 0, 1)
 * steht, d. h.
 *
 *   |⟨n_hat, e_hat_z⟩| ≥ 1 − Toleranzen.KOLLINEAR_EPS.
 *
 * Glossar: hg_bleischnitt.md (Prädikat über `hg_ebene.md`).
 *
 * Wohldefiniertheit: das Prädikat ist invariant unter
 * Vorzeichenwechsel der Hesse-Normalform (Betrags-Bedingung),
 * siehe Glossar Wohldefiniertheit.
 */
fun Ebene.istBleischnitt(eps: Double = Toleranzen.KOLLINEAR_EPS): Boolean {
    val nz = this.normaleEinheit().z       // ⟨n_hat, e_hat_z⟩
    return abs(nz) >= 1.0 - eps
}
  • Einheit: dimensionsloser Skalarprodukt-Vergleich.
  • Identität: keine; Bleischnitt ist eine Eigenschaft, kein Objekt.
  • Toleranz: KOLLINEAR_EPS (nicht WINKEL_EPS), siehe Wohldefiniertheits-Block.
  • Edge Cases:
  • Geneigte Ebene mit kleinem Lot-Abstand-Sinus (z. B. Dachneigung 0,01°): klassifiziert per (1) nicht als Bleischnitt, sondern als geneigte Ebene; das ist beabsichtigt (Bleischnitt ist ein scharfer Lage-Begriff, nicht „nahe waagerecht").
  • Bezugsebene als Bleischnitt: Standardfall; das Prädikat liefert true für jede horizontale Bezugsebene (siehe bezugsebene). Kein Sonderverhalten.
  • Welt-Koordinatensystem mit anderer e_hat_z-Wahl: das Prädikat ist gegen die im weltkoordinatensystem festgelegte Lotachsen-Richtung formuliert; eine Abweichung wäre eine Verletzung der Welt-Konvention und keine Bleischnitt-Klassifikation.

Folgearbeit (trigger-basiert):

  • hoehenlinie (Höhenlinie als ausgezeichneter Bleischnitt-Schnitt durch eine Bauteilfläche): Trigger: erstes Tool, das Höhenlinien-Konstruktion an Bauteilen benötigt (z. B. Walmdach-Tool zur Konstruktion des Walmgrats über Höhenlinien-Schnitte).
  • bleiriss (Bleiriss als Werkplan-Begriff): Trigger: erstes Werkplan-Beschriftungs-Tool.
  • Klassifikations-Hilfsfunktion Ebene.lotLage(): liefert einen Enum LotLage = SENKEL | BLEISCHNITT | GENEIGT für die einheitliche Klassifikation. Trigger: erstes Tool, das diese Klassifikation in einer Schleife über mehrere Ebenen benötigt.
  • Cross-Verweis in hg_sparren.md: Sparren-Stirnseiten-Anschnitte (z. B. Bleischnitt am Sparrenfuß bei waagerecht abgeschnittenem Sparrenende) sind ein natürlicher Anwendungsfall von Senkel/Bleischnitt. Trigger: bei Anlage des anschnitt.md-Eintrags (Folgearbeit aus hg_bearbeitung.md), gemeinsam mit den anderen Sparren-Schnitt-Begriffen einbauen.
  • Cross-Verweis in hg_dachflaeche.md: eine Dachfläche ist weder Bleischnitt noch Senkel (geneigte Ebene); Abgrenzungs-Hinweis ist sinnvoll. Trigger: bei erstem Tool, das Dachflächen-Geometrie mit nicht-trivialen Schnittwinkeln behandelt, oder bei nächster substanzieller hg_dachflaeche.md-Überarbeitung.

Quellen

Primär (normativ):

  • Holzbau Schweiz (Hrsg.): Magazin-Sammelserie „Austragen", Teil 4 — Senkel- und Bleischnitt am geneigten Dach. Berufsverband Holzbau Schweiz, Zürich. (Stellenangabe nicht abschließend verifiziert; siehe quellenkonflikt-Block.)

Sekundär:

  • Lignum (Hrsg.): Holzbautabellen HBT. Lignum, Zürich, aktuelle Auflage, Kap. „Sparrenanschlüsse" und „Austragen".
  • Mönck, W.; Rug, W.: Holzbau – Bemessung und Konstruktion.
  • Auflage, Beuth, Berlin 2015, Kap. 11.
  • Gerner, M.: Fachwerk – Instandsetzung, Sanierung, Neubau. DVA, 7. Auflage 2007.

Korpus (nicht autoritativ):

  • baubeaver.de: „Bleischnitt am Sparren — der Zimmerer erklärt" (abgerufen 2026-05-09).

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