First

Prosa-Definition

Ein First ist eine Dachkante, die als Schnittkante zweier benachbarter Dachflächen auf der Schnittgerade ihrer Trägerebenen liegt, näherungsweise horizontal verläuft und im gemeinsamen abgeschlossenen Polygonbereich der beiden Dachflächen die höchste mittlere z-Höhe aller näherungsweise horizontalen Schnittkanten besitzt.

Mathematische Definition

Sei

• D_i = (E_i, P_i, n_{a,i}) und D_j = (E_j, P_j, n_{a,j}) zwei verschiedene Dachflächen im Sinne von dachflaeche mit i ≠ j,
• E_i und E_j nicht parallel, also E_i ∩ E_j eine Gerade g_{ij} ⊂ ℝ³ (Schnittgerade der Trägerebenen),
• F(P_i) ⊂ E_i und F(P_j) ⊂ E_j die berandeten abgeschlossenen Flächenstücke,
• e_z = (0, 0, 1)ᵀ die vertikale Achse,
• ε_W := Toleranzen.WINKEL_EPS die Winkeltoleranz,
• ε_L := Toleranzen.LAENGE_EPS die Längentoleranz.

Definiere die gemeinsame Schnittstrecke der beiden Dachflächen als

s_{ij} := F(P_i) ∩ F(P_j).

Da E_i und E_j sich in der Geraden g_{ij} schneiden und beide F(P_•) abgeschlossen und konvex-polygonal in ihren Ebenen sind, ist s_{ij} ein abgeschlossenes (möglicherweise leeres oder einpunktiges) Streckenstück auf g_{ij}. Sein Richtungs-Einheitsvektor sei

e_hat_{ij} := (Endpunkt − Anfangspunkt) / ‖Endpunkt − Anfangspunkt‖,
          falls ℓ(s_{ij}) > ε_L; andernfalls undefiniert.

Eine Schnittstrecke s_{ij} heißt näherungsweise horizontal, wenn

|⟨e_hat_{ij}, e_z⟩| ≤ ε_W.

Sei 𝒮 die Menge aller näherungsweise horizontalen, nicht-entarteten Schnittstrecken zwischen Paaren von Dachflächen der betrachteten Familie 𝒟,

𝒮 := { s_{ij} | i < j,  ℓ(s_{ij}) > ε_L,  |⟨e_hat_{ij}, e_z⟩| ≤ ε_W }.

Eine Schnittstrecke s_{ij} ∈ 𝒮 heißt First der Dachflächen- familie 𝒟 genau dann, wenn ihr Höhenmittelwert

z_bar(s_{ij}) := ½ · (a_z + b_z)   mit  s_{ij} = [a, b]

das Maximum unter allen Elementen von 𝒮 ist:

z_bar(s_{ij}) = max { z_bar(s) | s ∈ 𝒮 }.

Zusätzlich muss gelten, dass beide äußeren Normalen n_{a,i}, n_{a,j} am First „nach oben zusammenlaufen", formal

⟨n_{a,i}, e_z⟩ > 0   und   ⟨n_{a,j}, e_z⟩ > 0

(beide Dachflächen sind nach oben geneigt; ausgeschlossen sind Anschlüsse an senkrechte Wände). Die Vereinigung aller so identifizierten Schnittstrecken bildet, falls sie über gemeinsame Eckpunkte zusammenhängt, die Firstlinie als Streckenzug; im Regelfall (Sattel-, Walm-, Krüppelwalmdach) besteht sie aus genau einer Strecke.

