Prosa-Definition¶

Ein Polygon ist ein endlicher, in einer gemeinsamen Ebene liegender, einfach geschlossener Streckenzug mit k ≥ 3 paarweise verschiedenen Eckpunkten, dessen Kanten (außer an gemeinsamen Endpunkten) einander nicht schneiden, zusammen mit dem von ihm nach dem Jordan-Kurvensatz eindeutig berandeten, beschränkten Flächenstück seines Inneren.

Mathematische Definition¶

Sei

E ⊂ ℝ³ eine Ebene (im Sinne des Eintrags ebene),
(v₁, v₂, …, v_k) eine Tupel von Eckpunkten v_i ∈ E mit k ≥ 3.

Definiere die Kanten zyklisch als Strecken

e_i := [v_i, v_{i+1}]   für  i = 1, …, k,   v_{k+1} := v_1.

Das Tupel (v₁, …, v_k) heißt ein Polygon in E genau dann, wenn folgende Bedingungen gelten:

Koplanarität: Alle v_i liegen in derselben Ebene E.
Mindesteckenzahl: k ≥ 3.
Nicht-Degeneration der Eckpunkte: v_i ≠ v_{i+1} für alle i (keine Nullkanten).
Nicht-Kollinearität in der Folge: Für alle i sind v_{i−1}, v_i, v_{i+1} nicht kollinear (keine „überflüssigen" Eckpunkte). (Diese Bedingung ist optional und kann durch einen Vorverarbeitungsschritt zur Normalisierung erzwungen werden; siehe Implementierungshinweis.)
Einfachheit (Jordan-Bedingung): Für alle i, j mit i ≠ j und {i+1, j+1} ∩ {i, j} = ∅ gilt e_i ∩ e_j = ∅. Nicht benachbarte Kanten schneiden sich nicht; benachbarte Kanten teilen genau ihren gemeinsamen Eckpunkt.

Aus Bedingungen 1–3 und 5 folgt, dass die Vereinigung der Kanten ∂P := e₁ ∪ … ∪ e_k eine einfache geschlossene stückweise lineare Kurve in E ist. Nach dem Jordan-Kurvensatz zerlegt ∂P die Ebene E in genau zwei zusammenhängende Komponenten, von denen genau eine beschränkt ist; diese beschränkte Komponente, vereinigt mit ihrem Rand, sei

F(P) := { x ∈ E | x liegt im beschränkten Bereich von E ∖ ∂P } ∪ ∂P.

Das Polygon ist dann das Paar P = ((v₁, …, v_k), F(P)) bzw. in implementierungsnaher Form das Tupel (v₁, …, v_k) zusammen mit der Ebene E; F(P) ist eine abgeleitete Größe.

Wesentliche abgeleitete Größen:

Trägerebene: E.
Eckenzahl: k ∈ ℕ_{≥3}.
Kantenmenge: { e₁, …, e_k }.
Umfang: U(P) := Σ_{i=1}^{k} ‖v_{i+1} − v_i‖ (in mm).
Flächeninhalt (für Polygon mit Einheitsnormale n_hat der Trägerebene): A(P) := ½ · |⟨n_hat, Σ_{i=1}^{k} v_i × v_{i+1}⟩| (in mm²; verallgemeinert die 2D-Schuhbänder-/Gauß-Trapezformel auf eine in ℝ³ liegende Ebene).
Orientierung: Das Vorzeichen von ⟨n_hat, Σ v_i × v_{i+1}⟩ unterscheidet positive (gegen den Uhrzeigersinn von n_hat aus betrachtet) und negative Orientierung der Eckenfolge.

Wohldefiniertheit¶

Existenz von F(P): Aus Bedingungen 1, 2, 3 und 5 folgt, dass ∂P eine einfache geschlossene Jordan-Kurve in E ist; der Jordan-Kurvensatz garantiert die Existenz und Eindeutigkeit einer beschränkten Komponente.
Repräsentantenwahl: Zyklische Verschiebung der Eckenfolge (v₁, …, v_k) → (v₂, …, v_k, v₁) liefert dieselbe Kantenmenge und damit dasselbe Polygon. Die Domänen-Schicht definiert die Identität von Polygonen daher modulo zyklischer Verschiebung (und optional modulo Umkehrung, wenn Orientierung irrelevant ist).
Unabhängigkeit des Flächeninhalts vom Stützpunkt: Die Schuhbänderformel in 3D verwendet das Kreuzprodukt v_i × v_{i+1}. Eine Translation aller v_i um denselben Vektor t liefert Σ (v_i + t) × (v_{i+1} + t) = Σ v_i × v_{i+1} + t × Σ v_{i+1} + Σ v_i × t + k · (t × t). Wegen Σ v_{i+1} = Σ v_i und t × t = 0 reduziert sich der Korrekturterm auf t × Σ v_i + Σ v_i × t = t × Σ v_i − t × Σ v_i = 0. Der Wert ist also translations-invariant; insbesondere kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit ein Eckpunkt als Ursprung gewählt werden.
Vorzeichenwahl der Normalen: Die Formel hängt linear von n_hat ab; (n_hat, −n_hat) ändert das Vorzeichen. Die Betragsbildung |·| liefert einen wohldefinierten unsignierten Flächeninhalt.
Nicht-Zirkularität: Definition stützt sich auf Punkt, Strecke, Ebene, reellwertige Operationen und den Jordan-Kurvensatz für stückweise lineare Kurven (klassisches Resultat, beweisbar ohne Bezug auf Polygon).

Erläuterung (nicht normativ)¶

Polygone treten im Holzbau überall dort auf, wo eine ebene Außen- oder Schnittfläche eines Bauteils oder einer Konstruktion beschrieben werden soll: Umriss einer Dachfläche, Querschnitt eines Sparrens, Grundriss einer Wand, Polygonalisierung einer Holzplatte.

