Grat¶

Ein Grat ist die schräg ansteigende Aussenkante eines Daches, an der zwei Dachflächen an einer vorspringenden Ecke wie ein Dachrücken zusammenlaufen — etwa an einem Walmdach.

Prosa-Definition¶

Ein Grat ist eine Dachkante, die als Schnittkante zweier benachbarter Dachflächen auf der Schnittgerade ihrer Trägerebenen liegt, gegenüber der Horizontalen geneigt verläuft (also nicht näherungsweise horizontal ist) und an einer ausspringenden Außenecke des Daches die beiden anliegenden Dachflächen so zusammenführt, dass ihre äußeren Normalen vom umbauten Raum wegweisen (konvexe Konfiguration).

Mathematische Definition¶

Sei

D_i = (E_i, P_i, n_{a,i}) und D_j = (E_j, P_j, n_{a,j}) zwei verschiedene Dachflächen im Sinne von dachflaeche mit i ≠ j,
E_i und E_j nicht parallel, also E_i ∩ E_j eine Gerade g_{ij} ⊂ ℝ³ (Schnittgerade der Trägerebenen),
F(P_i) ⊂ E_i und F(P_j) ⊂ E_j die berandeten abgeschlossenen Flächenstücke,
s_{ij}:= F(P_i) ∩ F(P_j) die gemeinsame Schnittstrecke (vgl. first),
e_z = (0, 0, 1)ᵀ die vertikale Achse,
ε_W:= Toleranzen.WINKEL_EPS die Winkeltoleranz,
ε_L:= Toleranzen.LAENGE_EPS die Längentoleranz.

Sei ℓ(s_{ij}) > ε_L. Dann existiert ein Einheits-Tangentenvektor

t_hat:= (b − a) / ‖b − a‖    mit  s_{ij} = [a, b].

Eine Schnittstrecke s_{ij} heißt geneigt, wenn

|⟨t_hat, e_z⟩| > ε_W                                            (1)

(d. h. t_hat ist nicht näherungsweise horizontal — diese Bedingung grenzt Grat und Kehle gemeinsam vom First ab).

Globale Vorzeichenkonvention für t_hat (gilt für diesen Eintrag und alle Einträge, die hg_grat.md voraussetzen — insbesondere hg_gratsparren.md): Die Tangente t_hat ist immer bergauf gewählt, formal ⟨t_hat, e_z⟩ > 0 (nach (1) wohldefiniert; bei ⟨t_hat, e_z⟩ < 0 ersetze t_hat durch −t_hat).

Zur Schärfung von konvex/konkav genügen die beiden äußeren Normalen allein nicht: Ein Grat und eine Kehle können dasselbe Normalenpaar besitzen und unterscheiden sich nur darin, auf welcher Seite der Kante das jeweilige Flächenstück liegt (Gegenbeispiel in der Erläuterung). Die Konvexität wird darum über die Lage der Flächenstücke relativ zur Kante bestimmt. Sei

w:= (t_hat × e_z) / ‖t_hat × e_z‖   ∈ S²

die zur Kantentangente orthogonale horizontale Querachse (wohldefiniert, solange die Kante nicht lotrecht ist, also ‖t_hat × e_z‖ > ε_L — bei geneigten Dachkanten stets erfüllt). Sei c_i ein innerer Punkt (Flächenschwerpunkt) von F(P_i) und m ∈ s_{ij} ein Kantenpunkt. Die signierte Querlage des Flächenstücks D_i ist

τ_i:= ⟨ c_i − m, w ⟩.

Da sich die beiden Flächen von der Kante aus zu entgegengesetzten Querseiten erstrecken, gilt τ_i · τ_j < 0. Eine geneigte Schnittstrecke s_{ij} heißt konvex (ausspringend, Grat), wenn sich beide äußeren Normalen horizontal zur Querseite ihres eigenen Flächenstücks neigen:

⟨ n_hat_{a,i}, w ⟩ · sign(τ_i) > ε_W   und
⟨ n_hat_{a,j}, w ⟩ · sign(τ_j) > ε_W.                                 (2)

Anschaulich: Jede äußere Normale „kippt" horizontal in die Erstreckungsrichtung ihres eigenen Flächenstücks, weist also nach außen (Außenecke). Bei der Kehle ist das Vorzeichen umgekehrt — beide Normalen kippen zur jeweils anderen Seite, zur Kehle hin (Innenecke): ⟨n_hat_{a,i}, w⟩ · sign(τ_i) < −ε_W (analog für j).

