First¶

Der First ist die oberste waagrechte Kante eines Dachs, an der die beiden Dachflächen ganz oben zusammenlaufen.

Prosa-Definition¶

Ein First ist eine Dachkante, die als Schnittkante zweier benachbarter Dachflächen auf der Schnittgerade ihrer Trägerebenen liegt, näherungsweise horizontal verläuft und an der die beiden Dachflächen nach oben zusammenlaufen (konvexe Firstschneide) — die Flächen bilden ein nach oben gerichtetes Dach, dessen obere Schneide der First ist.

Mathematische Definition¶

Sei

D_i = (E_i, P_i, n_{a,i}) und D_j = (E_j, P_j, n_{a,j}) zwei verschiedene Dachflächen im Sinne von dachflaeche mit i ≠ j,
E_i und E_j nicht parallel, also E_i ∩ E_j eine Gerade g_{ij} ⊂ ℝ³ (Schnittgerade der Trägerebenen),
F(P_i) ⊂ E_i und F(P_j) ⊂ E_j die berandeten abgeschlossenen Flächenstücke,
e_z = (0, 0, 1)ᵀ die vertikale Achse,
ε_W:= Toleranzen.WINKEL_EPS die Winkeltoleranz,
ε_L:= Toleranzen.LAENGE_EPS die Längentoleranz.

Definiere die gemeinsame Schnittstrecke der beiden Dachflächen als

s_{ij}:= F(P_i) ∩ F(P_j).

Da E_i und E_j sich in der Geraden g_{ij} schneiden und beide F(P_•) abgeschlossen und konvex-polygonal in ihren Ebenen sind, ist s_{ij} ein abgeschlossenes (möglicherweise leeres oder einpunktiges) Streckenstück auf g_{ij}. Sein Richtungs-Einheitsvektor sei

e_hat_{ij}:= (Endpunkt − Anfangspunkt) / ‖Endpunkt − Anfangspunkt‖,
          falls ℓ(s_{ij}) > ε_L; andernfalls undefiniert.

Eine Schnittstrecke s_{ij} heißt näherungsweise horizontal, wenn

|⟨e_hat_{ij}, e_z⟩| ≤ ε_W.

Eine näherungsweise horizontale, nicht-entartete Schnittstrecke s_{ij} heißt First der Dachflächenfamilie 𝒟 genau dann, wenn die beiden Dachflächen an ihr nach oben zusammenlaufen (konvexe Firstschneide, Λ-Querschnitt) und beide äußeren Normalen nach oben weisen.

Die Bedingung „nach oben zusammenlaufen" ist — wie konvex/konkav bei grat/kehle — über die Lage der Flächenstücke zu schärfen, nicht über die Normalen allein: Ein First (Λ, Flächen fallen von der Kante weg) und eine waagrechte Kehle/Rinne (V, Flächen steigen von der Kante weg) besitzen dasselbe Normalenpaar und unterscheiden sich nur in der Querlage ihrer Flächenstücke. Sei

w:= (e_hat_{ij} × e_z) / ‖e_hat_{ij} × e_z‖   ∈ S²

die zur Firstkante orthogonale horizontale Querachse (wohldefiniert, da s_{ij} horizontal ist, also ‖e_hat_{ij} × e_z‖ ≈ 1). Sei c_i ein innerer Punkt (Flächenschwerpunkt) von F(P_i) und m ∈ s_{ij} ein Kantenpunkt; die signierte Querlage ist τ_i:= ⟨c_i − m, w⟩ (mit τ_i · τ_j < 0). Dann ist s_{ij} ein First genau dann, wenn

1.  ℓ(s_{ij}) > ε_L  und  |⟨e_hat_{ij}, e_z⟩| ≤ ε_W   (horizontal)
2.  ⟨n_hat_{a,i}, w⟩ · sign(τ_i) > ε_W   und
    ⟨n_hat_{a,j}, w⟩ · sign(τ_j) > ε_W              (zusammenlaufend)
3.  ⟨n_{a,i}, e_z⟩ > 0   und   ⟨n_{a,j}, e_z⟩ > 0    (Normalen nach oben,
                                  Ausschluss senkrechter Wände).

Anschaulich kippen beide äußeren Normalen horizontal nach außen, zur Querseite ihres eigenen Flächenstücks — die Flächen bilden ein nach oben gerichtetes Dach (Λ), dessen Schneide der First ist. Kehrt sich das Vorzeichen in (2) um (⟨n_hat_{a,i}, w⟩ · sign(τ_i) < −ε_W), so laufen die Flächen nach oben auseinander: eine waagrechte Kehle/Rinne, kein First.

Diese Definition ist lokal — jede Firstschneide wird für sich erkannt; ein Dach mit mehreren Firsten (L-, T-, U-Grundriss, auch auf verschiedenen Höhen) liefert alle Firste. Bedingung (2) ist pro Flächenstück formuliert und damit unabhängig von der Reihenfolge der beiden Dachflächen. Die Vereinigung aller so identifizierten Schnittstrecken bildet, falls sie über gemeinsame Eckpunkte zusammenhängt, die Firstlinie als Streckenzug; im Regelfall (Sattel-, Walm-, Krüppelwalmdach) besteht sie aus genau einer Strecke.

