Halbgerade

Prosa-Definition¶

Eine Halbgerade (auch Strahl) ist ein einseitig begrenzter, zur anderen Seite unbegrenzter Ausschnitt einer Geraden, der durch einen ausgezeichneten Ursprungspunkt p₀ und einen Nicht-Nullvektor v als Richtung gegeben ist und genau jene Punkte enthält, die von p₀ aus durch nicht-negative reelle Vielfache von v erreicht werden.

Mathematische Definition¶

Sei

p₀ ∈ ℝ³ der Ursprungspunkt (Anfangspunkt der Halbgeraden),
v ∈ ℝ³ \ {0} der Richtungsvektor.

Dann ist die durch (p₀, v) definierte Halbgerade h ⊂ ℝ³ die Menge

h(p₀, v) := { p₀ + t · v ∈ ℝ³ | t ∈ [0, ∞) }.

Die Halbgerade ist gerichtet: anders als bei der Geraden gilt h(p₀, v) ≠ h(p₀, −v); die beiden Mengen sind die zwei komplementären Halbgeraden derselben Trägergeraden mit gemeinsamem Ursprungspunkt p₀ (h(p₀, v) ∩ h(p₀, −v) = {p₀}).

Wesentliche abgeleitete Größen:

Trägergerade: g(p₀, v) ⊃ h(p₀, v).
Einheits-Richtung: v_hat := v / ‖v‖.
Komplementäre Halbgerade: h(p₀, −v).

Wohldefiniertheit¶

Skalierung des Richtungsvektors mit positivem Faktor: Für jedes λ > 0 gilt h(p₀, λ·v) = h(p₀, v), denn { p₀ + t·(λv) | t ≥ 0 } = { p₀ + (λt)·v | t ≥ 0 } = h(p₀, v).
Skalierung mit negativem Faktor kehrt die Halbgerade um: h(p₀, −v) ist die komplementäre Halbgerade, nicht dieselbe. Die Halbgerade ist also durch die Richtungs-Halbgerade in S² (also v_hat bis auf positive Skalierung), nicht nur durch die Richtungslinie bestimmt.
Ursprungspunkt ist eindeutig: p₀ ist der einzige Punkt von h(p₀, v), der nicht im offenen Inneren liegt; er ist durch die Halbgerade als Punktmenge eindeutig festgelegt.
Existenz: Für jedes (p₀, v) mit v ≠ 0 ist h nicht-leer und enthält überabzählbar viele Punkte.
Nicht-Zirkularität: Die Definition verwendet Punkt, Vektor und reelles Intervall.

Erläuterung (nicht normativ)¶

Im Holzbau tritt die Halbgerade konzeptionell auf als

gedachte Verlängerung einer Bauteilachse über eines ihrer Enden hinaus (z. B. Sparrenachse über den Firstpunkt hinaus zur Bestimmung von Verschneidungen),
Sichtstrahl in der Visualisierung (Raycasting).

Beide Anwendungen sind im DACH-Holzbau-Korpus nur schwach belegt und konzeptioneller Natur. Eine Anwendung als „gerichtete Wirkungslinie einer Last" wäre fachlich irreführend: die Wirkungs- linie einer Kraft ist in der Technischen Mechanik konsensual eine Gerade (mit separat geführtem Richtungssinn), nicht eine Halbgerade. Das Verschiebungsaxiom der Statik / Linienflüchtigkeit verlangt bilaterale Verschiebung entlang der Wirkungslinie, die auf einer Halbgerade nicht definiert wäre.

Sie ist von der Strecke (zwei Endpunkte) und der Geraden (unbegrenzt in beide Richtungen) klar zu unterscheiden.

Beziehungen¶

Oberbegriff: einseitig begrenzte Teilmenge einer Geraden; formal das Bild des Halbintervalls [0, ∞) unter einer affinen Abbildung.
Bestandteile (partitiv): Ursprungspunkt p₀; offenes Inneres { p₀ + t·v | t > 0 }; offenes Ende (kein Endpunkt) bei t → ∞.
Abgrenzung:
Gerade (gerade): unbegrenzt in beide Richtungen, ungerichtet. Eine Halbgerade ist eine echte Teilmenge ihrer Trägergerade.
Strecke (strecke): beidseitig begrenzt, endliche Länge. Eine Strecke [a, b] ist die Schnittmenge h(a, b−a) ∩ h(b, a−b) der beiden komplementären Halbgeraden mit Ursprung a bzw. b.
Vektor (vektor): ortsfreie Verschiebung; eine Halbgerade ist die ortsgebundene Realisierung einer „Richtung ab einem Punkt".

Implementierungshinweis¶

Datentyp (Domänen-Schicht, Kotlin, Schicht domain.geometrie):

data class Halbgerade(
    val ursprung: Punkt,      // p₀
    val richtung: Vektor      // v, ‖richtung‖² > Toleranzen.NORM_EPS
) {
    init {
        // ‖richtung‖² > Toleranzen.NORM_EPS, sonst Entartet.Nullrichtung
    }
}

Einheit: Ursprungs-Koordinaten und Richtungskomponenten in mm (Double). Die Richtung ist intern nicht zwingend normiert.
Invarianten:
‖richtung‖² > Toleranzen.NORM_EPS.
Alle Komponenten finit.
Edge Cases / Entartet-Varianten:
Nullrichtung: Entartet.Nullrichtung.
Nicht-finite Koordinaten: Entartet.NichtFinit.
Abgeleitete Operationen (HalbgeradeOps.kt):
fun einheitsRichtung(): Vektor.
fun punktAuf(t: Double): Punkt für alle reellen t. Für t < 0 liegt das Ergebnis nicht auf der Halbgeraden, sondern auf der komplementären Halbgeraden; der Aufrufer kann das mit enthaelt(p) prüfen, falls nötig.
fun traegergerade(): Gerade = Gerade(ursprung, richtung).
fun komplement(): Halbgerade = Halbgerade(ursprung, −richtung).
fun enthaelt(p: Punkt, eps: Double = Toleranzen.LAENGE_EPS): Boolean = (a) traegergerade().enthaelt(p, eps) und (b) ⟨p − ursprung, einheitsRichtung()⟩ ≥ −eps.

Quellen¶

Primär (normativ):

DIN ISO 80000-2:2022-08, „Größen und Einheiten – Teil 2: Mathematik".

Sekundär:

Bronstein, I. N.; Semendjajew, K. A.; Musiol, G.; Mühlig, H.: Taschenbuch der Mathematik. Kap. 3.5.1.
Bär, C.: Elementargeometrie. Springer Spektrum.
Fischer, G.: Lineare Algebra. 19. Aufl., Springer Spektrum 2020.

Korpus (nicht autoritativ):

Wikipedia, Lemma „Strahl (Geometrie)" (abgerufen 2026-05-07).

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