Dachneigung

Prosa-Definition

Die Dachneigung einer Dachfläche ist der Winkel α zwischen der Trägerebene der Dachfläche und der Horizontalebene, gemessen über das Skalarprodukt der nach außen gerichteten Einheits-Normalen der Dachfläche mit der vertikalen Achse e_z, mit Wertebereich α ∈ [0, π/2].

Mathematische Definition

Sei

• D = (E, P, n_a) eine Dachfläche im Sinne von dachflaeche mit Trägerebene E, Umrisspolygon P und nach außen gerichteter Einheits-Normale n_a ∈ S² mit ⟨n_a, e_z⟩ ≥ 0,
• e_z = (0, 0, 1)ᵀ die vertikale Achse des Welt-Koordinatensystems (Rechtssystem, z nach oben).

Dann ist die Dachneigung der Dachfläche D der Winkel

α(D) := arccos(⟨n_a, e_z⟩) ∈ [0, π/2].

Äquivalente Charakterisierung über die Falllinie: Sei e_hat_fall ∈ E ∩ S² die Einheitsrichtung der Falllinie von D im Sinne von hg_falllinie.md, also der in E liegende Einheitsvektor mit minimaler z-Komponente. Nach der dort fixierten Vorzeichenkonvention zeigt e_hat_fall nach unten: ⟨e_hat_fall, e_z⟩ ≤ 0, also (e_hat_fall)_z ≤ 0. Diese Vorzeichenwahl ist für die folgenden Identitäten bindend; Leser, die ältere Fassungen dieses Eintrags mit einem bergauf-orientierten Symbol m_hat in Erinnerung haben, beachten, dass die hier verwendete Größe e_hat_fall genau die antipodale (bergab-) Lesart trägt. Eine bergauf-Richtung in der Trägerebene ist −e_hat_fall; sie kommt in dieser App nur über die Bauteilachse eines Sparrens vor (hg_bauteilachse.md, hg_falllinie.md Symbol- Konvention) und nicht in der Dachneigungs-Definition selbst.

Mit dieser Konvention gilt

α(D) = arccos(⟨−e_hat_fall, e_xy⟩) = arcsin(|(e_hat_fall)_z|),

wobei e_xy = e_hat_fall − ⟨e_hat_fall, e_z⟩ · e_z, normiert, die horizontale Projektion der Falllinie ist (definiert für α < π/2). Der Steigungs-Tangens

tan(α(D)) = |(e_hat_fall)_z| / ‖e_hat_fall − ⟨e_hat_fall, e_z⟩ · e_z‖

ist der „Höhenunterschied pro horizontalem Abstand" entlang der Falllinie und entspricht der in Prozent angegebenen Holzbau-Praxis:

Neigung in Prozent := 100 · tan(α(D)).

Anzeigeformen (intern Radiant, ausschließlich am API-Rand konvertiert):

α_grad    := α · 180 / π                 (Grad, Hauptanzeige)
α_prozent := 100 · tan(α)                (Prozent, Holzbau-Praxis)