Drei verbreitete Spezialfälle:

Dreieck (k = 3): einfachstes Polygon; immer eben und einfach.
Konvexes Polygon: jede Kante teilt die Ebene in zwei Halbebenen, und alle anderen Eckpunkte liegen in derselben Halbebene. Für Tragwerksgeometrien selten zwingend, aber numerisch günstig.
Rechteck: konvexes Polygon mit vier rechten Innenwinkeln.

Im Dachgrundriss-Polygon hat die Eckform eine direkte konstruktive Konsequenz: eine ausspringende (konvexe) Ecke erzeugt bei der Dachausmittlung einen Grat zwischen den angrenzenden Dachflächen; eine einspringende (konkave) Ecke erzeugt eine Kehle. Bei einem L-förmigen Grundriss liegt an der einspringenden Innenecke eine Kehllinie, an jeder ausspringenden Außenecke ein Grat. Die konvex/konkav-Unterscheidung am Polygon ist damit nicht bloß numerisch günstig, sondern trägt im Holzbau eine unmittelbare Bauteil-Bedeutung (Grat- oder Kehlsparren als Schnittlinie der Dachflächen über der jeweiligen Ecke).

In der Domänen-Schicht ist das Polygon ein abgeschlossenes Flächenstück (Rand gehört dazu); offene Polygone werden nicht unterstützt.

In der Vermessungs-/Geodäsie-Schicht lebt das Polygon-Vokabular eigenständig: Polygonzug (Spur einer Wegfolge aus Geradenstücken, offen oder als „Ringpolygon" geschlossen) und Polygonpunkt (vermessener Eckpunkt) sind dort die primären Begriffe. Am Bauplatz tritt das Schnurgerüst als geschlossener Polygonzug auf, dessen Eckpunkte als Polygonpunkte abgesteckt werden. Diese geodätische Verwendung ist mit der hier festgelegten mathematischen Polygon-Definition konsistent, das berufssprachliche Vokabular am Bauplatz ist aber unterschiedlich gewachsen und kann zwischen Mathematik- und Vermessungs-Sprache zu Stolpersteinen führen (Abgrenzung zum Streckenzug-Eintrag, siehe §Beziehungen).

Zwei zulässige Lesarten: Punktmenge und Berandung¶

Der oben definierte Polygon-Begriff trägt zwei zulässige Lesarten desselben Konzepts, die sich nur in der zugewiesenen Substanz-Schicht unterscheiden — nicht in der zugrundeliegenden Information:

Punktmengen-Lesart (primär): Das Polygon ist das berandete, beschränkte, abgeschlossene Flächenstück F(P) ⊂ E zusammen mit seiner Eckenfolge. Dies ist die in der mathematischen Definition oben festgelegte Standardauffassung; sie ist die für flächeninhaltsbezogene Operationen (Schwerpunkt, Flächeninhalt, Punkt-in-Polygon-Test) und für die Domänen-Klasse KonvexesPolygon maßgebliche Lesart.
Berandungs-Lesart (zulässig, kontext-gebunden): Das Polygon ist die geschlossene polygonale Randkurve ∂P = e₁ ∪ … ∪ e_k in E zusammen mit ihrer Eckenfolge. Diese Lesart ist insbesondere für die Modellierung von Bauteilflächen als Randpolygon auf einer Trägerebene relevant (siehe stirnseite, laengsseite), in der die Bauteilfläche durch ihren Linienzug auf einer ausgezeichneten Trägerebene beschrieben wird und das Flächenstück nur als abgeleitete Größe geführt wird.

Beide Lesarten tragen dieselbe Information: aus der Eckenfolge (v₁, …, v_k) und der Trägerebene E ergibt sich der Linienzug ∂P deterministisch durch zyklisches Verbinden der Eckpunkte, und aus dem Linienzug folgt durch den Jordan-Kurvensatz eindeutig das beschränkte Flächenstück F(P). Die Wahl zwischen Punktmengen- und Berandungs-Lesart ist Kontext-Frage, keine Strukturfrage des Begriffs: in Operationen über Flächeninhalt und Lage von Punkten liegt die Punktmengen-Lesart nahe; in der Bauteilflächen- Modellierung mit Trägerebene und Aussennormalen-Konvention liegt die Berandungs-Lesart näher. Die Implementierung führt beide Lesarten über denselben Datentyp (KonvexesPolygon mit Eckenfolge in einer Trägerebene); die zusätzliche semantische Schicht (Bauteilrolle, Aussennormalen-Konvention) trägt der verwendende Begriff.

