Grat

Prosa-Definition

Ein Grat ist eine Dachkante, die als Schnittkante zweier benachbarter Dachflächen auf der Schnittgerade ihrer Trägerebenen liegt, gegenüber der Horizontalen geneigt verläuft (also nicht näherungsweise horizontal ist) und an einer ausspringenden Außenecke des Daches die beiden anliegenden Dachflächen so zusammenführt, dass ihre äußeren Normalen vom umbauten Raum wegweisen (konvexe Konfiguration).

Mathematische Definition

Sei

• D_i = (E_i, P_i, n_{a,i}) und D_j = (E_j, P_j, n_{a,j}) zwei verschiedene Dachflächen im Sinne von dachflaeche mit i ≠ j,
• E_i und E_j nicht parallel, also E_i ∩ E_j eine Gerade g_{ij} ⊂ ℝ³ (Schnittgerade der Trägerebenen),
• F(P_i) ⊂ E_i und F(P_j) ⊂ E_j die berandeten abgeschlossenen Flächenstücke,
• s_{ij} := F(P_i) ∩ F(P_j) die gemeinsame Schnittstrecke (vgl. first),
• e_z = (0, 0, 1)ᵀ die vertikale Achse,
• ε_W := Toleranzen.WINKEL_EPS die Winkeltoleranz,
• ε_L := Toleranzen.LAENGE_EPS die Längentoleranz.

Sei ℓ(s_{ij}) > ε_L. Dann existiert ein Einheits-Tangentenvektor

t_hat := (b − a) / ‖b − a‖    mit  s_{ij} = [a, b].

Eine Schnittstrecke s_{ij} heißt geneigt, wenn

|⟨t_hat, e_z⟩| > ε_W                                            (1)

(d. h. t_hat ist nicht näherungsweise horizontal — diese Bedingung grenzt Grat und Kehle gemeinsam vom First ab).

Eine geneigte Schnittstrecke s_{ij} heißt konvex (ausspringend), wenn das gemischte Spatprodukt der äußeren Normalen mit der aufwärts gerichteten Tangente das positive Zeichen liefert.

Globale Vorzeichenkonvention für t_hat (gilt für diesen Eintrag und alle Einträge, die hg_grat.md voraussetzen — insbesondere hg_gratsparren.md): Die Tangente t_hat ist immer bergauf gewählt, formal ⟨t_hat, e_z⟩ > 0 (nach (1) wohldefiniert; bei ⟨t_hat, e_z⟩ < 0 ersetze t_hat durch −t_hat). Dann verlangen wir

⟨ n_hat_{a,i} × n_hat_{a,j}, t_hat ⟩  ·  σ(i, j)  >  ε_W,            (2)

wobei σ(i, j) ∈ {+1, −1} das Vorzeichen ist, das die zyklische Reihenfolge (i, j) so wählt, dass die beiden Dachflächen am Grat im Uhrzeigersinn um t_hat herum angeordnet sind, wenn man von oben auf t_hat schaut. Konkret: Setze σ(i, j) := +1, wenn (i, j) so gewählt ist, dass die Drehung von n_hat_{a,i} nach n_hat_{a,j} um die Achse t_hat im mathematisch positiven Sinn erfolgt; sonst σ(i, j) := −1. Da das Spatprodukt antisymmetrisch in (i, j) ist, ist die Bedingung (2) unabhängig von der Reihenfolge der beiden Dachflächen.

Äquivalente, vorzeichen-symmetrische Schreibweise:

sign( ⟨ n_hat_{a,i} × n_hat_{a,j}, t_hat ⟩ )  =  sign( ⟨ n_hat_{a,i} − n_hat_{a,j}, e_hat_⊥ ⟩ )    (2')

mit e_hat_⊥ := (e_z − ⟨e_z, t_hat⟩ · t_hat) / ‖…‖ als der zur Tangente orthogonalen, nach oben weisenden Komponente. Die Bedingung (2'/(2)) ist genau dann erfüllt, wenn die Winkelhalbierende beider äußerer Normalen oberhalb der durch g_{ij} und t_hat aufgespannten Ebene liegt, also konvex/ausspringend ist.

Eine Schnittstrecke s_{ij} heißt Grat der Dachflächenfamilie 𝒟 genau dann, wenn

1. ℓ(s_{ij}) > ε_L (nicht-entartet),
2. s_{ij} ist geneigt im Sinne von (1),
3. s_{ij} ist konvex im Sinne von (2),
4. beide äußeren Normalen weisen in die obere Halbkugel: ⟨n_hat_{a,i}, e_z⟩ > 0 und ⟨n_hat_{a,j}, e_z⟩ > 0 (Ausschluss senkrechter Wände).

Die Vereinigung aller so identifizierten Schnittstrecken bildet, falls sie über gemeinsame Eckpunkte zusammenhängt, die Gratlinie als Streckenzug; im Regelfall (Walmdach, Krüppelwalm) besteht sie aus genau einer Strecke pro Walmecke.

