Falllinie

Prosa-Definition

Die Falllinie einer nicht-horizontalen Ebene ist der eindeutige in dieser Ebene liegende Einheitsvektor, dessen z-Komponente unter allen in der Ebene liegenden Einheitsvektoren minimal (also „am stärksten nach unten gerichtet") ist; sie zeigt damit in die Richtung des größten Gefälles, in welcher eine Höhenfunktion auf der Ebene maximal abnimmt.

Mathematische Definition

Sei

• E ⊂ ℝ³ eine Ebene im Sinne von ebene mit nach oben gerichteter Einheits-Normalen n_hat ∈ S², ⟨n_hat, e_z⟩ > 0,
• e_z := (0, 0, 1)ᵀ die vertikale Achse,
• ε_W := Toleranzen.WINKEL_EPS die Winkeltoleranz.

Geneigtheits-Voraussetzung: ⟨n_hat, e_z⟩ < 1 (die Ebene ist nicht horizontal). Diese Bedingung ist äquivalent zu α > 0 in der Charakterisierung über die Dachneigung α := arccos(⟨n_hat, e_z⟩).

Setze den horizontalen Anteil von e_z relativ zu E

v := e_z − ⟨e_z, n_hat⟩ · n_hat   ∈ E_0,

wobei E_0 ⊂ ℝ³ der Richtungsraum von E (die durch Translation in den Ursprung verschobene Ebene) ist. v ist die orthogonale Projektion von e_z auf E_0; v zeigt nach oben entlang der steilsten Richtung in E_0. Es gilt

‖v‖² = 1 − ⟨e_z, n_hat⟩² > 0   (für α > 0),

also v ≠ 0.

Die Falllinie der Ebene E ist der Einheitsvektor

e_hat_fall(E) := −v / ‖v‖
           = −(e_z − ⟨e_z, n_hat⟩ · n_hat) / ‖e_z − ⟨e_z, n_hat⟩ · n_hat‖   ∈ S² ∩ E_0.

Das Vorzeichen ist so gewählt, dass ⟨e_hat_fall, e_z⟩ ≤ 0 (die Falllinie zeigt nach unten); das fixiert die antipodale Mehrdeutigkeit.

Äquivalente Charakterisierung über das doppelte Kreuzprodukt: Mit der Lagrange-Identität (a × b) × c = (a · c) b − (b · c) a folgt für einen Einheitsnormalenvektor n_hat

(n_hat × e_z) × n_hat = (n_hat · n_hat) · e_z − (e_z · n_hat) · n_hat = e_z − ⟨e_z, n_hat⟩ · n_hat = v,

und damit

e_hat_fall(E) = −((n_hat × e_z) × n_hat) / ‖(n_hat × e_z) × n_hat‖.

Beide Formen liefern denselben Vektor; die Projektionsform ist numerisch günstiger, da sie ein Skalarprodukt anstelle zweier Kreuzprodukte erfordert.

Charakterisierung als negativer Gradient: Sei z: E → ℝ die Einschränkung der Koordinatenfunktion (x, y, z) ↦ z auf E. z ist linear auf E mit Gradient ∇_E z = v / ‖v‖ ∈ E_0. Damit ist

e_hat_fall(E) = −∇_E z / ‖∇_E z‖,

die Falllinie ist die normierte Richtung des steilsten Abfalls von z auf E.

Wesentliche abgeleitete Größen:

• Dachneigung entlang der Falllinie: tan(α) = |⟨e_hat_fall, e_z⟩| / ‖e_hat_fall − ⟨e_hat_fall, e_z⟩ · e_z‖ — die Höhenänderung pro horizontalem Weg entlang der Falllinie ist exakt der Steigungs-Tangens (siehe dachneigung).
• Höhenlinienrichtung: jeder Einheitsvektor in E_0, der orthogonal zu e_hat_fall steht, hat z-Komponente 0 und liegt horizontal; das ist die Richtung der Höhenlinien (Niveaulinien von z auf E).

Symbol-Konvention

Das Symbol für die Falllinie ist im gesamten Glossar e_hat_fall (Einheitsvektor in S² ∩ E_0 mit ⟨e_hat_fall, e_z⟩ ≤ 0).

Vorzeichenkonvention: Aus der Definition folgt ⟨e_hat_fall, e_z⟩ ≤ 0, d. h. die Falllinie zeigt nach unten (geometrische Bergab-Richtung). Diese Konvention ist bindend für alle abgeleiteten Vorzeichen-Aussagen — insbesondere für die Vorzeichen-Empfehlung der Bauteilachse eines Sparrens, die entgegen e_hat_fall (bergauf, von Traufe zu Sparrenfirstpunkt) zu wählen ist (siehe bauteilachse).