Beziehungen¶

Oberbegriff: einfach geschlossener stückweise linearer ebener Streckenzug mit innerem Flächenstück (formal). Im Glossar Primitiv.
Teilbegriffe (Spezialisierungen):
Dreieck (k = 3).
Viereck, Rechteck, Trapez (k = 4 mit Zusatz- bedingungen).
Konvexes Polygon.
Anwendungs-Spezialisierungen: Umriss einer Dachfläche, Querschnittspolygon eines Bauteils.
Bestandteile (partitiv):
Eckpunkte v_i, Kanten e_i, Innenfläche F(P) ∖ ∂P, Rand ∂P.
Abgrenzung:
Streckenzug (siehe streckenzug; Synonyme: Polygonzug, Polylinie): stückweise lineare Kurve, die nicht notwendig geschlossen und nicht notwendig einfach ist. Ein Polygon ist ein geschlossener, einfacher Streckenzug mitsamt dem berandeten Flächenstück. In der Vermessungs-/Geodäsie- Schicht wird „Polygonzug" als eigenständiger Begriff geführt (Schnurgerüst am Bauplatz als geschlossener Polygonzug, Polygonpunkte als vermessene Eckpunkte); diese geodätische Lesart ist mit der mathematischen Polygon- Definition konsistent, das Vokabular am Bauplatz jedoch unterschiedlich gewachsen (siehe §Erläuterung).
Strecke: einzelne Kante; kein Polygon.
Dachfläche: ein Polygon in einer Ebene mit zusätzlicher Orientierung und Rolle als Außenfläche eines Daches; das Polygon ist die geometrische Substanz, die Dachfläche eine rollenbezogene Spezialisierung.
Polyeder: dreidimensionaler Körper, dessen Oberfläche aus Polygonen zusammengesetzt ist; ein Polygon ist zweidimensional.
Stirnseite (stirnseite) und Längsseite (laengsseite): Bauteilflächen, die geometrisch über die Berandungs-Lesart des Polygons modelliert werden (Randpolygon auf einer Trägerebene mit Bauteilrolle und Aussennormalen-Konvention). Das Polygon trägt die geometrische Substanz; die Bauteilfläche fügt die Bauteilrolle und die Aussennormalen-Konvention hinzu.
Selbstüberschneidende Vielecke (z. B. Pentagramm): werden in diesem Glossar nicht als Polygon zugelassen. Die KonvexesPolygon-Implementierung schließt sie für die im Holzbau auftretenden Eckreihenfolgen über die lokale Konvexitäts-Invariante aus; die Lücke der Prüfung bei pathologischen Permutationen (Pentagramm-Topologie) ist im Implementierungshinweis dokumentiert. Mit der Folgearbeit EinfachesPolygon werden Selbstschnitte global als Entartet.Selbstschnitt zurückgewiesen — diese Variante ist heute noch nicht im EntartetGeometrie-Sealed-Interface vorhanden (siehe Implementierungshinweis).

Implementierungshinweis¶

Code-Eingrenzung: Codeseitig wird vorerst nur KonvexesPolygon implementiert (geordnete Eckpunkt-Liste in einer Träger-Ebene mit Konvexitäts-Invariante). Das deckt typische Bauteil-Querschnitte ab (Rechteck, Trapez für Anschnitte) sowie konvexe Begrenzungsflächen prismatischer Bauteilkörper. Eine spätere Erweiterung auf allgemeine einfache Polygone (EinfachesPolygon, nicht selbstüberschneidend, möglicherweise nicht-konvex) bleibt vorgesehen — relevant z. B. für Dachflächen mit L-Grundriss oder Erker. Der oben definierte allgemeine Polygon-Begriff bleibt als Glossar-Spezifikation gültig; KonvexesPolygon ist der erste implementierte Spezialfall (analog zur Modi-Differenzierung in hg_faserrichtung.md).

Grenze der Konvexitätsprüfung: Die Konvexitätsprüfung über aufeinanderfolgende Kanten-Kreuzprodukte stellt sicher, dass alle Innenwinkel gleichsinnig sind (lokale Konvexität). Sie erkennt nicht alle selbstschneidenden Eckpunktreihenfolgen — etwa ein Pentagramm (v₀, v₂, v₄, v₁, v₃) mit Eckpunkten eines regulären Pentagons liefert konsistente Kreuzprodukt-Vorzeichen und passiert die Prüfung. Im Anwendungskontext (Bauteilquerschnitte als Rechtecke, Trapeze, Sechsecke aus parametrischer Eingabe) ist diese Lücke praktisch irrelevant. Der globale Selbstschnitt-Test ist Teil der späteren EinfachesPolygon-Erweiterung.

Entartet-Varianten je Implementierungs-Variante:

Die EntartetGeometrie-Sealed-Class enthält für KonvexesPolygon strukturell nur:

EntartetesPolygon — < 3 Eckpunkte oder Konvexitäts-Verstoß.
NichtKoplanaresPolygon — Eckpunkte nicht in einer Träger-Ebene innerhalb LAENGE_EPS.
NichtFinit — ein Eckpunkt enthält NaN/±∞.

KonvexesPolygon schließt Selbstschnitte über die lokale Konvexitäts- Invariante (gleichsinnige Kanten-Kreuzprodukte) für alle praktisch auftretenden Eckreihenfolgen aus. Pathologische Permutationen (Pentagramm-Topologie) bleiben unentdeckt — siehe Abschnitt „Grenze der Konvexitätsprüfung". Der globale Selbstschnitt-Test gehört zur Folgearbeit EinfachesPolygon.

Folgearbeit EinfachesPolygon (allgemeine einfache, ggf. nicht-konvexe Polygone) wird zusätzlich folgende Varianten erfordern, die heute noch nicht im EntartetGeometrie-Sealed-Interface existieren:

Selbstschnitt — zwei Kanten schneiden sich an einem inneren Punkt.
Nullkante — zwei aufeinanderfolgende Eckpunkte fallen zusammen (in KonvexesPolygon als Konvexitäts-/Mindesteckenzahl-Verstoß über EntartetesPolygon mit abgedeckt; in EinfachesPolygon als eigene Variante zur feineren Diagnose sinnvoll).
KollineareEckpunkte — drei aufeinanderfolgende Eckpunkte kollinear, als feinere Klassifikation des heutigen EntartetesPolygon.
(Weitere bei konkreter Bedarfsklärung.)

Die folgenden Datentyp-, Invarianten- und Edge-Case-Skizzen beschreiben in der bestehenden Form überwiegend die Folgearbeit EinfachesPolygon (feinere Varianten, allgemeine Einfachheits-Tests) und sind für die aktuelle KonvexesPolygon-Implementierung nur teilweise maßgeblich; sie stehen hier dokumentiert, damit der Begriffsraum vollständig vorbereitet ist.