Wohldefiniertheit

• Existenz: Bei einer Familie von Dachflächen, die nach oben zusammenlaufen (z. B. Sattel-, Walm-, Krüppelwalmdach), enthält 𝒮 mindestens ein Element, da die zentrale obere Schnittkante konstruktiv vorliegt. Bei einem Pultdach (m = 1) oder bei Dachflächenfamilien ohne gemeinsame Schnittstrecke ist 𝒮 = ∅, und ein First existiert nicht — das ist baulich korrekt.
• Eindeutigkeit: Bei einer Dachflächenfamilie mit eindeutiger oberster horizontaler Schnittkante (Regelfall im Holzbau) ist der First als Strecke oder zusammenhängender Streckenzug eindeutig bestimmt. Bei Sonderformen mit mehreren gleichhohen Schnittkanten (z. B. Mansarddach mit oberen und unteren Schnittkanten gleicher Höhe — geometrisch ungewöhnlich, aber konstruierbar) liefert die Definition mehrere gleichberechtigte Strecken; in diesem Fall sollte die Domänen-Schicht Entartet.NichtIdentifizierbar zurückgeben.
• Unabhängigkeit von der Indexwahl: Die Schnittstrecke s_{ij} ist symmetrisch in i und j; die Definition hängt nicht vom Vorzeichen oder der Reihenfolge ab.
• Konsistenz mit dachkante: Ein First ist nach Konstruktion eine Schnittkante zweier Dachflächen, also eine Dachkante im Sinne von dachkante (Fall „Schnittkante").
• Wohldefiniertheit des Höhenvergleichs: Die mittlere z-Höhe z_bar(s) hängt nur von den Endpunkten der Strecke ab, nicht von der Wahl der Repräsentation [a, b] vs. [b, a].
• Nicht-Zirkularität: Die Definition stützt sich nur auf strecke, dachflaeche, polygon, ebene, vektor, toleranzen und den bereits definierten Oberbegriff dachkante.

Erläuterung (nicht normativ)

Der First ist die oberste, näherungsweise horizontale Linie eines Sattel-, Walm- oder Krüppelwalmdaches. Geometrisch ist er die Schnittkante zweier Dachflächen, die mit ihren äußeren Normalen nach oben zusammenlaufen. Konstruktiv liegt unter dem First häufig die Firstpfette (ein horizontaler Tragwerksbalken), und auf dem First sitzt die Firstabdeckung der Eindeckung (Firstziegel oder Firstblech).

Bei einem Pultdach gibt es keinen First, sondern eine Pultkante (obere Polygonrandkante einer einzigen Dachfläche, an der keine zweite Dachfläche anschließt) — siehe eigener Eintrag. Bei einem Walmdach kommt zur First-Strecke (zwischen den beiden Hauptdachflächen) die Walmschnittkante (zwischen Hauptdach und Walmfläche) hinzu, die je nach Lage als kurzer First oder als Grat klassifiziert wird.

Beziehungen

• Oberbegriff: dachkante, Spezialfall „Schnittkante" mit zusätzlichen Lagebedingungen (näherungsweise horizontal, höchste mittlere Höhe, beide Normalen mit positiver z-Komponente).
• Geschwister-Begriffe (andere Spezialisierungen von dachkante): traufe, ortgang, grat, kehle, pultkante.
• Bestandteile (partitiv): Anfangspunkt und Endpunkt der Firstlinien-Strecke bzw. die Stützpunkte des Streckenzugs bei geknickter Firstlinie.
• Abgrenzung:
• Traufe (traufe): untere, näherungsweise horizontale Randkante; ebenfalls horizontal, aber niedrigste statt höchste Kante und Polygonrandkante statt Schnittkante.
• Ortgang (ortgang): seitliche, geneigte Randkante; nicht näherungsweise horizontal.
• Grat (eigener Eintrag folgt): geneigte konvexe Schnittkante zweier Dachflächen; First-ähnlich als Schnittkante, aber nicht horizontal.
• Kehle (eigener Eintrag folgt): geneigte konkave Schnittkante zweier Dachflächen; einspringend statt ausspringend.
• Pultkante (eigener Eintrag folgt): obere Polygonrandkante einer Pultdachfläche; ebenfalls oberste, aber Randkante statt Schnittkante (nur eine Dachfläche beteiligt).
• Firstpfette: Tragwerksbalken unter dem First; Bauteil, nicht Kante. Hier nicht definiert.
• Firstziegel / Firstabdeckung: Eindeckungselemente auf dem First; Materialbauteile, nicht Kante. Hier nicht definiert.
• Dachhöhe: vertikaler Abstand zwischen Trauf- und Firsthöhe; ein Maß, keine Kante.

Implementierungshinweis

Datentyp (Domänen-Schicht, Kotlin, Schicht domain.bauteil):

sealed class First : Dachkante() {

    data class Regulaer(
        override val polylinie: Streckenzug,
        val dachflaecheA: Dachflaeche,
        val dachflaecheB: Dachflaeche
    ) : First()

    sealed class Entartet : First() {
        object Nullkante : Entartet()
        object NichtIdentifizierbar : Entartet()
    }
}

