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Halbraum

Prosa-Definition

Ein Halbraum ist eine der beiden zusammenhängenden Teilmengen von ℝ³, in die der Raum durch eine Ebene zerlegt wird, festgelegt durch einen Stützpunkt p₀ ∈ ℝ³ in der Randebene und einen Nicht-Nullvektor n ∈ ℝ³, der per Konvention in den Halbraum hinein zeigt; je nach Wahl gehört die Randebene zum Halbraum (geschlossener Halbraum) oder nicht (offener Halbraum).

Mathematische Definition

Sei

  • p₀ ∈ ℝ³ ein Stützpunkt auf der Randebene,
  • n ∈ ℝ³ \ {0} der in den Halbraum hinein gerichtete Halbraum-Normalenvektor.

Dann sind der durch (p₀, n) definierte geschlossene Halbraum H_bar und der offene Halbraum H° ⊂ ℝ³ die Mengen

H_bar(p₀, n) := { x ∈ ℝ³ | ⟨n, x − p₀⟩ ≥ 0 },
H°(p₀, n) := { x ∈ ℝ³ | ⟨n, x − p₀⟩ > 0 }.

Der Rand beider Mengen ist die Ebene

∂H = E(p₀, n) = { x ∈ ℝ³ | ⟨n, x − p₀⟩ = 0 },

und es gilt H_bar = H° ∪ ∂H sowie H° = H_bar \ ∂H.

In Hesse-Normalform mit n_hat := n / ‖n‖ und d := ⟨n_hat, p₀⟩ wird

H_bar(p₀, n) = { x ∈ ℝ³ | ⟨n_hat, x⟩ ≥ d },
H°(p₀, n) = { x ∈ ℝ³ | ⟨n_hat, x⟩ > d }.

Wesentliche abgeleitete Größen für x ∈ ℝ³:

  • Vorzeichenbehafteter Abstand zur Randebene: d_H(x) := ⟨n_hat, x − p₀⟩, in mm. d_H(x) > 0 ⇔ x ∈ H°, d_H(x) = 0 ⇔ x ∈ ∂H, d_H(x) < 0 ⇔ x ∉ H_bar.
  • Komplementärer Halbraum: H_bar(p₀, −n) bzw. H°(p₀, −n); es gilt H_bar(p₀, n) ∪ H_bar(p₀, −n) = ℝ³ und H_bar(p₀, n) ∩ H_bar(p₀, −n) = ∂H.

Wohldefiniertheit

  • Unabhängigkeit vom Stützpunkt innerhalb der Randebene: Für jedes p₀' ∈ ∂H gilt H_bar(p₀', n) = H_bar(p₀, n) und analog für H°. Beweis wie bei ebene: aus ⟨n, p₀' − p₀⟩ = 0 folgt ⟨n, x − p₀'⟩ = ⟨n, x − p₀⟩.
  • Skaleninvarianz mit positivem Faktor: Für jedes λ > 0 gilt H_bar(p₀, λ·n) = H_bar(p₀, n) (analog für H°), denn ⟨λn, ·⟩ ≥ 0 ⇔ ⟨n, ·⟩ ≥ 0.
  • Vorzeichenwechsel kehrt den Halbraum um: H_bar(p₀, −n) ist der komplementäre Halbraum, nicht derselbe. Die Wahl von sign(n) ist also wesentlich; ein Halbraum ist orientiert.
  • Geschlossen vs. offen: H_bar und H° sind verschiedene Mengen (sie unterscheiden sich um die Randebene ∂H). Beide werden benötigt; geschlossene Variante ist Default (siehe Implementierung).
  • Existenz: Für jedes (p₀, n) mit n ≠ 0 sind H_bar und H° nicht-leer.
  • Nicht-Zirkularität: Die Definition verwendet Punkt, Vektor, Skalarprodukt und Ordnungsrelation reeller Zahlen; sie greift auf ebene nur insofern zurück, als der Rand des Halbraums eine Ebene ist (Folgerung, nicht Voraussetzung).

Erläuterung (nicht normativ)

Ein Halbraum ist die geometrische Abstraktion einer „Seite" einer Ebene. Im Holzbau ist diese Unterscheidung allgegenwärtig:

  • Oberhalb / unterhalb einer Dachfläche: der Halbraum oberhalb einer Dachebene (Außennormale weist nach außen-oben) ist der Außenraum, der Halbraum unterhalb der Innenraum unter Dach.
  • Innen / außen eines Bauteils: Vollholz-Bauteile sind durch Schnitt mehrerer geschlossener Halbräume modellierbar; jede Begrenzungsfläche definiert „innen" als ihre Halbraumseite mit nach innen weisender Normale.
  • Liegt der Punkt p auf der richtigen Seite einer Schnittfläche? ist ein Halbraum-Inzidenztest.

