Halbraum¶

Ein Halbraum ist eine der beiden Hälften, in die eine unendlich grosse flache Wand den ganzen Raum teilt — alles, was auf der einen Seite dieser Wand liegt.

Prosa-Definition¶

Ein Halbraum ist eine der beiden zusammenhängenden Teilmengen von ℝ³, in die der Raum durch eine Ebene zerlegt wird, festgelegt durch einen Stützpunkt p₀ ∈ ℝ³ in der Randebene und einen Nicht-Nullvektor n ∈ ℝ³, der per Konvention in den Halbraum hinein zeigt; je nach Wahl gehört die Randebene zum Halbraum (geschlossener Halbraum) oder nicht (offener Halbraum).

Mathematische Definition¶

Sei

p₀ ∈ ℝ³ ein Stützpunkt auf der Randebene,
n ∈ ℝ³ \ {0} der in den Halbraum hinein gerichtete Halbraum-Normalenvektor.

Dann sind der durch (p₀, n) definierte geschlossene Halbraum H_bar und der offene Halbraum H° ⊂ ℝ³ die Mengen

H_bar(p₀, n):= { x ∈ ℝ³ | ⟨n, x − p₀⟩ ≥ 0 },
H°(p₀, n):= { x ∈ ℝ³ | ⟨n, x − p₀⟩ > 0 }.

Der Rand beider Mengen ist die Ebene

∂H = E(p₀, n) = { x ∈ ℝ³ | ⟨n, x − p₀⟩ = 0 },

und es gilt H_bar = H° ∪ ∂H sowie H° = H_bar \ ∂H.

In Hesse-Normalform mit n_hat:= n / ‖n‖ und d:= ⟨n_hat, p₀⟩ wird

H_bar(p₀, n) = { x ∈ ℝ³ | ⟨n_hat, x⟩ ≥ d },
H°(p₀, n) = { x ∈ ℝ³ | ⟨n_hat, x⟩ > d }.

Wesentliche abgeleitete Größen für x ∈ ℝ³:

Vorzeichenbehafteter Abstand zur Randebene: d_H(x):= ⟨n_hat, x − p₀⟩, in mm. d_H(x) > 0 ⇔ x ∈ H°, d_H(x) = 0 ⇔ x ∈ ∂H, d_H(x) < 0 ⇔ x ∉ H_bar.
Komplementärer Halbraum: H_bar(p₀, −n) bzw. H°(p₀, −n); es gilt H_bar(p₀, n) ∪ H_bar(p₀, −n) = ℝ³ und H_bar(p₀, n) ∩ H_bar(p₀, −n) = ∂H.

Wohldefiniertheit¶

Unabhängigkeit vom Stützpunkt innerhalb der Randebene: Für jedes p₀' ∈ ∂H gilt H_bar(p₀', n) = H_bar(p₀, n) und analog für H°. Beweis wie bei ebene: aus ⟨n, p₀' − p₀⟩ = 0 folgt ⟨n, x − p₀'⟩ = ⟨n, x − p₀⟩.
Skaleninvarianz mit positivem Faktor: Für jedes λ > 0 gilt H_bar(p₀, λ·n) = H_bar(p₀, n) (analog für H°), denn ⟨λn, ·⟩ ≥ 0 ⇔ ⟨n, ·⟩ ≥ 0.
Vorzeichenwechsel kehrt den Halbraum um: H_bar(p₀, −n) ist der komplementäre Halbraum, nicht derselbe. Die Wahl von sign(n) ist also wesentlich; ein Halbraum ist orientiert.
Geschlossen vs. offen: H_bar und H° sind verschiedene Mengen (sie unterscheiden sich um die Randebene ∂H). Beide werden benötigt; geschlossene Variante ist Default (siehe Implementierung).
Existenz: Für jedes (p₀, n) mit n ≠ 0 sind H_bar und H° nicht-leer.
Nicht-Zirkularität: Die Definition verwendet Punkt, Vektor, Skalarprodukt und Ordnungsrelation reeller Zahlen; sie greift auf ebene nur insofern zurück, als der Rand des Halbraums eine Ebene ist (Folgerung, nicht Voraussetzung).