Wohldefiniertheit

• Existenz: Für ⟨e_z, n_hat⟩ < 1 ist v = e_z − ⟨e_z, n_hat⟩ · n_hat ≠ 0, da e_z ≠ ⟨e_z, n_hat⟩ · n_hat (sonst wäre e_z parallel zu n_hat, also ⟨e_z, n_hat⟩ = 1). Damit ist die Division durch ‖v‖ wohldefiniert und e_hat_fall ∈ S².
• Eindeutigkeit: e_hat_fall ist als Lösung des Optimierungsproblems „minimiere ⟨e_hat, e_z⟩ unter e_hat ∈ E_0 ∩ S²" eindeutig bestimmt, da E_0 ∩ S² ein Großkreis auf S² ist und die Linearform ⟨·, e_z⟩ auf einem Großkreis genau ein Minimum und ein Maximum hat (außer im entarteten Fall E_0 = e_z^⊥, der durch die Geneigtheits-Voraussetzung ausgeschlossen ist).
• Lage in E: e_hat_fall liegt in E_0, denn ⟨e_hat_fall, n_hat⟩ = −⟨v, n_hat⟩ / ‖v‖ und ⟨v, n_hat⟩ = ⟨e_z, n_hat⟩ − ⟨e_z, n_hat⟩ · ⟨n_hat, n_hat⟩ = 0 (für ‖n_hat‖ = 1).
• Vorzeichenkonvention: Die Wahl des negativen Vorzeichens liefert ⟨e_hat_fall, e_z⟩ = −⟨v, e_z⟩/‖v‖ = −‖v‖²/‖v‖ = −‖v‖ ≤ 0. Im Spezialfall α = π/2 (vertikale Ebene) wäre ⟨n_hat, e_z⟩ = 0 und ‖v‖ = 1, also e_hat_fall = −e_z; dieser Fall liegt jedoch außerhalb des Anwendungsbereichs für Dachflächen (dachflaeche-Bedingung 3: α < π/2).
• Unabhängigkeit von der Normalenwahl: Die Definition verwendet n_hat mit ⟨n_hat, e_z⟩ > 0; die Wahl ist eindeutig (siehe dachflaeche, äußere Normale). Die Vorzeichenwahl von n_hat ändert v nicht, da v in n_hat quadratisch eingeht.
• Numerische Wohldefiniertheit: Für ⟨e_z, n_hat⟩ ≤ 1 − ε_W mit ε_W ≪ 1 ist ‖v‖² ≥ 2 ε_W − ε_W² ≈ 2 ε_W, also weit oberhalb der Norm-Toleranz. Die Division durch ‖v‖ ist numerisch sicher.
• Entartung bei α = 0: Bei einer horizontalen Ebene (n_hat = ±e_z) ist v = 0 und e_hat_fall ist nicht definiert; jeder horizontale Einheitsvektor in E_0 ist gleich „flach". Die Domänen-Schicht liefert in diesem Fall Entartet.HorizontaleEbene.
• Nicht-Zirkularität: Die Definition stützt sich nur auf ebene, vektor, einheitsvektor und toleranzen; sie kommt nicht in ihrer eigenen Definition vor.

Erläuterung (nicht normativ)

Die Falllinie ist die geometrische Antwort auf die Frage „wohin fließt das Wasser auf dieser geneigten Fläche?". Sie steht rechtwinklig zu den Höhenlinien der Fläche und ist im Holzbau die Bezugsrichtung für:

• den Verlauf des Ortgangs (siehe ortgang): die seitliche Begrenzung einer Dachfläche an einem Giebel verläuft in der Trägerebene parallel zur Falllinie;
• die Sparrenrichtung: ein Sparren liegt typisch entlang oder nahe der Falllinie der von ihm getragenen Dachfläche;
• die Wasserführung und Eindeckungsausrichtung (Ziegel, Schindeln werden quer zur Falllinie gelegt, sodass das Wasser entlang der Falllinie über die Eindeckung fließt);
• die Definition der Dachneigung als Steigungswinkel der Falllinie gegen die Horizontale (siehe dachneigung).

Die in der Geomatik gebräuchlichen Begriffe Hangrichtung und Aspekt (engl. aspect) bezeichnen typisch nicht den dreidimensionalen Vektor selbst, sondern dessen Azimut, also den Winkel der horizontalen Projektion der Falllinie gemessen gegen Norden im Uhrzeigersinn. Sie sind aus der Falllinie ableitbar, aber nicht mit ihr identisch.