Wohldefiniertheit

• Existenz und Eindeutigkeit: Für jede Dachfläche D ist n_a per Definition eindeutig (siehe dachflaeche, Bedingung 2: ⟨n_a, e_z⟩ ≥ 0). Damit ist arccos(⟨n_a, e_z⟩) ∈ [0, π/2] eindeutig bestimmt. arccos ist auf [−1, 1] eindeutig und stetig; ⟨n_a, e_z⟩ ∈ [0, 1] für jede zulässige Dachflächen-Normale.
• Äquivalenz Falllinie ↔ Normale: Die Falllinie e_hat_fall liegt in E und hat ⟨e_hat_fall, e_z⟩ = (e_hat_fall)_z minimal unter allen Einheitsvektoren in E. Aus ⟨n_a, e_z⟩ = cos(α) und ⟨e_hat_fall, e_z⟩ = −sin(α) (mit Vorzeichenkonvention (e_hat_fall)_z ≤ 0 nach hg_falllinie.md) folgt arccos(⟨n_a, e_z⟩) = arcsin(|(e_hat_fall)_z|). Beide Charakterisierungen liefern denselben Winkel. Im Grenzfall α = 0 ist e_hat_fall nicht eindeutig (jede Richtung in der horizontalen Trägerebene ist „flachste" Falllinie); die Definition über die Normale bleibt jedoch wohldefiniert mit α = 0.
• Vorzeichenkonvention der Falllinie: (e_hat_fall)_z ≤ 0 fixiert das Vorzeichen, sodass e_hat_fall stets „nach unten" zeigt; antipodale Mehrdeutigkeit wird damit aufgelöst. Diese Konvention ist normativ in hg_falllinie.md festgehalten und im gesamten Glossar verbindlich.
• Wertebereich: α ∈ [0, π/2]. Die Untergrenze α = 0 entspricht einer horizontalen Dachfläche (Flachdach); die Obergrenze α = π/2 ist nach dachflaeche-Bedingung 3 (α < π/2) ausgeschlossen — eine senkrechte Fläche ist eine Wand, keine Dachfläche.
• Numerische Wohldefiniertheit: Für n_a mit | ‖n_a‖² − 1 | ≤ NORM_EPS gilt ⟨n_a, e_z⟩ ∈ [−1 − ε, 1 + ε] mit ε ≪ 1; im Bereich ⟨n_a, e_z⟩ ∈ [0, 1] ist arccos numerisch gut konditioniert. Werte knapp über 1 (z. B. 1 + 10⁻¹⁵) werden vor dem arccos auf [0, 1] geclamped.
• Konsistenz Anzeigeformen: α_grad = α · 180/π ist eine Bijektion auf [0, 90]; α_prozent = 100 · tan(α) ist auf [0, π/2) streng monoton wachsend, mit α_prozent → ∞ für α → π/2. Die Holzbau-Praxis verwendet beide Formen abwechselnd, darum sind beide am API-Rand bereitgestellt.
• Nicht-Zirkularität: Die Definition stützt sich nur auf vektor, einheitsvektor, dachflaeche (mit ihrer äußeren Normalen) und toleranzen. Sie kommt nicht in ihrer eigenen Definition vor.

Erläuterung (nicht normativ)

Die Dachneigung ist die zentrale formgebende Kenngröße einer Dachfläche: sie bestimmt das Abflussverhalten von Niederschlag, die Anwendbarkeit verschiedener Eindeckungsmaterialien (Ziegel benötigen typisch ≥ 22°, Schindeln ≥ 14°, Blech ab 3°), die Schneelastansätze (EN 1991-1-3) und die Windlastfallunterscheidung (EN 1991-1-4).

Faustbereiche (Orientierungshinweis, nicht normativ) — übliche Branchenklassifikation aus Lignum und Mönck/Rug:

Klasse	Bereich	typische Eindeckungen
Flachdach	< 10°	Bitumen, Folie, Begrünung
schwach geneigtes Dach	10° – 20°	Blech, Schindel mit Unterdach
geneigtes Dach	20° – 60°	Ziegel, Naturschiefer
steiles Dach	> 60°	Schiefer, Ortgang-orientiert

Diese Bereiche sind kein Normwerk, sondern gängige Branchenwerte. Die exakten Schwellen für Schnee- und Windlast- Formbeiwerte sind in EN 1991-1-3 (15°, 30°, 60°) bzw. EN 1991-1-4 (5°, 15°, 30°, 45°, 60°, 75°) angegeben und unabhängig von der Branchenklassifikation zu verwenden.

Anzeigeformen in der Praxis: Im Holzbau ist sowohl die Angabe in Grad (Dachdecker, Architektur, Bemessungsnormen) als auch in Prozent (Tiefbau, Strassenbau-nahe Konventionen, Schweizer Bauplanung) verbreitet; Prozent ist dabei der Tangens · 100, nicht der Winkel selbst. 100 % Neigung entspricht 45°, nicht 90°. Die Domänen-Schicht hält den Winkel stets in Radiant vor und konvertiert nur am API-Rand zur Anzeige.

