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Koordinatensystem

Prosa-Definition

Ein Koordinatensystem ist eine mathematische Festlegung über einem affinen Raum, bestehend aus einem ausgezeichneten Ursprung, einer geordneten Familie von Basis-Elementen, einer Dimension und einer bijektiven Zuordnungs-Regel, die jedem Punkt des Raumes eindeutig ein Tupel reeller Zahlen — seine Koordinaten — zuweist.

Mathematische Definition

Sei

  • 𝔸 ein reeller affiner Raum endlicher Dimension n ∈ ℕ_{>0} mit zugehörigem Vektorraum V,
  • O ∈ 𝔸 ein Ursprung,
  • B = (b_1, …, b_n) eine geordnete Basis von V (linear unabhängige n-elementige Familie aus V, die V erzeugt),
  • η : 𝔸 → ℝⁿ die Koordinatenabbildung 
    η(p) = (x_1, …, x_n)  ⇔  p = O + x_1·b_1 + … + x_n·b_n.

Dann ist ein Koordinatensystem auf 𝔸 das Tupel

K := (O, B, n, η).

η heisst die durch (O, B) erzeugte Koordinatenabbildung.

Optionale Spezialisierungen

Die folgenden Eigenschaften sind keine Bestandteile der Definition, sondern beweisbare Zusatzmerkmale, die ein konkretes Koordinatensystem tragen kann oder nicht:

  • Orthogonalität: für i ≠ j gilt ⟨b_i, b_j⟩ = 0 (paarweise rechtwinklige Basis-Vektoren).
  • Orthonormalität: zusätzlich ‖b_i‖ = 1 für alle i. Ein orthonormales System heisst kartesisch.
  • Rechtshändigkeit (nur für n = 3 sinnvoll): b_1 × b_2 = b_3, gleichwertig det(b_1 | b_2 | b_3) = +1.
  • Längeneinheit: eine Festlegung, in welcher Einheit die Koordinaten zu interpretieren sind (z. B. mm, m).
  • Winkelkonvention: eine Festlegung der Drehsinn-Richtung für Winkel um ausgezeichnete Basis-Vektoren (z. B. gegen den Uhrzeigersinn um b_3, in Radiant).

Welche dieser Spezialisierungen ein konkretes Koordinatensystem trägt, wird in seinem eigenen Glossareintrag normativ festgelegt (siehe hg_weltkoordinatensystem.md, hg_lokales_koordinatensystem.md).

Wohldefiniertheit

  • Existenz: Zu jedem endlich-dimensionalen reellen affinen Raum 𝔸 mit zugehörigem Vektorraum V existiert mindestens ein Koordinatensystem — wähle ein beliebiges O ∈ 𝔸 und eine beliebige Basis B von V. Die Existenz einer Basis folgt aus dem Basisexistenzsatz der linearen Algebra für endlich-dimensionale Vektorräume.
  • Eindeutigkeit von η bei gegebenem (O, B): Die Koordinatenabbildung η ist durch (O, B) eindeutig bestimmt, weil jeder Punkt p ∈ 𝔸 sich gemäss dem affinen Raum-Axiom eindeutig als p = O + v mit v ∈ V darstellen lässt und v in der Basis B eindeutig in Komponenten zerfällt.
  • Bijektivität von η: η ist bijektiv. Surjektivität folgt aus der Konstruktion η⁻¹(x_1, …, x_n) := O + x_1·b_1 + … + x_n·b_n. Injektivität folgt aus der eindeutigen Basisdarstellung in V.
  • Unabhängigkeit der Operationen von der Wahl des Repräsentanten: Bei festgelegtem (O, B) ist η eine Bijektion, und alle abgeleiteten Operationen (Differenz, Norm sofern V ein Skalarprodukt trägt, lineare Kombination) sind unter η wohldefiniert. Die Wohldefiniertheit von Operationen, die ein Skalarprodukt voraussetzen (Winkel, Orthogonalität), benötigt zusätzlich die Festlegung eines Skalarprodukts auf V; sie ist dann trivial.
  • Nicht-Zirkularität: Die Definition stützt sich auf den affinen Raum (in den Voraussetzungen punkt als Element von 𝔸 etabliert) und den Vektorraum V (in den Voraussetzungen vektor als Element von V etabliert) sowie auf die linear- algebraischen Begriffe „Basis" und „Koordinatenabbildung", die rein durch die affine und Vektorraum-Struktur gegeben sind. Das Koordinatensystem selbst kommt in seiner Definition nicht vor.