Die zur Falllinie rechtwinklige Richtung in derselben Ebene ist die Höhenlinienrichtung; sie verläuft horizontal (z-Komponente gleich Null) und ist im Spezialfall einer Dachfläche parallel zur Trauflinie. Diese Begriffe werden in der App verwendet, sind aber bisher nicht als eigenständige Glossareinträge geführt.

Beziehungen

• Oberbegriff: einheitsvektor. Die Falllinie ist ein Einheitsvektor mit zwei zusätzlichen Lagebedingungen: er liegt in einer gegebenen Ebene und ist dort der Vektor mit minimaler z-Komponente.
• Dual / komplementär: Höhenlinienrichtung — der Einheitsvektor in derselben Ebene mit verschwindender z-Komponente; orthogonal zu e_hat_fall in E_0. Eigenständiger Glossareintrag folgt bei Bedarf.
• Verwendungskontext:
• dachneigung: tan(α) ist der Quotient aus vertikaler und horizontaler Komponente der Falllinie.
• ortgang: eine Polygonrandkante einer Dachfläche ist Ortgang genau dann, wenn ihr Einheits-Richtungsvektor mit der Falllinie der Dachfläche kollinear ist.
• Wasserführungs-Modellierung (zukünftig): integraler Verlauf eines Tropfens auf der Dachoberfläche folgt stückweise der Falllinie der jeweils berührten Dachfläche.
• Abgrenzung:
• Höhenlinie (hoehenlinie, eigener Eintrag folgt bei Bedarf): die zur Falllinie orthogonale Richtung in der Ebene; horizontal verlaufende Niveaulinie der z-Funktion auf E. Eine Höhenlinie ist eine Linie (Strecke oder Gerade), keine bloße Richtung; die Höhenlinienrichtung ist der zugehörige Einheitsvektor.
• Dachneigung (dachneigung): der Steigungswinkel α der Falllinie gegenüber der Horizontalen. α ist ein Skalar (Winkel), die Falllinie ein Vektor (Richtung). Beide Begriffe sind eng verknüpft: die Falllinie trägt die volle Richtungsinformation, die Dachneigung extrahiert daraus den Steigungswinkel.
• Faserrichtung (faserrichtung): Einheitsvektor entlang der Holzfaser eines Bauteils; trägt Materialachsen-Bedeutung, kein geometrischer Bezug zu einer Ebene.
• Hangrichtung / Aspekt (Geomatik): Azimut der horizontalen Projektion der Falllinie. Nicht synonym, sondern abgeleitete skalare Größe.
• Dachgefälle: in einigen Quellen für die Falllinie verwendet, in der Schweiz aber stärker mit der Flachdach-Abdichtungspraxis konnotiert (Gefälleeinlagen). Hier abgelehnt zugunsten von „Falllinie" für die Richtung und „Dachneigung" für den Winkel.

Implementierungshinweis

Datentyp (Domänen-Schicht, Kotlin, Package zimmermann.domain.geometrie):

package zimmermann.domain.geometrie

import zimmermann.domain.Resultat
import zimmermann.domain.Toleranzen
import kotlin.math.abs
import kotlin.math.sqrt

/**
 * Falllinie einer geneigten Ebene: data class mit Träger-Ebene und
 * Falllinien-Richtung. Konstruktion ausschliesslich über `bilde`,
 * Entartung über das gemeinsame `EntartetGeometrie`-Pattern (siehe
 * project_kotlin_konventionen.md).
 *
 * Glossar: hg_falllinie.md
 */
@ConsistentCopyVisibility
data class Falllinie internal constructor(
    val ebene: Ebene,
    val richtung: Einheitsvektor,
) {
    val neigungswinkel: Double  // ∈ (0, π/2], = arccos(|⟨n_hat, e_z⟩|)

    fun istGleicheFalllinie(other: Falllinie, eps: Double = ...): Boolean

    companion object {
        fun bilde(
            ebene: Ebene,
            eps: Double = Toleranzen.WINKEL_EPS,
        ): Resultat<Falllinie, EntartetGeometrie> {
            val nHat = ebene.normale
            val nz = nHat.dz
            // Punktmengen-Sicht: Test über |n_z|, damit n_hat → −n_hat
            // dasselbe Resultat liefert (v := e_z − ⟨e_z, n_hat⟩·n_hat ist
            // quadratisch in n_hat).
            if (1.0 - abs(nz) <= eps) {
                return Resultat.Fehler(EntartetGeometrie.HorizontaleEbene)
            }
            val vx = -nz * nHat.dx
            val vy = -nz * nHat.dy
            val vz = 1.0 - nz * nHat.dz
            val n  = sqrt(vx*vx + vy*vy + vz*vz)
            val richtung = Einheitsvektor.bildeUngeprueft(
                Vektor(-vx / n, -vy / n, -vz / n)
            )
            return Resultat.Erfolg(Falllinie(ebene, richtung))
        }
    }
}