Folgearbeit-Skizze EinfachesPolygon (nicht aktuelle Implementierung):

Datentyp (Domänen-Schicht, Kotlin, Schicht domain.geometrie):

data class Polygon(
    val ecken: List<Punkt>,       // (v₁, …, v_k)
    val traeger: Ebene             // E, alle ecken ∈ E
) {
    init {
        // alle Invarianten 1..5 prüfen, sonst Entartet
    }
}

Einheit: Eckpunkt-Koordinaten in mm; Umfang in mm; Fläche in mm².
Invarianten (in Factory Polygon.of(ecken, traeger?) prüfen, bei Verletzung Resultat.Fehler mit Entartet-Variante zurückgeben, niemals Exception):
Mindesteckenzahl: ecken.size ≥ 3 — sonst Entartet.ZuWenigEcken.
Koplanarität: für alle i: |⟨traeger.einheitsNormale, v_i − traeger.stuetzpunkt⟩| ≤ Toleranzen.LAENGE_EPS — sonst Entartet.NichtPlanar.
Keine Nullkanten: für alle i: ‖v_{i+1} − v_i‖ > Toleranzen.LAENGE_EPS — sonst Entartet.Nullkante.
Keine kollinearen Eckentripel (optional, normalisierbar): für alle i ist ‖(v_i − v_{i−1}) × (v_{i+1} − v_i)‖ > Toleranzen.NORM_EPS · ‖v_i − v_{i−1}‖ · ‖v_{i+1} − v_i‖. Bei Verletzung Normalisierung durch Streichen des mittleren Eckpunkts oder Entartet.Kollinear (konfigurierbar).
Einfachheit (Jordan): keine Schnitte zwischen nicht- benachbarten Kanten — sonst Entartet.Selbstschnitt. Test in O(k²) hinreichend; für große k Sweep-Line in O(k log k).
Konstruktoren:
Polygon.of(ecken: List<Punkt>): Resultat<Polygon, EntartetGeometrie> — Trägerebene wird aus den ersten drei nicht-kollinearen Punkten abgeleitet.
Polygon.of(ecken: List<Punkt>, traeger: Ebene): Resultat<Polygon, EntartetGeometrie> — explizite Trägerebene; Koplanaritätstest gegen traeger.
Edge Cases / Entartet-Varianten (Folgearbeit EinfachesPolygon; alle als Varianten der gemeinsamen EntartetGeometrie-Hierarchie nach D3-Konvention, kein Exception-Werfen; die feineren Varianten unten sind aktuell nicht im Sealed-Interface vorhanden, werden mit EinfachesPolygon ergänzt):
Entartet.ZuWenigEcken (k < 3) — in KonvexesPolygon über EntartetesPolygon abgedeckt.
Entartet.NichtPlanar (mindestens ein Eckpunkt liegt nicht in der Trägerebene) — in KonvexesPolygon als NichtKoplanaresPolygon vorhanden.
Entartet.Nullkante (zwei aufeinanderfolgende Eckpunkte fallen zusammen).
Entartet.Kollinear (drei aufeinanderfolgende Eckpunkte sind kollinear; nur wenn Normalisierung deaktiviert ist).
Entartet.Selbstschnitt (nicht einfach) — in KonvexesPolygon strukturell ausgeschlossen.
Entartet.NichtFinit (ein Eckpunkt enthält NaN/±∞) — in KonvexesPolygon als NichtFinit vorhanden.
Identität / Gleichheit:
gleichZyklisch(other, eps): Gleichheit modulo zyklischer Verschiebung der Eckenfolge.
gleichZyklischOderGespiegelt(other, eps): zusätzlich modulo Umkehrung (Orientierungs-blind).
Standard-equals ist bewusst strikt (gleiche Reihenfolge), um Datenklassen-Verträge nicht zu verletzen.
Abgeleitete Operationen (PolygonOps.kt):
fun kanten(): List<Strecke>.
fun umfang(): Double (mm).
fun flaecheninhalt(): Double (mm², via 3D-Schuhbänderformel).
fun orientierungsVorzeichen(nHat: Vektor): Int ∈ {−1, +1}.
fun mitOrientierung(nHat: Vektor): Polygon (kehrt Eckenfolge um, falls Vorzeichen negativ).
fun enthaeltPunkt(p: Punkt, eps: Double): Boolean (Even- odd-Test in 2D nach Projektion auf die Trägerebene).
fun istKonvex(): Boolean.
fun normalisiert(): Polygon (entfernt kollineare Eck- punkte, vereinheitlicht Orientierung gegen die Trägernormale).

Quellen¶

Primär (normativ):

DIN ISO 80000-2:2022-08, „Größen und Einheiten – Teil 2: Mathematik", Abschnitt 2.
ISO 19107:2019, „Geographic information – Spatial schema", Abschnitt 6.4 (GM_Polygon).

Sekundär:

Bronstein, I. N.; Semendjajew, K. A.; Musiol, G.; Mühlig, H.: Taschenbuch der Mathematik. Kap. 3.1.5 und 3.5.
de Berg, M.; Cheong, O.; van Kreveld, M.; Overmars, M.: Computational Geometry – Algorithms and Applications.
Aufl., Springer 2008.
Preparata, F. P.; Shamos, M. I.: Computational Geometry – An Introduction. Springer 1985.

Korpus (nicht autoritativ):

Wikipedia, Lemma „Polygon" (abgerufen 2026-05-07).

Didaktische Hülle (Subglossar)¶

Polygon (Subglossar)¶

Brücke vom normativen Hauptglossar (hauptglossar/00_ressourcen/hg_polygon.md) zu den stufenweisen Theorie-Inhalten. Hier liegt die didaktische Aufbereitung: das Polygon als sachlich allgegenwärtige, sprachlich fast unsichtbare Form im Holzbau-Korpus; die L-Dach-Grundriss-Skizze als zentrale Lese-Erfahrung; die drei Rollen am Dachgrundriss, am Bauteilprofil und am Schnurgerüst; die direkte Korrespondenz zwischen Polygon-Eckform und Dachausmittlungs-Schnittlinie; sowie die Negativ-Abgrenzung zu Strecke, Streckenzug, Polyeder, Kontur, Fläche und dem Maschinenbau-Stolperstein „Polygonprofil".