Erläuterung (nicht normativ)

Ein Koordinatensystem ist die mathematische Brücke zwischen geometrischen Objekten (Punkten im Raum, gerichteten Verschiebungen) und Zahlentupeln, mit denen sich rechnen lässt. Ohne ein gewähltes Koordinatensystem hat ein Punkt keine „Koordinaten"; er ist nur ein Element eines affinen Raumes.

Im Holzbau-Kontext der App treten zwei konkrete Koordinatensysteme auf, die beide eine kartesische, rechtshändige, 3-dimensionale Spezialisierung des Oberbegriffs sind:

  • das Weltkoordinatensystem als eindeutiges globales Bezugs-System mit fester Ost/Nord/Zenit-Zuordnung;
  • ein lokales Koordinatensystem pro Bauteil oder Konstruktionsteil, das durch eine starre Transformation auf das Weltkoordinatensystem bezogen ist.

Künftige Sub-Einträge können weitere Spezialisierungen tragen: LV95 (kartesisch projiziert, geo-verankert, in Metern) und WGS84 (ellipsoidisch, geo-verankert). Beide passen unter den hier definierten Oberbegriff, ohne dass dessen Definition geändert werden muss.

Bezugssystem — bewusste Abgrenzung

Der deutschsprachige Begriff „Bezugssystem" ist über die Fachgebiete mehrdeutig (siehe quellenkonflikt: Konflikt 1): geodätisch bezeichnet er die physische Erd-Verankerung (Bezugssystem ⊃ Koordinatensystem); physikalisch den Bewegungszustand des Beobachters; im Maschinenbau (ISO 5459) die Bauteil-Aufspann-Konfiguration; in der affinen Geometrie ist er synonym zu „Koordinatensystem". Die App verwendet ihn deshalb nicht als Hauptbenennung und nicht als Synonym; sie führt stattdessen „Koordinatensystem" als mathematischen Begriff und trägt die geodätische bzw. operative Verankerung über die Spezialisierungen weltkoordinatensystem (Ost/Nord/Zenit) und lokales_koordinatensystem (Bauteil-Platzierung).

Beziehungen

  • Oberbegriff: keiner. „Koordinatensystem" ist im Glossar selbst der Wurzel-Begriff für die Familie aller Bezugs-Festlegungen über einem affinen Raum.
  • Spezialisierungen (im Glossar verankert):
  • Weltkoordinatensystem (hg_weltkoordinatensystem.md): eindeutige rechtshändige kartesische 3-dimensionale Spezialisierung mit fester geographischer Einbettung (e_x = Ost, e_y = Nord, e_z = Zenit), Längen in mm, Winkel um e_z in Radiant ab +x gegen den Uhrzeigersinn.
  • Lokales Koordinatensystem (hg_lokales_koordinatensystem.md): bauteileigene rechtshändige kartesische 3-dimensionale Spezialisierung, die durch eine starre Transformation T ∈ SE(3) auf das Weltkoordinatensystem bezogen ist.
  • Spezialisierungen (Folgearbeit, Forward-Verweise):
  • LV95 (lv95.md, geplant): kartesisch projizierte 2-dimensionale Spezialisierung des Schweizer Landeskoordinatensystems, Längen in Metern.
  • WGS84 (wgs84.md, geplant): ellipsoidische Spezialisierung; Koordinaten sind geographische Länge, geographische Breite und ellipsoidische Höhe.
  • Abgrenzung:
  • Bezugssystem (Korpus-Begriff ohne eigenen Eintrag): deutschsprachiger Begriff mit drei inkompatiblen Lesarten (geodätisch, physikalisch, maschinenbau-tolerierungstechnisch); in der App nicht als Synonym verwendet, weil die Mehrdeutigkeit nicht durch eine einzelne Quelle aufgelöst werden kann (siehe quellenkonflikt: Konflikt 1).
  • Weltkoordinatensystem / Lokales Koordinatensystem: konkrete kartesische Spezialisierungen des Oberbegriffs in der App-Domäne; sie tragen die App-internen Festlegungen (rechtshändig, kartesisch, mm, Radiant), die der Oberbegriff bewusst offen lässt.
  • Punkt (hg_punkt.md): Element des affinen Raumes 𝔸; ein Koordinatensystem ordnet einem Punkt sein Koordinatentupel zu, ist aber selbst kein Punkt.
  • Vektor (hg_vektor.md): Element des zugehörigen Vektorraumes V; die Basis B eines Koordinatensystems besteht aus Vektoren, das Koordinatensystem selbst ist aber kein Vektor.
  • Achse (hg_achse.md): ausgezeichnete Gerade durch den Ursprung mit ausgezeichneter Richtung. Eine Achse eines Koordinatensystems wird durch (O, b_i) festgelegt; ein Koordinatensystem hat n Achsen, ist aber selbst keine Achse.