Die Falllinie einer Dachfläche ist diejenige Gerade in der Trägerebene, entlang derer das Wasser am steilsten abfließt; sie steht im rechten Winkel zu allen Höhenlinien (näherungsweise horizontalen Schnittlinien) der Dachfläche und insbesondere im rechten Winkel zur Trauflinie. Der Steigungswinkel der Falllinie gegenüber der Horizontalen ist exakt die Dachneigung α.

Beziehungen

• Oberbegriff: einheitsvektor als formaler Träger (über die Normalencharakterisierung); fachlich ist α ein Winkelmerkmal einer Dachfläche, also ein Merkmal im Sinne der Begriffstypisierung.
• Verwendungskontext: jeder Dachflächen-Begriff (dachflaeche), alle dachlast-relevanten Begriffe (Schneelast, Windlast, Niederschlagsabfluss).
• Abgrenzung:
• dachflaeche: zweidimensionales geometrisches Flächenstück; die Dachneigung ist eine ihrer skalaren Eigenschaften, kein eigenständiges Bauteil.
• dachschraege (eigener Eintrag): die innen sichtbare Untersicht der Dachkonstruktion. Geometrisch eine Fläche, nicht ein Winkel. Die häufige sprachliche Verwendung von „Dachschräge" für „Dachneigung" wird hier als abgelehnte_benennung geführt, weil im Glossar trennscharf.
• dachseite (eigener Eintrag): eine Dachfläche unter zusätzlicher Orientierungs-/Lage-Annotation (z. B. Wetterseite). Dachseite ist eine Fläche, kein Winkel.
• „Neigungswinkel" (allgemein): in der allgemeinen Geometrie der Winkel zwischen einer Geraden oder Ebene und einer Bezugsebene. Dachneigung ist die Anwendung dieses Begriffs auf die spezifische Bezugsebene = Horizontalebene und das spezifische Objekt = Dachfläche. Im Glossar wird der allgemeine Neigungswinkel nicht eigenständig geführt.
• „Dachgefälle": in einigen Quellen synonym verwendet, in der Schweiz aber stärker mit Flachdach-/Abdichtungspraxis konnotiert. Hier abgelehnt zugunsten von „Dachneigung".

Implementierungshinweis

Datentyp (Domänen-Schicht, Kotlin, Schicht domain.bauteil bzw. domain.geometrie):

package domain.bauteil

import domain.geometrie.Einheitsvektor
import domain.geometrie.Vektor
import domain.Toleranzen
import kotlin.math.acos
import kotlin.math.tan
import kotlin.math.PI

/**
 * Dachneigung als Funktion einer Dachfläche.
 * Glossar: hg_dachneigung.md
 *
 * Wird als reine Funktion auf Dachflaeche bereitgestellt, nicht als
 * eigenständiger Datentyp: die Neigung ist ein abgeleitetes Merkmal,
 * keine selbständige Entität.
 */
fun Dachflaeche.dachneigung(): Double {
    val cos = aeussereNormale.z.coerceIn(0.0, 1.0)
    return acos(cos)        // Radiant, ∈ [0, π/2]
}

fun Dachflaeche.dachneigungGrad(): Double =
    dachneigung() * 180.0 / PI

fun Dachflaeche.dachneigungProzent(): Double {
    val a = dachneigung()
    require(a < PI / 2.0 - Toleranzen.WINKEL_EPS) {
        "Dachneigung 90° (vertikale Wand) hat keine Prozentanzeige"
    }
    return 100.0 * tan(a)
}

/** Klassifikation nach Branchen-Faustbereichen (nicht normativ). */
enum class DachneigungsKlasse { FLACH, SCHWACH_GENEIGT, GENEIGT, STEIL }

fun Dachflaeche.dachneigungsKlasse(): DachneigungsKlasse {
    val grad = dachneigungGrad()
    return when {
        grad < 10.0  -> DachneigungsKlasse.FLACH
        grad < 20.0  -> DachneigungsKlasse.SCHWACH_GENEIGT
        grad < 60.0  -> DachneigungsKlasse.GENEIGT
        else         -> DachneigungsKlasse.STEIL
    }
}