Vorgesehen als Bausteine für Bauteilbegrenzungen: Polyeder (z. B. Balkenquader, beschnittene Sparrenenden, vollständige Bauteilkörper) werden in der Domänen-Schicht als endliche Schnittmengen geschlossener Halbräume dargestellt. Halbräume sind damit der atomare Bestandteil aller volumetrischen Bauteilformen.

Die Konvention „Normale zeigt in den Halbraum hinein" wird gewählt, weil sie den Inzidenztest in der natürlichen Form ⟨n, x − p₀⟩ ≥ 0 ⇔ x ∈ H_bar schreibt und damit für aufgebaute Polyeder unmittelbar das Innere als Schnitt aller H_bar liefert. Diese Konvention ist konsistent mit Ziegler („Lectures on Polytopes"). Achtung: für Dachflächen wird üblicherweise die nach außen weisende Normale verwendet (siehe dachflaeche); beim Aufbau eines Halbraums aus einer Dachfläche ist daher gegebenenfalls das Vorzeichen umzukehren.

Beziehungen

  • Oberbegriff: dreidimensionaler abgeschlossener (bzw. offener) konvexer Teilraum von ℝ³, begrenzt durch eine Ebene. Im Glossar Primitiv.
  • Teilbegriffe / Rollen: rollenbezogene Verwendungen wie „Außenhalbraum einer Dachfläche", „Innenhalbraum eines Bauteils" sind keine Subtypen, sondern Anwendungen.
  • Bestandteile (partitiv):
  • Rand: die Ebene ∂H = E(p₀, n).
  • Inneres: H° = H_bar \ ∂H.
  • Abgrenzung:
  • Ebene (ebene): zweidimensionaler Rand des Halbraums; Dimension 2 statt 3. Eine Ebene zerlegt ℝ³ in zwei komplementäre Halbräume.
  • Halbgerade (halbgerade): einseitig begrenzter Ausschnitt einer Geraden, Dimension 1; vom Halbraum durch Dimension unterschieden.
  • Polyeder (eigener Eintrag in Folgearbeit): endliche Schnittmenge geschlossener Halbräume; ein Halbraum ist also der atomare Bestandteil eines Polyeders, jedoch selbst unbeschränkt.

Implementierungshinweis

Datentyp (Domänen-Schicht, Kotlin, Schicht domain.geometrie):