Das Polygon hat in der Schnuppi-Stufe keine eigene berufssprachliche Verankerung — das Wort „Polygon" und das mit ihm gemeinte abstrakte Konzept liegen außerhalb der zugänglichen Alltagssprache. Dieser SG-Eintrag setzt deshalb beim Lehrling (Walmdach-Grundriss als „Vieleck mit Ecken und Seiten") an, trägt seinen Schwerpunkt bei Zimmermann (Bauteilkontur, Schnurgerüst) und Meister (Dachausmittlung, konvex/konkav → Grat/Kehle) und überlässt die mathematische Definition dem Hauptglossar (Ingenieur-Stufe).

Was das Polygon im Holzbau ist¶

Ein Polygon ist eine in einer Ebene liegende geschlossene Folge von Strecken — drei oder mehr Eckpunkte, durch Kanten zyklisch verbunden, die einander nicht schneiden, zusammen mit dem von ihnen berandeten Flächenstück. Das ist die geometrische Sache, kurz gesagt: Ecken, Kanten, eine Innenfläche.

Im Holzbau-Korpus tritt das Polygon sachlich überall auf — jeder Dachgrundriss, jeder Sparrenquerschnitt, jede Bauteilkontur, jedes Schnurgerüst am Bauplatz ist geometrisch ein Polygon — und sprachlich fast nirgends. Das Wort „Polygon" wird in der DACH-Berufssprache der Zimmerei nur selten direkt benutzt; der Zimmermann redet von Grundriss, Umriss, Kontur, Profil und Querschnitt. Die Wikipedia-Liste der Fachbegriffe des Zimmererhandwerks führt kein Polygon-Lemma, das Zimmerei-Lexikon (zimmerei-neuss.de) kein Polygon-Stichwort, baubeaver-Dachausmittlung verwendet „Grundriss" durchgängig statt „Polygon".

Das Wort selbst stammt aus altgriechisch polygṓnion (πολύς polýs „viel" + γωνία gōnía „Winkel"), kam über das mittellateinische polygonum im 16. bis 17. Jahrhundert ins Deutsche. Im Holzbau lebt das Polygon-Konzept hinter Rollen-Komposita — Grundriss, Umriss, Kontur, Profil, Querschnitt — und tritt als nacktes Wort nur dort wieder auf, wo die mathematisch-importierte Begriffsschicht direkt verwendet wird: in CAD-Software (Cadwork, Sema, Dietrichs) als interner Datentyp und Werkzeug-Name, in der Vermessungs-Schicht (Schnurgerüst) als Polygonzug, und in Mathematik- und Geometrie-Quellen als Standardbegriff.

Pflicht-Skizze: L-Dach-Grundriss als konkaves Polygon¶

Die folgende Skizze zeigt einen L-förmigen Dachgrundriss in der Draufsicht — ein klassisches Walm-Kehl-Dach über einem L-förmigen Gebäude-Grundriss. Das Grundriss-Polygon hat sechs Eckpunkte, fünf davon ausspringend (konvex) und einer einspringend (konkav). Die Skizze schließt visuell an die Walmdach-Darstellung in sg_ebene.md an: dort wurde der Walmdach-Körper im Schrägriss mit drei Dachebenen gezeigt, hier liegt der Grundriss in der Draufsicht — beide Skizzen zusammen ergeben ein vollständiges Bild der Walm-Kehl-Dach-Geometrie.

Die Welt-Pfeile e_hat_h und e_hat_v unten rechts orientieren die Draufsicht; in der Draufsicht zeigen beide Pfeile in der Welt horizontal — sie spannen die welt-horizontale Grundrissebene auf, auf der das Polygon liegt.

E1 ausspringend · G

E2 ausspringend · G

E3 ausspringend · G

E4 einspringend · K

E5 ausspringend · G

E6 ausspringend · G

G = Grat-Anker (ausspringende Ecke) K = Kehl-Anker (einspringende Ecke)

L-Dach-Grundriss als konkaves Polygon (Draufsicht) Sechs Eckpunkte: fünf ausspringend (Grat-Anker), einer einspringend (Kehl-Anker)

Welt: e_hat_h e_hat_v

Zwei Beobachtungen zur Skizze. Erstens: das Polygon ist geschlossen und einfach — der Streckenzug E1→E2→E3→E4→E5→E6→E1 endet, wo er begonnen hat, und keine zwei Kanten schneiden einander. Das ist die Geometrie-Eigenschaft, die das Polygon vom offenen Streckenzug abgrenzt. Zweitens: die Eckform ist im Polygon nicht einheitlich. Fünf der sechs Ecken sind ausspringend — der Innenwinkel ist kleiner als 180°, das Polygon biegt an dieser Ecke nach innen. Die sechste Ecke, E4 im Innen-Eck des L, ist einspringend — der Innenwinkel ist größer als 180° (hier genau 270°), das Polygon biegt an dieser Ecke nach außen. Polygone mit mindestens einer einspringenden Ecke heißen konkav; Polygone, bei denen alle Ecken ausspringend sind, heißen konvex.

Der einspringende Eckpunkt E4 hat im Holzbau dieselbe Rolle wie der Kerveckpunkt am Sparrenprofil mit Klauenkerve (siehe sg_kerve.md): beide sind einspringende Polygon-Ecken — die eine am Dachgrundriss in der Draufsicht, die andere am Sparrenquerschnitt in der Lotebene. Sie unterscheiden sich nur in der Bauteil-Skala und der Bezugsebene; geometrisch sind sie dieselbe Sache, und beide sind im Holzbau-Alltag der häufigere Fall, nicht der Ausnahme-Fall.