Klassifikations-Prädikat in DachkanteOps.kt:

fun istFirst(
    s: Strecke,
    dA: Dachflaeche,
    dB: Dachflaeche,
    alleSchnittstrecken: List<Strecke>,
    eps_W: Double = Toleranzen.WINKEL_EPS,
    eps_L: Double = Toleranzen.LAENGE_EPS
): Boolean {
    // 1. s liegt im gemeinsamen Polygonbereich von dA und dB
    if (!liegtImSchnitt(s, dA, dB, eps_L)) return false
    // 2. ℓ(s) > eps_L
    if (s.laenge() <= eps_L) return false
    // 3. s ist näherungsweise horizontal
    val sHat = s.einheitsRichtung().werteOder { return false }
    if (abs(sHat dot Vektor.E_Z) > eps_W) return false
    // 4. Beide äußeren Normalen weisen mit positiver z-Komponente nach oben
    if (dA.aeussereNormale dot Vektor.E_Z <= 0.0) return false
    if (dB.aeussereNormale dot Vektor.E_Z <= 0.0) return false
    // 5. z_bar(s) ist Maximum unter allen näherungsweise horizontalen Schnittstrecken
    val horizontaleSchnitte = alleSchnittstrecken.filter { it.istHorizontal(eps_W) }
    val maxZ = horizontaleSchnitte.maxOf { it.hoehenMittelwert() }
    return abs(s.hoehenMittelwert() - maxZ) <= eps_L
}

• Einheit: alle Koordinaten in mm (Double), Längen in mm.
• Invarianten (in Factory prüfen, niemals Exception):
• ℓ(polylinie) > Toleranzen.LAENGE_EPS — sonst Entartet.Nullkante.
• Jede Teilstrecke der Polylinie liegt im Schnittbereich F(P_A) ∩ F(P_B) der beiden anliegenden Dachflächen.
• Jede Teilstrecke ist näherungsweise horizontal: |e_hat · e_z| ≤ Toleranzen.WINKEL_EPS.
• Beide äußeren Normalen weisen mit positiver z-Komponente nach oben: n_{a,A} · e_z > 0 und n_{a,B} · e_z > 0.
• Mittlere z-Höhe jeder Teilstrecke ist gleich dem Maximum der mittleren z-Höhen aller näherungsweise horizontalen Schnittstrecken in der gesamten Dachflächenfamilie, mit Toleranz Toleranzen.LAENGE_EPS.
• Edge Cases:
• Nullkante: ℓ ≤ Toleranzen.LAENGE_EPS → Entartet.Nullkante.
• NichtIdentifizierbar: Keine eindeutig höchste horizontale Schnittkante (z. B. zwei gleichhohe Schnittkanten in unterschiedlichen Dachbereichen) → Entartet.NichtIdentifizierbar.
• Parallele Trägerebenen (E_A ∥ E_B): Schnittgerade existiert nicht; Definition liefert kein Element → Entartet.NichtIdentifizierbar.
• Geknickter First (z. B. bei polygonal abgeknicktem Dachgrundriss): zulässig durch Streckenzug-Modellierung; jede Teilstrecke wird einzeln klassifiziert.
• Abgeleitete Operationen:
• fun firstlaenge(): Double (mm) = ℓ(polylinie).
• fun firstlinie(): Streckenzug = polylinie.
• fun firsthoehe(): Double (mm) = mittlere z-Koordinate der Polylinie (Bezugsmaß für die Dachhöhe).

Quellen

Primär (normativ):

• SIA 232/1:2020, „Geneigte Dächer", Schweizerischer Ingenieur- und Architektenverein, Abschnitt 1.
• DIN 1356-1:1995-02, „Bauzeichnungen – Teil 1: Arten, Inhalte und Grundregeln der Darstellung", Abschnitt 5.
• DIN 18338:2019-09, „VOB Teil C: Dachdeckungs- und Dachabdichtungsarbeiten", Abschnitt 0.
• DIN EN 1991-1-3:2010-12, „Eurocode 1: Einwirkungen auf Tragwerke – Teil 1-3: Schneelasten", Anhang A.

Sekundär:

• Mönck, W.; Rug, W.: Holzbau – Bemessung und Konstruktion.
• Auflage, Beuth Verlag 2015.
• Gerner, M.: Fachwerk – Instandsetzung, Sanierung, Neubau. DVA,
• Auflage 2007.
• Lignum (Hrsg.): Lignatec — Geneigte Dächer in Holzbauweise. Lignum, Zürich, aktuelle Auflage.

Korpus (nicht autoritativ):

• Wikipedia, Lemma „Dachfirst" (abgerufen 2026-05-08).

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