• Einheit: intern Radiant (Double). Anzeige in Grad oder Prozent ausschließlich am API-Rand. Niemals Mischung in einer Funktion.
• Wertebereich: α ∈ [0, π/2). α = π/2 ist nach dachflaeche- Definition ausgeschlossen (Wand, nicht Dach); die require- Bedingung in dachneigungProzent schützt vor Division-by-Zero bzw. tan(π/2) → ∞.
• Invariante (vererbt von dachflaeche): ‖aeussereNormale‖ ∈ 1 ± Toleranzen.NORM_EPS, n_a · e_z ≥ 0. Damit ist n_a.z ∈ [0 − ε, 1 + ε]; coerceIn(0.0, 1.0) macht arccos numerisch sicher.
• Edge Cases:
• Flachdach (α = 0): zulässig. n_a = e_z, arccos(1) = 0. Prozentanzeige liefert 0 %. Die Falllinie ist nicht eindeutig, spielt für die Neigung selbst aber keine Rolle.
• Senkrechte Wand (α → π/2): durch dachflaeche-Bedingung 3 ausgeschlossen; die Wand wird nicht als Dachfläche modelliert. Falls eine pathologisch konstruierte Dachfläche ⟨n_a, e_z⟩ ≈ 0 aufweist, liefert dachneigung einen Wert nahe π/2 und die Prozentanzeige wirft eine Exception über require.
• Numerische Überschreitung von 1: ⟨n_a, e_z⟩ kann durch Rundung minimal über 1 liegen; coerceIn fängt das ab und verhindert NaN aus arccos.
• Anisotrope Skalierung des Modells: nicht zulässig; das Welt-Koordinatensystem ist isotrop in mm. Bei einer fehlerhaften Skalierung der Modelldaten gibt die Funktion ein konsistentes, aber möglicherweise fachlich falsches Ergebnis zurück.
• Abgeleitete Operationen:
• dachneigung(): Double (Radiant) als kanonische Form.
• dachneigungGrad(): Double für Anzeige.
• dachneigungProzent(): Double für Holzbau-Praxis.
• falllinie(): Strecke? (siehe hg_falllinie.md) entlang der Richtung e_hat_fall = −(e_z − (e_z · n_hat) · n_hat), normiert und mit der Vorzeichenkonvention ⟨e_hat_fall, e_z⟩ ≤ 0 (nach unten) gewählt.
• Verwendungsregel: Funktionen der Bemessungs- und Lastrechnung (Schneelast, Windlast) erhalten den Winkel immer in Radiant; nur UI-/Reportgeneratoren rufen die Grad-/Prozent- Varianten auf.

Quellen

Primär (normativ):

• SIA 232/1:2020, „Geneigte Dächer", Schweizerischer Ingenieur- und Architektenverein, Zürich.
• DIN EN 1991-1-3:2010-12, „Eurocode 1: Einwirkungen auf Tragwerke – Teil 1-3: Schneelasten".
• DIN EN 1991-1-4:2010-12, „Eurocode 1: Einwirkungen auf Tragwerke – Teil 1-4: Windlasten".
• DIN 1055-5:1975-06 (zurückgezogen), übergeleitet in DIN EN 1991-1-3.

Sekundär:

• Lignum (Hrsg.): Lignatec — Geneigte Dächer in Holzbauweise. Lignum, Zürich, aktuelle Auflage.
• Lignum (Hrsg.): Holzbautabellen HBT. Lignum, Zürich, aktuelle Auflage.
• Mönck, W.; Rug, W.: Holzbau – Bemessung und Konstruktion.
• Auflage, Beuth Verlag 2015.
• Gerner, M.: Fachwerk – Instandsetzung, Sanierung, Neubau. DVA, 7. Auflage 2007.
• Holzbau Deutschland, Merkblatt „Begriffe und Klassifizierungen für den Holzbau".

Korpus (nicht autoritativ):

• Wikipedia, Lemma „Dachneigung" (abgerufen 2026-05-08).

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