Polygon-Rollen im Holzbau¶

Das Polygon tritt im Holzbau in drei zentralen Rollen auf, die im Berufsalltag jeweils ein eigenes Vokabular tragen:

Rolle	Berufsbegriff	Wo es lebt	Stufe
Dachgrundriss-Polygon	Grundriss, Dachgrundriss, Umriss	Werkplan in der Draufsicht; Eingabe der Dachausmittlung	Lehrling (Brücke), Meister
Bauteilkontur-Polygon	Querschnitt, Profil, Bauteilkontur, Stirnseite	Werkplan-Detail am Bauteil; Sparrenprofil mit Kerve, Pfettenquerschnitt, Plattenwerkstoff-Zuschnitt	Zimmermann
Schnurgerüst-Polygon	Schnurgerüst, Bauachsen, Achspunkte; in der Vermessung: Polygonzug, Polygonpunkt	Bauplatz, Vermessungs-Phase vor dem Aufbau	Zimmermann (Bauplatz), Meister (Vermessungs-Schnittstelle)

Daneben gibt es weitere, weniger zentrale Polygon-Auftrittsorte: der Reissboden der traditionellen Zimmerei trägt eine aufgeschnürte Polygon-Kontur als 1:1-Anriss eines Bauteils (siehe sg_ebene.md zum Reissboden als materialisierter Ebene); die Schiftung bringt Polygone als Schnittfiguren der Dachflächen mit Hilfsebenen hervor (im Korpus „Abgratung", „Auskehlung", „Schnittfigur" — nicht „Polygon"); die Auflagerfläche unter einem Stab oder einer Wandtafel ist als Vertikalprojektion ein Polygon, das in der Standsicherheits-Betrachtung als „Auflagerpolygon" bezeichnet wird (Ingenieur-Schicht, in der DACH-Holzbau-Berufssprache nicht stark verankert).

In allen drei zentralen Rollen ist das Polygon die geometrische Substanz, der Berufsbegriff trägt die Rolle. Wer „Grundriss" sagt, meint geometrisch ein Polygon in einer welt-horizontalen Bezugsebene; wer „Sparrenquerschnitt" sagt, meint ein Polygon in einer rechtwinklig zur Sparrenachse stehenden Schnittebene. Diese Trennung zwischen Substanz und Rolle ist im SG-Eintrag zur Ebene (sg_ebene.md) ausführlicher entfaltet — sie gilt für das Polygon analog.

Konvex und konkav — Grat und Kehle¶

Die Unterscheidung konvex (alle Ecken ausspringend) gegenüber konkav (mindestens eine Ecke einspringend) ist im Holzbau nicht nur eine Form-Klassifikation, sondern hat eine direkte konstruktive Konsequenz am Dachgrundriss-Polygon: bei der Dachausmittlung über einem Grundriss mit gleicher Dachneigung und gleicher Traufhöhe folgen die Schnittlinien der Dachflächen den Winkelhalbierenden der Polygon-Innenwinkel. Daraus ergibt sich die zentrale Korrespondenz:

Ausspringende (konvexe) Polygon-Ecke → Grat. Über einer ausspringenden Ecke des Dachgrundriss-Polygons treffen sich zwei benachbarte Dachflächen in einer Grat-Linie, die nach oben ansteigt und auf den First zuläuft. Jede Ecke E1, E2, E3, E5 und E6 der Pflicht-Skizze trägt einen solchen Grat.
Einspringende (konkave) Polygon-Ecke → Kehle. Über einer einspringenden Ecke treffen sich zwei benachbarte Dachflächen in einer Kehl-Linie, die ebenfalls nach oben ansteigt und auf den First zuläuft. Die Ecke E4 der Pflicht-Skizze trägt eine solche Kehle.

Diese Korrespondenz erklärt, warum konkave Grundrisse im Holzbau der praktische Standard sind: jeder nicht-rechteckige Wohnhaus-Grundriss — L-Form, U-Form, T-Form, freie Grundrisse mit Erker — bringt mindestens eine einspringende Ecke mit, und an jeder einspringenden Ecke entsteht eine Kehle, die statisch (Schubkonzentration, abgehängte Sparrenteile) und bauphysikalisch (Wasserführung, Schneefänger) eine eigene Sorgfalt verlangt. Konvexe Grundrisse — reine Rechtecke, Sechseck-Pavillons, Achteck-Türme — sind im Holzbau der Ausnahme-Fall, nicht der Standard. Das ist eine bemerkenswerte Umkehrung des Schulbuch-Bildes der Geometrie, in dem das konvexe Polygon als Standardform und das konkave als Sonderfall vorgestellt wird.

Eine kleine Übersicht der im Holzbau auftretenden Polygon-Formen:

Polygon-Form	Eckenzahl	Holzbau-Anwendung	Eckform
Rechteck	4	Sattel- oder Walmdach über Rechteck-Grundriss; Pfettenquerschnitt	konvex
Trapez	4	Pultdach-Grundriss; Walmdach-Trapez über trapezförmigem Grundriss	konvex
L-Form	6	Walm-Kehl-Dach über L-Grundriss; ein Grat plus eine Kehle	konkav (eine einspringende Ecke)
U- oder T-Form	8	Walm-Kehl-Dach über U- oder T-Grundriss	konkav (zwei einspringende Ecken)
Sechseck	6	Sechseck-Pavillon, Zelt-/Spitzdach	konvex (oft regelmäßig)
Achteck	8	Achteck-Pavillon, Turm	konvex (oft regelmäßig)
Sparrenprofil mit Klauenkerve	7	Sparrenquerschnitt mit einem Kerveinschnitt	konkav (eine einspringende Ecke am Kerveckpunkt)
Sparrenprofil mit Klauen- und First-Kerve	10	Sparrenquerschnitt mit zwei Kerven (siehe `sg_punkt.md`)	konkav (zwei einspringende Ecken)

Die Korrespondenz konvex/konkav → Grat/Kehle ist im Hauptglossar zum Polygon nicht explizit ausgeführt (die HG-Definition bleibt geometrisch allgemein); sie wird hier als didaktische Beobachtung über den Holzbau-Korpus eingeführt, gestützt durch die einschlägige Dachausmittlungs-Literatur (Wikipedia „Dachausmittlung", baubeaver „Walmdach-Workshop", zimmerin „Dachausmittlung-Einführung").