enum class HalbraumArt { GESCHLOSSEN, OFFEN }

data class Halbraum internal constructor(
    val ebene: Ebene,                                      // Randebene mit Orientierung
    val art: HalbraumArt = HalbraumArt.GESCHLOSSEN,
) {
    val stuetzpunkt: Punkt get() = ebene.stuetzpunkt       // Convenience: p₀
    val normale: Einheitsvektor get() = ebene.normale      // Convenience: n_hat, in den Halbraum hinein
}
  • Repräsentation als Ebene + art: Der Halbraum delegiert seine Randdaten an die bereits in der Domänen-Schicht etablierte Ebene, statt stuetzpunkt und normale direkt zu speichern. Das hat zwei Konsequenzen: (a) die Einheitsvektor- Invariante ‖n_hat‖ ≈ 1 ist typsystem-getragen (durch den Typ Einheitsvektor) und braucht keine init-Validierung; (b) die Identitätsprüfungen, Operationen und Toleranzen der Ebene werden konsistent wiederverwendet (umkehrenNormale, abstand, etc.). Convenience-Properties stuetzpunkt und normale halten die Glossar-nahe API-Optik erhalten.
  • Einheit: Stützpunkt-Koordinaten in mm (Double). Die Normale ist per Typ Einheitsvektor normiert (‖n_hat‖ ≈ 1); eine Normierung in abgeleiteten Operationen entfällt.
  • Konvention der Normalenrichtung: die Normale n_hat zeigt in den Halbraum hinein. Für x mit ⟨n_hat, x − p₀⟩ > 0 gilt x ∈ H°. Diese Konvention ist verbindlich und im KDoc jeder Konstruktor- und Operationsmethode zu nennen.
  • Default art = GESCHLOSSEN: für Inzidenz-Tests und Bauteilbegrenzungen ist die geschlossene Variante mit Toleranz- test (d_H(x) ≥ −Toleranzen.LAENGE_EPS) numerisch robust und fachlich angemessen — Punkte exakt auf der Berandung gehören dazu. Die offene Variante ist nur für strikte Trennungstests vorgesehen.
  • Invarianten (durch Konstruktion getragen, keine init-Prüfung nötig):
  • n_hat ist Einheitsvektor — typsystem-getragen über Einheitsvektor.
  • Alle Komponenten von stuetzpunkt und n_hat finit — durch die Factory Ebene.ausStuetzpunktUndNormale bzw. die Invarianten von Einheitsvektor und Punkt getragen.
  • Konstruktoren (Companion-Factories, alle ohne Wurf):
  • Halbraum.ausEbene(e: Ebene, art = GESCHLOSSEN): Resultat<Halbraum, EntartetGeometrie> — übernimmt e direkt; liefert stets Erfolg, da die Ebene- Invarianten typsystem-getragen sind. Aufrufer ist verantwortlich, dass e.normale in den gewünschten Halbraum zeigt (vgl. Konvention bei dachflaeche, deren Außennormale in den Außen-Halbraum zeigt).
  • Halbraum.ausStuetzpunktUndNormale(p, n_hat, art = GESCHLOSSEN): Resultat<Halbraum, EntartetGeometrie> — delegiert an Ebene.ausStuetzpunktUndNormale; kann Fehler(NichtFinit) liefern, wenn p nicht-finit ist.
  • Kein dedizierter ausEbeneAndereSeite — die Operation ist durch komplement() (Methode auf der Instanz) bzw. ausEbene(e.umkehrenNormale(), art) substituiert.
  • Methoden (auf der Instanz):
  • komplement(): Halbraum — Halbraum(ebene.umkehrenNormale(), art), spiegelt die Normale, behält die art. Beschreibt den Halbraum auf der anderen Seite derselben Randebene; nicht das mengentheoretische Komplement (siehe unten).
  • mitArt(neueArt: HalbraumArt): Halbraum — Topologie-Wechsel ohne Geometrie-Änderung.
  • Edge Cases / Entartet-Varianten:
  • Nicht-finite Stützpunkt-Koordinaten (ausStuetzpunktUndNormale): EntartetGeometrie.NichtFinit. Einzige strukturell erreichbare Entartung der aktuellen API.
  • Numerische Lage am Rand: für x mit |d_H(x)| ≤ Toleranzen.LAENGE_EPS klassifiziert enthaelt(x) x als auf der Randebene liegend. Bei art = GESCHLOSSEN gilt x ∈ H_bar, bei art = OFFEN gilt x ∉ H°.
  • NullNormale ist in der aktuellen API nicht erreichbar, weil die Konstruktoren nur Einheitsvektor akzeptieren (Norm-Invariante typsystem-getragen). Folgearbeit: falls eine künftige API einen rohen Vektor als Normale akzeptieren sollte, ist EntartetGeometrie.NullNormale (‖n‖² ≤ Toleranzen.NORM_EPS) als weitere Entartet-Variante einzuführen.
  • Abgeleitete Operationen (auf der Instanz, Halbraum.kt):
  • Randebene: direkt über ebene zugreifbar (kein Methodenwrapper nötig).
  • Signierter Abstand: ebene.abstand(p), in mm. Vorzeichen folgt der Halbraum-Konvention (positiv im Inneren), da ebene.normale in den Halbraum zeigt.
  • enthaelt(p: Punkt, eps: Double = Toleranzen.LAENGE_EPS): Boolean je nach art:
    • GESCHLOSSEN: ebene.abstand(p) ≥ −eps.
    • OFFEN: ebene.abstand(p) > eps. Bei nicht-finitem p liefert ebene.abstand(p) NaN, und enthaelt gibt false zurück (NaN-Out-Konvention).
  • komplement() ist nicht das mengentheoretische Komplement: die art wird nicht zwischen GESCHLOSSEN und OFFEN gewechselt. Konsumenten, die das mengentheoretische Komplement benötigen, kombinieren komplement().mitArt(...) mit dem entsprechenden Art-Wechsel.

Quellen

Primär (normativ):

  • DIN ISO 80000-2:2022-08, „Größen und Einheiten – Teil 2: Mathematik".

Sekundär:

  • Bronstein, I. N.; Semendjajew, K. A.; Musiol, G.; Mühlig, H.: Taschenbuch der Mathematik. Kap. 3.5.2.
  • Fischer, G.: Lineare Algebra. 19. Aufl., Springer Spektrum 2020.
  • Bär, C.: Elementargeometrie. Springer Spektrum.
  • Ziegler, G. M.: Lectures on Polytopes. Springer, New York 1995.

Korpus (nicht autoritativ):

  • Wikipedia, Lemmata „Halbraum" und „Hesse'sche Normalform" (abgerufen 2026-05-07).

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