• Einheit: dimensionsloser Einheitsvektor; Komponenten in [−1, 1].
• Invariante (Klasse Falllinie):
• ‖richtung‖ ∈ 1 ± Toleranzen.NORM_EPS (Einheitsvektor- Invariante, typsystem-getragen).
• ⟨richtung, n_hat⟩ ∈ 0 ± Toleranzen.WINKEL_EPS (liegt in der Ebene; orthogonal zur Normalen).
• ⟨richtung, e_z⟩ ≤ 0 (zeigt nach unten oder horizontal; letzteres nur im Grenzfall α → π/2 — vertikale Ebene mit e_hat_fall = −e_z).
• Punktmengen-Sicht (Option A): Die Falllinie ist eine Eigenschaft der Ebene als Punktmenge; die Wahl n_hat vs. −n_hat ändert das Resultat nicht. Der Geneigtheits-Test verwendet daher 1 − |⟨n_hat, e_z⟩| (Betrag), und bilde(e) liefert dasselbe wie bilde(e.umkehrenNormale()).
• Edge Cases / Entartet-Varianten:
• EntartetGeometrie.HorizontaleEbene: 1 − |⟨n_hat, e_z⟩| ≤ WINKEL_EPS, d. h. die Ebene ist horizontal (oder numerisch fast horizontal). Keine Falllinie definierbar; jeder horizontale Vektor in der Ebene wäre gleich „flach". Aufrufer entscheiden über die Reaktion (Default: keine Anzeige der Falllinie auf einem Flachdach).
• Vertikale Ebene (α = π/2, ⟨n_hat, e_z⟩ = 0): geometrisch zulässig; bilde liefert e_hat_fall = −e_z. Ist im Anwendungsbereich dachflaeche ausgeschlossen, in allgemeinen ebene-Kontexten aber gültig.
• Identität: istGleicheFalllinie verlangt sowohl Punktmengen-Identität der Trägerebene (Ebene.istGleicheEbene) als auch Richtungsgleichheit (Einheitsvektor.istGleich). Falllinien zweier paralleler, disjunkter Ebenen mit identischer Neigung haben gleiche Richtung, aber unterschiedliche Trägerebenen — der Test liefert dann false.
• Folgearbeit / abgeleitete Operationen (nicht Bestandteil dieser Phase, dokumentiert für später):
• Ebene.hoehenlinienRichtung(): Resultat<Einheitsvektor, EntartetGeometrie> = n_hat × e_hat_fall, horizontale Richtung in E orthogonal zur Falllinie.
• Ebene.steigungProzent(): Resultat<Double, EntartetGeometrie> = 100 · |⟨e_hat_fall, e_z⟩| / ‖e_hat_fall − ⟨e_hat_fall, e_z⟩ · e_z‖.
• Verwendungsregel: Die Factory Falllinie.bilde(ebene) ist auf Ebene definiert und damit auch auf der Trägerebene einer Dachflaeche verfügbar. Bauteilbezogene Aufrufer (Ortgang, Sparren) gehen den Umweg über Falllinie.bilde(dachflaeche.traeger).

Quellen

Primär (normativ):

• DIN ISO 80000-2:2022-08, „Größen und Einheiten – Teil 2: Mathematik", Abschnitt 2.
• DIN EN ISO 19107:2019, „Geographic information – Spatial schema", Abschnitt 6.

Sekundär:

• Bronstein, I. N.; Semendjajew, K. A.; Musiol, G.; Mühlig, H.: Taschenbuch der Mathematik. Kap. 6.2.4 und 3.5.
• Fischer, G.: Lineare Algebra. 19. Aufl., Springer Spektrum 2020, Kap. 6.2.
• Lignum (Hrsg.): Lignatec — Geneigte Dächer in Holzbauweise. Lignum, Zürich, aktuelle Auflage.
• Mönck, W.; Rug, W.: Holzbau – Bemessung und Konstruktion.
• Auflage, Beuth Verlag 2015.

Korpus (nicht autoritativ):

• Wikipedia, Lemma „Falllinie" (abgerufen 2026-05-08).

---

Quelle herunterladen

MarkdownPlain TextBibTeX