Erläuterung (nicht normativ)¶

Ein Halbraum ist die geometrische Abstraktion einer „Seite" einer Ebene. Im Holzbau ist diese Unterscheidung allgegenwärtig:

Oberhalb / unterhalb einer Dachfläche: der Halbraum oberhalb einer Dachebene (Außennormale weist nach außen-oben) ist der Außenraum, der Halbraum unterhalb der Innenraum unter Dach.
Innen / außen eines Bauteils: Vollholz-Bauteile sind durch Schnitt mehrerer geschlossener Halbräume modellierbar; jede Begrenzungsfläche definiert „innen" als ihre Halbraumseite mit nach innen weisender Normale.
Liegt der Punkt p auf der richtigen Seite einer Schnittfläche? ist ein Halbraum-Inzidenztest.

Vorgesehen als Bausteine für Bauteilbegrenzungen: Polyeder (z. B. Balkenquader, beschnittene Sparrenenden, vollständige Bauteilkörper) werden in der Domänen-Schicht als endliche Schnittmengen geschlossener Halbräume dargestellt. Halbräume sind damit der atomare Bestandteil aller volumetrischen Bauteilformen.

Die Konvention „Normale zeigt in den Halbraum hinein" wird gewählt, weil sie den Inzidenztest in der natürlichen Form ⟨n, x − p₀⟩ ≥ 0 ⇔ x ∈ H_bar schreibt und damit für aufgebaute Polyeder unmittelbar das Innere als Schnitt aller H_bar liefert. Diese Konvention ist konsistent mit Ziegler („Lectures on Polytopes"). Achtung: für Dachflächen wird üblicherweise die nach außen weisende Normale verwendet (siehe dachflaeche); beim Aufbau eines Halbraums aus einer Dachfläche ist daher gegebenenfalls das Vorzeichen umzukehren.

Beziehungen¶

Oberbegriff: dreidimensionaler abgeschlossener (bzw. offener) konvexer Teilraum von ℝ³, begrenzt durch eine Ebene. Im Glossar Primitiv.
Teilbegriffe / Rollen: rollenbezogene Verwendungen wie „Außenhalbraum einer Dachfläche", „Innenhalbraum eines Bauteils" sind keine Subtypen, sondern Anwendungen.
Bestandteile (partitiv):
Rand: die Ebene ∂H = E(p₀, n).
Inneres: H° = H_bar \ ∂H.
Abgrenzung:
Ebene (ebene): zweidimensionaler Rand des Halbraums; Dimension 2 statt 3. Eine Ebene zerlegt ℝ³ in zwei komplementäre Halbräume.
Halbgerade (halbgerade): einseitig begrenzter Ausschnitt einer Geraden, Dimension 1; vom Halbraum durch Dimension unterschieden.
Polyeder (eigener Eintrag in Folgearbeit): endliche Schnittmenge geschlossener Halbräume; ein Halbraum ist also der atomare Bestandteil eines Polyeders, jedoch selbst unbeschränkt.

Quellen¶

Primär (normativ):

DIN ISO 80000-2:2022-08, „Größen und Einheiten – Teil 2: Mathematik".

Sekundär:

Bronstein, I. N.; Semendjajew, K. A.; Musiol, G.; Mühlig, H.: Taschenbuch der Mathematik. Kap. 3.5.2.
Fischer, G.: Lineare Algebra. 19. Aufl., Springer Spektrum 2020.
Bär, C.: Elementargeometrie. Springer Spektrum.
Ziegler, G. M.: Lectures on Polytopes. Springer, New York 1995.

Korpus (nicht autoritativ):

Wikipedia, Lemmata „Halbraum" und „Hesse'sche Normalform" (abgerufen 2026-05-07).

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