Wohldefiniertheit¶

Existenz: Bei einer Familie von Dachflächen mit mindestens einer horizontalen, nach oben zusammenlaufenden Schnittkante (z. B. Sattel-, Walm-, Krüppelwalmdach) existiert ein First. Bei einem Pultdach (m = 1) oder bei Dachflächenfamilien ohne gemeinsame horizontale Schnittstrecke existiert kein First — das ist baulich korrekt.
Mehrere Firste: Da die Definition lokal ist (jede Firstschneide für sich), liefert ein Dach mit mehreren nach oben zusammenlaufenden horizontalen Schneiden — L-, T-, U-förmiger Grundriss, auch auf verschiedenen Höhen — korrekt alle als Firste; sie sind keine Entartung. Das ist der wesentliche Vorteil gegenüber einer globalen „höchste Kante"-Auswahl, die niedrigere Firste verfehlt hätte. Ein Mansarddach (oberer flacher Schenkel zusammenlaufend, unterer Knick auseinanderlaufend) liefert nur die obere, zusammenlaufende Schneide als First — der untere Knick läuft nach oben auseinander (waagrechte Kehle), ist also kein First.
Unabhängigkeit von der Indexwahl: Bedingung (2) ist pro Flächenstück formuliert (je eine Ungleichung für i und j); ein Vertauschen i ↔ j benennt nur die beiden Ungleichungen um. Die Definition hängt nicht von der Reihenfolge der Dachflächen ab.
Konsistenz mit dachkante: Ein First ist nach Konstruktion eine Schnittkante zweier Dachflächen, also eine Dachkante im Sinne von dachkante (Fall „Schnittkante").
Wohldefiniertheit der Querachse: Da s_{ij} näherungsweise horizontal ist, ist e_hat_{ij} × e_z ≠ 0 und w wohldefiniert; die Querlagen τ_i, τ_j sind als Skalarprodukte von der Wahl der Repräsentation [a, b] vs. [b, a] unabhängig.
Nicht-Zirkularität: Die Definition stützt sich nur auf strecke, dachflaeche, polygon, ebene, vektor, toleranzen und den bereits definierten Oberbegriff dachkante.

Erläuterung (nicht normativ)¶

Der First ist die oberste, näherungsweise horizontale Linie eines Sattel-, Walm- oder Krüppelwalmdaches. Geometrisch ist er die Schnittkante zweier Dachflächen, die mit ihren äußeren Normalen nach oben zusammenlaufen. Konstruktiv liegt unter dem First häufig die Firstpfette (ein horizontaler Tragwerksbalken), und auf dem First sitzt die Firstabdeckung der Eindeckung (Firstziegel oder Firstblech).

Bei einem Pultdach gibt es keinen First, sondern eine Pultkante (obere Polygonrandkante einer einzigen Dachfläche, an der keine zweite Dachfläche anschließt) — siehe eigener Eintrag. Bei einem Walmdach kommt zur First-Strecke (zwischen den beiden Hauptdachflächen) die Walmschnittkante (zwischen Hauptdach und Walmfläche) hinzu, die je nach Lage als kurzer First oder als Grat klassifiziert wird.

Beziehungen¶

Oberbegriff: dachkante, Spezialfall „Schnittkante" mit zusätzlichen Lagebedingungen (näherungsweise horizontal, nach oben zusammenlaufend/konvex, beide Normalen mit positiver z-Komponente).
Geschwister-Begriffe (andere Spezialisierungen von dachkante): traufe, ortgang, grat, kehle, pultkante.
Bestandteile (partitiv): Anfangspunkt und Endpunkt der Firstlinien-Strecke bzw. die Stützpunkte des Streckenzugs bei geknickter Firstlinie.
Abgrenzung:
Traufe (traufe): untere, näherungsweise horizontale Randkante; ebenfalls horizontal, aber Polygonrandkante einer einzelnen Dachfläche statt zusammenlaufende Schnittkante zweier Flächen (und liegt unten statt oben).
Ortgang (ortgang): seitliche, geneigte Randkante; nicht näherungsweise horizontal.
Grat (eigener Eintrag folgt): geneigte konvexe Schnittkante zweier Dachflächen; First-ähnlich als Schnittkante, aber nicht horizontal.
Kehle (eigener Eintrag folgt): geneigte konkave Schnittkante zweier Dachflächen; einspringend statt ausspringend.
Pultkante (eigener Eintrag folgt): obere Polygonrandkante einer Pultdachfläche; ebenfalls oberste, aber Randkante statt Schnittkante (nur eine Dachfläche beteiligt).
Firstpfette: Tragwerksbalken unter dem First; Bauteil, nicht Kante. Hier nicht definiert.
Firstziegel / Firstabdeckung: Eindeckungselemente auf dem First; Materialbauteile, nicht Kante. Hier nicht definiert.
Dachhöhe: vertikaler Abstand zwischen Trauf- und Firsthöhe; ein Maß, keine Kante.

Quellen¶

Primär (normativ):

SIA 232/1:2020, „Geneigte Dächer", Schweizerischer Ingenieur- und Architektenverein, Abschnitt 1.
DIN 1356-1:1995-02, „Bauzeichnungen – Teil 1: Arten, Inhalte und Grundregeln der Darstellung", Abschnitt 5.
DIN 18338:2019-09, „VOB Teil C: Dachdeckungs- und Dachabdichtungsarbeiten", Abschnitt 0.
DIN EN 1991-1-3:2010-12, „Eurocode 1: Einwirkungen auf Tragwerke – Teil 1-3: Schneelasten", Anhang A.

Sekundär:

Mönck, W.; Rug, W.: Holzbau – Bemessung und Konstruktion.
Auflage, Beuth Verlag 2015.
Gerner, M.: Fachwerk – Instandsetzung, Sanierung, Neubau. DVA,
Auflage 2007.
Lignum (Hrsg.): Lignatec — Geneigte Dächer in Holzbauweise. Lignum, Zürich, aktuelle Auflage.

Korpus (nicht autoritativ):

Wikipedia, Lemma „Dachfirst" (abgerufen 2026-05-08).

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