Wohldefiniertheit

• Existenz der Tangente: Wegen ℓ(s_{ij}) > ε_L ist t_hat wohldefiniert. Die Konvention ⟨t_hat, e_z⟩ > 0 ist wegen (1) erfüllbar und legt die Orientierung eindeutig fest.
• Unabhängigkeit von der Indexreihenfolge: Beim Vertauschen i ↔ j wechseln sowohl n_hat_{a,i} × n_hat_{a,j} als auch σ(i, j) ihr Vorzeichen; das Produkt in (2) bleibt invariant. Die Definition hängt also nicht von der Reihenfolge der beiden anliegenden Dachflächen ab.
• Unabhängigkeit von der Punktwahl auf s_{ij}: t_hat ist auf der ganzen Strecke konstant; die Bedingungen (1) und (2) sind punktunabhängig.
• Disjunktheit zu First: First verlangt |⟨t_hat, e_z⟩| ≤ ε_W; Grat verlangt |⟨t_hat, e_z⟩| > ε_W. Beide Klassen sind disjunkt.
• Disjunktheit zu Kehle: Kehle verlangt das umgekehrte Vorzeichen in (2). Bei strikter Ungleichung > ε_W bzw. < −ε_W in beiden Klassen sind sie disjunkt; der Grenzbereich |⟨…⟩| ≤ ε_W bedeutet, dass die Trägerebenen näherungsweise koplanar sind und die Kante als Entartung behandelt wird.
• Konsistenz mit dachkante: Ein Grat ist nach Konstruktion eine Schnittkante zweier Dachflächen, also eine Dachkante (Fall „Schnittkante").
• Nicht-Zirkularität: Die Definition stützt sich nur auf strecke, dachflaeche, polygon, ebene, vektor, toleranzen und den Oberbegriff dachkante.

Erläuterung (nicht normativ)

Der Grat ist die geneigte „Außenkante" zweier Dachflächen an einer Walmdach-Ecke. Anschaulich: Wenn man bei einem Walmdach von außen auf eine Ecke blickt, läuft die obere Kante der Walmfläche schräg nach oben zum First — diese schräge Kante ist der Grat. Auf der anderen Walmecke entsteht spiegelbildlich ein zweiter Grat. Bei einem klassischen Walmdach gibt es vier Grate, die jeweils vom Trauf-Eckpunkt bis zum First (oder zum Endpunkt der Firstlinie) verlaufen.

Konstruktiv liegt entlang des Grats üblicherweise ein Gratsparren, ein verstärkter Sparren, der die Last beider anliegender Dachflächen trägt. Auf dem Grat sitzt die Eindeckung mit eigenen Gratziegeln oder Gratabdeckungen.

Anschauliche Konvexitätsprüfung: Die beiden äußeren Normalen n_hat_{a,i} und n_hat_{a,j} weisen am Grat voneinander weg (Außenecke); ihre Winkelhalbierende zeigt nach außen-oben. An einer Kehle hingegen weisen die Normalen gewissermaßen gegeneinander, und die Winkelhalbierende zeigt nach innen-unten (Wassersammelpunkt).

Beziehungen

• Oberbegriff: dachkante, Spezialfall „Schnittkante" mit zusätzlichen Lagebedingungen (geneigt, konvex, beide Normalen mit positiver z-Komponente).
• Geschwister-Begriffe (andere Spezialisierungen von dachkante): traufe, first, ortgang, kehle, pultkante.
• Bestandteile (partitiv): Anfangspunkt und Endpunkt der Gratlinien-Strecke; im Regelfall ist der untere Endpunkt zugleich Eckpunkt zweier Trauflinien (Walmdach-Trauf-Eckpunkt) und der obere Endpunkt zugleich Eckpunkt der Firstlinie.
• Abgrenzung:
• First (first): horizontale Schnittkante zweier nach oben zusammenlaufender Dachflächen. Grat ist im Gegensatz dazu geneigt (Bedingung (1)).
• Kehle (kehle): geneigte konkave Schnittkante. Grat ist konvex; Vorzeichen in (2) umgekehrt zur Kehle.
• Ortgang (ortgang): geneigte Randkante einer einzelnen Dachfläche entlang ihrer Falllinie. Grat ist Schnittkante zweier Dachflächen, kein Polygonrand einer einzelnen Fläche.
• Traufe (traufe): horizontale, untere Randkante. Grat ist geneigt und Schnittkante.
• Pultkante (pultkante): obere Randkante einer einzelnen Pultdachfläche. Grat ist Schnittkante zweier Dachflächen.
• Gratsparren (gratsparren, bereits angelegt): Tragwerksbalken entlang der Gratlinie; Bauteil, nicht Kante.
• Walmfläche: jene Dachfläche eines Walmdachs, deren Trapezform an drei Seiten von Graten und einer Traufe begrenzt wird; Fläche, nicht Kante.