Die Bedingung (2) ist pro Flächenstück formuliert und damit unmittelbar unabhängig von der Reihenfolge der beiden Dachflächen. Sie verwendet die Polygon-Lage F(P_i) — eine reine Normalen-Bedingung ⟨n_hat_{a,i} × n_hat_{a,j}, t_hat⟩ kann Grat und Kehle nicht trennen.

Eine Schnittstrecke s_{ij} heißt Grat der Dachflächenfamilie 𝒟 genau dann, wenn

ℓ(s_{ij}) > ε_L (nicht-entartet),
s_{ij} ist geneigt im Sinne von (1),
s_{ij} ist konvex im Sinne von (2),
beide äußeren Normalen weisen in die obere Halbkugel: ⟨n_hat_{a,i}, e_z⟩ > 0 und ⟨n_hat_{a,j}, e_z⟩ > 0 (Ausschluss senkrechter Wände).

Die Vereinigung aller so identifizierten Schnittstrecken bildet, falls sie über gemeinsame Eckpunkte zusammenhängt, die Gratlinie als Streckenzug; im Regelfall (Walmdach, Krüppelwalm) besteht sie aus genau einer Strecke pro Walmecke.

Wohldefiniertheit¶

Existenz der Tangente: Wegen ℓ(s_{ij}) > ε_L ist t_hat wohldefiniert. Die Konvention ⟨t_hat, e_z⟩ > 0 ist wegen (1) erfüllbar und legt die Orientierung eindeutig fest.
Unabhängigkeit von der Indexreihenfolge: Bedingung (2) ist pro Flächenstück formuliert (je eine Ungleichung für i und für j); ein Vertauschen i ↔ j benennt nur die beiden Ungleichungen um. Die Definition hängt also nicht von der Reihenfolge der beiden anliegenden Dachflächen ab.
Unabhängigkeit von der Punktwahl auf s_{ij}: t_hat ist auf der ganzen Strecke konstant; die Bedingungen (1) und (2) sind punktunabhängig.
Disjunktheit zu First: First verlangt |⟨t_hat, e_z⟩| ≤ ε_W; Grat verlangt |⟨t_hat, e_z⟩| > ε_W. Beide Klassen sind disjunkt.
Disjunktheit zu Kehle: Kehle verlangt das umgekehrte Vorzeichen in (2): ⟨n_hat_{a,i}, w⟩ · sign(τ_i) < −ε_W. Bei strikter Ungleichung

ε_W (Grat) bzw. < −ε_W (Kehle) sind beide Klassen disjunkt; der Grenzbereich |⟨n_hat_{a,i}, w⟩| ≤ ε_W bedeutet, dass ein Flächenstück kaum quer zur Kante geneigt ist (Falllinie nahezu parallel zur Kante), und die Kante wird als Entartung behandelt. Eine gemischte Kante (ein Flächenstück außen, das andere innen geneigt) erfüllt weder Grat noch Kehle — kein echtes Eck, sondern ein durchgehender Knick.
Konsistenz mit dachkante: Ein Grat ist nach Konstruktion eine Schnittkante zweier Dachflächen, also eine Dachkante (Fall „Schnittkante").
Nicht-Zirkularität: Die Definition stützt sich nur auf strecke, dachflaeche, polygon, ebene, vektor, toleranzen und den Oberbegriff dachkante.

Erläuterung (nicht normativ)¶

Der Grat ist die geneigte „Außenkante" zweier Dachflächen an einer Walmdach-Ecke. Anschaulich: Wenn man bei einem Walmdach von außen auf eine Ecke blickt, läuft die obere Kante der Walmfläche schräg nach oben zum First — diese schräge Kante ist der Grat. Auf der anderen Walmecke entsteht spiegelbildlich ein zweiter Grat. Bei einem klassischen Walmdach gibt es vier Grate, die jeweils vom Trauf-Eckpunkt bis zum First (oder zum Endpunkt der Firstlinie) verlaufen.