Was ein Polygon nicht ist¶

Mehrere geometrische und sprachliche Nachbar-Begriffe werden im Holzbau-Alltag mit dem Polygon verwechselt oder vermengt, sind aber nicht identisch.

Strecke. Eine Strecke hat zwei Endpunkte und ist genau ein Segment; das Polygon hat drei oder mehr Eckpunkte und besteht aus drei oder mehr Segmenten, die zyklisch geschlossen sind. Die Strecke ist eine Kante des Polygons, nicht das Polygon selbst.

Streckenzug / Polygonzug. Ein Streckenzug ist eine Folge zusammenhängender Strecken; er kann offen oder geschlossen sein, und er muss nicht einfach sein. Das Polygon ist die geschlossene einfache Spezialisierung samt berandetem Flächenstück. Im Mathematik-Korpus ist „Polygonzug" das Synonym für Streckenzug — mit derselben Allgemeinheit (offen oder geschlossen, einfach oder nicht). Auch das Hauptglossar führt streckenzug als Abgrenzungs-Begriff mit Synonymen „Polygonzug, Polylinie". In der Vermessungs-Schicht (Geodäsie) ist „Polygonzug" hingegen das primäre Wort — eine Folge gemessener Geradenstücke zwischen Polygonpunkten, am Bauplatz als Schnurgerüst materialisiert. Wer am Bauplatz „Polygonzug" hört, hört das Vermessungs-Wort, nicht das Mathematik-Wort; beide Lesarten leben nebeneinander und treffen sich am Schnurgerüst-Polygon.

Polyeder. Ein Polyeder ist ein dreidimensionaler Körper, der von Polygonen als Seitenflächen begrenzt wird — ein Quader, eine Pyramide, ein Walmdach-Hüllvolumen. Das Polygon ist zweidimensional (in einer Ebene liegend); das Polyeder ist dreidimensional (im Raum liegend, mit Volumen). Polygone sind die Bausteine der Polyeder-Berandung.

Kontur. Die Kontur ist im Holzbau ein weicher, beschreibender Begriff für die Begrenzungslinie eines Bauteils. Sie kann polygonal sein (eine Folge von Strecken), sie kann aber auch gekrümmt sein (Bögen, Rundungen, freie Kurven). Das Polygon ist eine rein geradlinige Kontur — sobald Krümmungen auftreten, ist die Kontur kein Polygon mehr.

Fläche. Im Holzbau ist „Fläche" ein bauteilbezogener Begriff (Dachfläche, Wandfläche, Auflagerfläche). Das Polygon kann als Berandung einer Fläche dienen — der Umriss einer Dachfläche ist ein Polygon — oder als Punktmenge mit Inhalt verstanden werden (das berandete Flächenstück gehört zur Polygon-Definition dazu). Beide Lesarten sind im Hauptglossar abgehandelt; im Subglossar genügt der Hinweis, dass „Fläche" das Bauteil-Wort und „Polygon" das Geometrie-Wort ist — sie liegen auf verschiedenen Ebenen.

Vieleck. Im deutschen Mathematik-Korpus sind „Polygon" und „Vieleck" synonym; das Hauptglossar führt „Vieleck" als Synonym im Frontmatter. Im Holzbau-Korpus ist keines der beiden Wörter verbreitet — der Zimmermann sagt weder „Polygon" noch „Vieleck", sondern eines der Rollen-Komposita. Die Form „Mehreck" gilt als abgelehnte Benennung (HG-Frontmatter).

Polygonprofil (Maschinenbau). Das „Polygonprofil" nach DIN 32711 bezeichnet eine Welle-Nabe-Verbindung mit P3G-Querschnitt aus dem Maschinenbau und hat mit dem Holzbau-Polygon nichts zu tun. Es taucht in Suchmaschinen prominent auf und ist deshalb hier als Negativ-Abgrenzung erwähnt — der Holzbau-Werkplan kennt diesen Begriff nicht.

Polygonzug im Schnurgerüst¶

Das Schnurgerüst am Bauplatz spannt vor dem Aufbau die Gebäudekanten als Schnüre zwischen Pfostenkopf-Nägeln auf. Es materialisiert in der Welt-Geometrie ein geschlossenes Polygon der Gebäude- oder Bauachsen-Eckpunkte. In der Vermessungs- Sprache (Geodäsie) heißt diese Folge gemessener Strecken zwischen Eckpunkten ein Polygonzug, die Eckpunkte heißen Polygonpunkte, die geschlossene Variante (Schnurgerüst um ein ganzes Gebäude herum) ein Ringpolygon. Diese Vermessungs-Vokabeln treten am Bauplatz auf, sobald die Vermessungs-Phase berührt wird — der Zimmermann selbst spricht von „Bauachsen" und „Achspunkten", der Vermesser von „Polygonzug" und „Polygonpunkten" (siehe Achspunkt-Skizze in sg_punkt.md für das Schnurgerüst-Bild).

Das ist ein didaktischer Stolperstein: dasselbe geometrische Objekt — eine geschlossene Folge gemessener Strecken — trägt in der Mathematik-, Holzbau- und Vermessungs-Schicht jeweils andere Wörter. Im Hauptglossar wird der mathematische Polygon-Begriff geführt (geschlossen, einfach, mit berandetem Flächenstück); der vermessungs-spezifische Gebrauch („Polygonzug" am Schnurgerüst) ist eine eigenständige Lesart desselben Wort-Stamms und in der DACH-Bauplatz-Praxis fest verankert.