Implementierungshinweis

Datentyp (Domänen-Schicht, Kotlin, Schicht domain.bauteil):

sealed class Grat : Dachkante() {

    data class Regulaer(
        override val polylinie: Streckenzug,
        val dachflaecheA: Dachflaeche,
        val dachflaecheB: Dachflaeche
    ) : Grat()

    sealed class Entartet : Grat() {
        object Nullkante : Entartet()
        object NichtIdentifizierbar : Entartet()
    }
}

Klassifikations-Prädikat in DachkanteOps.kt:

fun istGrat(
    s: Strecke,
    dA: Dachflaeche,
    dB: Dachflaeche,
    eps_W: Double = Toleranzen.WINKEL_EPS,
    eps_L: Double = Toleranzen.LAENGE_EPS
): Boolean {
    // 1. Schnittkante: s liegt im gemeinsamen Polygonbereich von dA und dB
    if (!liegtImSchnitt(s, dA, dB, eps_L)) return false
    if (s.laenge() <= eps_L) return false
    // 2. Tangente, nach oben orientiert
    var tHat = s.einheitsRichtung().werteOder { return false }
    if ((tHat dot Vektor.E_Z) < 0.0) tHat = -tHat
    // 3. Geneigt (nicht horizontal): grenzt Grat/Kehle gegen First ab
    if (abs(tHat dot Vektor.E_Z) <= eps_W) return false
    // 4. Beide Normalen in oberer Halbkugel
    val nA = dA.aeussereNormale.normiert().werteOder { return false }
    val nB = dB.aeussereNormale.normiert().werteOder { return false }
    if ((nA dot Vektor.E_Z) <= 0.0) return false
    if ((nB dot Vektor.E_Z) <= 0.0) return false
    // 5. Konvexitätsbedingung: Spatprodukt > +eps_W
    //    (Vorzeichen abhängig von der konsistenten Wahl der Normalenreihenfolge;
    //    siehe Wohldefiniertheit. In der Implementierung wird die kanonische
    //    Reihenfolge (i, j) durch die Polygon-Umlaufrichtung der ersten
    //    Dachfläche fixiert.)
    val spat = (nA cross nB) dot tHat
    return spat > eps_W
}

• Einheit: alle Koordinaten in mm (Double), Längen in mm.
• Invarianten (in Factory prüfen, niemals Exception):
• ℓ(polylinie) > Toleranzen.LAENGE_EPS — sonst Entartet.Nullkante.
• Jede Teilstrecke der Polylinie liegt im Schnittbereich F(P_A) ∩ F(P_B) der beiden anliegenden Dachflächen.
• Jede Teilstrecke ist geneigt: |t_hat · e_z| > Toleranzen.WINKEL_EPS.
• Beide äußeren Normalen weisen mit positiver z-Komponente nach oben.
• Konvexitätsbedingung (2) erfüllt.
• Edge Cases:
• Nullkante: ℓ ≤ Toleranzen.LAENGE_EPS → Entartet.Nullkante.
• NichtIdentifizierbar: Spatprodukt im Toleranzband [−ε_W, +ε_W] → die beiden Trägerebenen sind näherungsweise koplanar oder die Kante liegt im Grenzfall zwischen Grat und Kehle → Entartet.NichtIdentifizierbar.
• Parallele Trägerebenen: keine Schnittgerade → Entartet.NichtIdentifizierbar.
• Horizontale Tangente: Bedingung (1) verletzt → die Kante ist ein First, kein Grat (siehe hg_first.md).
• Geknickter Grat: zulässig durch Streckenzug-Modellierung; jede Teilstrecke wird einzeln klassifiziert.
• Abgeleitete Operationen:
• fun gratlaenge(): Double (mm) = ℓ(polylinie).
• fun gratlinie(): Streckenzug = polylinie.
• fun gratneigung(): Double = arcsin(|t_hat · e_z|) (Winkel der Gratlinie gegen die Horizontale; Bezugsmaß für Gratsparren- Bemessung).

Quellen

Primär (normativ):

• SIA 232/1:2020, „Geneigte Dächer", Schweizerischer Ingenieur- und Architektenverein, Abschnitt 1.
• DIN 1356-1:1995-02, „Bauzeichnungen – Teil 1: Arten, Inhalte und Grundregeln der Darstellung", Abschnitt 5.
• DIN 18338:2019-09, „VOB Teil C: Dachdeckungs- und Dachabdichtungsarbeiten", Abschnitt 0.

Sekundär:

• Mönck, W.; Rug, W.: Holzbau – Bemessung und Konstruktion.
• Auflage, Beuth Verlag 2015.
• Gerner, M.: Fachwerk – Instandsetzung, Sanierung, Neubau. DVA,
• Auflage 2007.
• Lignum (Hrsg.): Lignatec — Geneigte Dächer in Holzbauweise. Lignum, Zürich, aktuelle Auflage.

Korpus (nicht autoritativ):

• Wikipedia, Lemma „Dachgrat" (abgerufen 2026-05-08).

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