Konstruktiv liegt entlang des Grats üblicherweise ein Gratsparren, ein verstärkter Sparren, der die Last beider anliegender Dachflächen trägt. Auf dem Grat sitzt die Eindeckung mit eigenen Gratziegeln oder Gratabdeckungen.

Warum die Normalen allein nicht genügen: Man nehme zwei Dachflächen gleicher Neigung an einer gemeinsamen Kante. Ein Grat (Λ, beide Flächen fallen von der Kante weg) und eine Kehle (V, beide Flächen steigen von der Kante weg) besitzen dasselbe Paar äußerer Normalen — sie unterscheiden sich nur darin, welches Flächenstück auf welcher Querseite der Kante liegt. Am Grat zeigt jede äußere Normale (horizontal) zur Seite ihres eigenen Flächenstücks — nach außen; an der Kehle zeigt jede Normale zur Gegenseite, zur Kehle hin. Das ist die Querlage-Bedingung (2). Die Winkelhalbierende beider Normalen taugt dafür nicht: bei symmetrischer Neigung weist sie an Grat und Kehle gleichermaßen senkrecht nach oben.

Beziehungen¶

Oberbegriff: dachkante, Spezialfall „Schnittkante" mit zusätzlichen Lagebedingungen (geneigt, konvex, beide Normalen mit positiver z-Komponente).
Geschwister-Begriffe (andere Spezialisierungen von dachkante): traufe, first, ortgang, kehle, pultkante.
Bestandteile (partitiv): Anfangspunkt und Endpunkt der Gratlinien-Strecke; im Regelfall ist der untere Endpunkt zugleich Eckpunkt zweier Trauflinien (Walmdach-Trauf-Eckpunkt) und der obere Endpunkt zugleich Eckpunkt der Firstlinie.
Abgrenzung:
First (first): horizontale Schnittkante zweier nach oben zusammenlaufender Dachflächen. Grat ist im Gegensatz dazu geneigt (Bedingung (1)).
Kehle (kehle): geneigte konkave Schnittkante. Grat ist konvex; Vorzeichen in (2) umgekehrt zur Kehle.
Ortgang (ortgang): geneigte Randkante einer einzelnen Dachfläche entlang ihrer Falllinie. Grat ist Schnittkante zweier Dachflächen, kein Polygonrand einer einzelnen Fläche.
Traufe (traufe): horizontale, untere Randkante. Grat ist geneigt und Schnittkante.
Pultkante (pultkante): obere Randkante einer einzelnen Pultdachfläche. Grat ist Schnittkante zweier Dachflächen.
Gratsparren (gratsparren, bereits angelegt): Tragwerksbalken entlang der Gratlinie; Bauteil, nicht Kante.
Walmfläche: jene Dachfläche eines Walmdachs, deren Trapezform an drei Seiten von Graten und einer Traufe begrenzt wird; Fläche, nicht Kante.

Quellen¶

Primär (normativ):

SIA 232/1:2020, „Geneigte Dächer", Schweizerischer Ingenieur- und Architektenverein, Abschnitt 1.
DIN 1356-1:1995-02, „Bauzeichnungen – Teil 1: Arten, Inhalte und Grundregeln der Darstellung", Abschnitt 5.
DIN 18338:2019-09, „VOB Teil C: Dachdeckungs- und Dachabdichtungsarbeiten", Abschnitt 0.

Sekundär:

Mönck, W.; Rug, W.: Holzbau – Bemessung und Konstruktion.
Auflage, Beuth Verlag 2015.
Gerner, M.: Fachwerk – Instandsetzung, Sanierung, Neubau. DVA,
Auflage 2007.
Lignum (Hrsg.): Lignatec — Geneigte Dächer in Holzbauweise. Lignum, Zürich, aktuelle Auflage.

Korpus (nicht autoritativ):

Wikipedia, Lemma „Dachgrat" (abgerufen 2026-05-08).

Quelle herunterladen¶

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