Etymologie und Berufssprache¶

Das Wort Polygon ist ein Lehnwort aus altgriechisch polygṓnion (πολυγώνιον), zusammengesetzt aus polýs „viel" und gōnía „Winkel". Wörtlich also „Vielwinkel" — die deutsche Lehnübersetzung „Vieleck" greift dieselbe Wort-Architektur auf („viel" + „Ecke"). Beide Wörter sind im Mathematik-Korpus gleichwertig, das Hauptglossar führt beide als Synonyme. Der Eintritt ins Deutsche erfolgte über das mittellateinische polygonum ab dem 16. bis 17. Jahrhundert.

Im Holzbau-Korpus ist keines der beiden Wörter Berufs-Standard. Die DACH-Berufssprache hat eigenständige rollenbezogene Komposita ausgebildet — Grundriss, Umriss, Kontur, Profil, Querschnitt — die das Polygon-Konzept in seinen verschiedenen Anwendungs-Rollen tragen. Das nackte Wort „Polygon" tritt nur in drei Schichten auf, in denen es nicht als Holzbau-Berufsbegriff, sondern als importierter Fachbegriff aus einer Nachbar-Disziplin lebt:

CAD-Software-Schicht. Cadwork (Schweiz), Sema (Deutschland) und Dietrichs (Deutschland) führen „Polygon" als internen Datentyp und als Werkzeug-Name in ihrer Bedien-Oberfläche. Cadwork-Manuals sprechen von „polygonaler Linie / Polygon mit Tiefe", Sema-Dokumentation von Grundrissen, die „jede beliebige Form haben können, einschließlich Polygon".
Vermessungs-Schicht. Die Geodäsie führt „Polygonzug" und „Polygonpunkt" als feststehende Fachbegriffe (Wikipedia „Polygonzug (Geodäsie)"); am Bauplatz lebt das Vokabular im Schnurgerüst- und Bauvermessungs-Kontext.
Mathematik-Schicht. Im Geometrie-Lehrbuch und im Berufsschul- Mathematik-Unterricht ist „Polygon" der Standardbegriff für die ebene geschlossene Figur aus drei oder mehr Strecken.

Zwischen Schweiz, Deutschland und Österreich zeigt sich kein nachweisbarer Unterschied: alle drei Länder teilen denselben Befund — das Polygon lebt als mathematischer Importbegriff in CAD- und Vermessungs-Schicht, in der gewachsenen Berufssprache der Zimmerei ist es unsichtbar. Diese Lage ist analog zur Geraden (siehe sg_gerade.md): ein mathematisch-importierter Begriff ohne berufssprachlich gewachsene Wurzeln, der seine konstruktive Verankerung über Rollen-Komposita findet.

Verweise¶

Diese Subglossar-Datei stützt sich auf die folgenden Hauptglossar- Begriffe; bei Detailfragen ist dort die normative Definition zu finden:

hauptglossar/00_ressourcen/hg_polygon.md — das normative Hauptglossar zum Polygon, mit mathematischer Definition als geschlossener einfacher ebener Streckenzug mit k ≥ 3 Eckpunkten samt berandetem Flächenstück, den zwei zulässigen Lesarten (Punktmengen- und Berandungs-Lesart), Wohldefiniertheit, Implementierungshinweis (KonvexesPolygon zuerst, EinfachesPolygon als Folgearbeit) und Quellenliste.
hauptglossar/00_ressourcen/hg_punkt.md, hauptglossar/00_ressourcen/hg_strecke.md, hauptglossar/00_ressourcen/hg_ebene.md — die drei begrifflichen Voraussetzungen des Polygons (Eckpunkte, Kanten, Trägerebene).
hauptglossar/00_ressourcen/hg_streckenzug.md — der Oberbegriff im Mathematik-Korpus (offen oder geschlossen, nicht notwendig einfach); Synonym „Polygonzug" als Negativ-Abgrenzung zum Polygon.
hauptglossar/00_ressourcen/hg_polyeder.md — der dreidimensionale Geschwister- Begriff; Polyeder werden von Polygonen berandet.
hauptglossar/30_holzbau/hg_dachflaeche.md, hauptglossar/00_ressourcen/hg_stirnseite.md, hauptglossar/00_ressourcen/hg_laengsseite.md — Bauteilflächen, deren Berandung jeweils ein Polygon ist (Rollen-Spezialisierungen).
hauptglossar/00_ressourcen/hg_weltkoordinatensystem.md — das Welt- Bezugssystem, gegen das die Trägerebene des Polygons verortet wird (Grundrissebene welt-horizontal, Querschnittsebene rechtwinklig zur Bauteilachse).

Verwandte Subglossar-Einträge:

lerninhalt/subglossar/sg_punkt.md — Polygon-Eckpunkte als benannte Punkte mit Rollen; Achspunkte des Schnurgerüsts als Polygonpunkte.
lerninhalt/subglossar/sg_strecke.md — Polygon-Kanten als Strecken; Bauteilkanten als Polygon-Berandungs-Strecken.
lerninhalt/subglossar/sg_ebene.md — die Trägerebene, in der das Polygon liegt; Grundrissebene und Querschnittsebene als Polygon-Träger.
lerninhalt/subglossar/sg_kerve.md — der Kerveckpunkt als einspringende Polygon-Ecke am Sparrenquerschnitt, in geometrischer Parallele zur einspringenden Ecke E4 des L-Dach-Grundrisses dieser Skizze.
Folgearbeit: sg_dachflaeche, sg_polyeder, sg_streckenzug.

Quelle herunterladen¶

Markdown Plain Text BibTeX