Implementierungshinweis

Der Oberbegriff koordinatensystem ist als hilfsbegriff gekennzeichnet (HG-Konvention §3, Tabelle Code-Pendant-Pflicht); er muss kein eigenes Code-Pendant in der Domänen-Schicht tragen. In der aktuellen Implementierung existieren ausschliesslich Pendants für die kartesischen 3-dimensionalen Spezialisierungen:

  • zimmermann.domain.koordinaten.Weltkoordinatensystem — Singleton (Kotlin-object) für die globale Festlegung.
  • zimmermann.domain.koordinaten.LokalePlatzierung und zimmermann.domain.koordinaten.Rotation — data class-Familie für bauteileigene Lokalsysteme als starre Transformation T ∈ SE(3) relativ zum Weltsystem.

Eine gemeinsame abstrakte Basisklasse oder ein sealed interface über beiden Spezialisierungen ist nicht vorgesehen: die strukturellen Unterschiede zwischen Singleton (Welt) und data-class-Familie (Lokal) sind so gross, dass eine gemeinsame Schnittstelle keine sinnvolle Abstraktion trägt; die fachsprachliche Familienzugehörigkeit reicht aus.

Trigger-basierte Folgearbeit:

  • lv95-Eintrag anlegen, sobald die App eine Georeferenzierung gegen den Schweizer Bezugsrahmen LV95 vornimmt. Das Code-Pendant ist eine reine Importrand-Operation (Welt-Ursprungs-Anker mit (E, N, H) in Metern), nicht eine eigene Domänen-Klasse.
  • wgs84-Eintrag analog für GNSS-Importschnittstellen.
  • bezugssystem-Eintrag nicht geplant: der Begriff ist im Holzbau-Korpus nicht etabliert und in den angrenzenden Korpora mehrdeutig (siehe quellenkonflikt: Konflikt 1). Sollte die App eine geodätische Schicht (CRS = CS + Datum) brauchen, würde sie über lv95 und wgs84 als konkrete CRS-Pendants realisiert, nicht über einen abstrakten bezugssystem-Eintrag.

Quellen

Primär (normativ):

  • ISO 19111:2019, „Geographic information — Referencing by coordinates", Abschnitt 3.1.13 und Abschnitt 7.
  • DIN ISO 80000-2:2022-08, „Größen und Einheiten – Teil 2: Mathematik".
  • ISO 80000-2:2019, Symbole und Bezeichnungen für Koordinaten- systeme.
  • DIN EN ISO 80000-3:2020-12, „Größen und Einheiten – Teil 3: Raum und Zeit".

Sekundär:

  • Bronstein, I. N. et al.: Taschenbuch der Mathematik. Kap. 3.5 „Analytische Geometrie des Raumes".
  • Berger, M.: Geometry I. Springer 1987, §2 „Affine spaces".
  • Encyclopedia of Mathematics: „Affine coordinate system".
  • OGC 18-005r4 (2019), „Geographic information — Well-known text representation of coordinate reference systems".
  • ISO 10303-42:2022, „Industrial automation systems and integration — Product data representation and exchange — Part 42", Entität axis2_placement_3d.
  • ISO 16739-1:2024 (IFC 4.3), „Industry Foundation Classes", IfcAxis2Placement3D, IfcGeometricRepresentationContext.
  • swisstopo: „Bezugssystem — Basis für Koordinaten", „Bezugsrahmen — das Bezugssystem wird physisch fassbar".
  • EN ISO 5459:2011 / 5459:2024, „Geometrische Produktspezifikation (GPS) – Bezüge und Bezugssysteme".

Nur in der Abgrenzung referenziert (nicht als Definitionsquelle):

  • de.wikipedia.org, Lemma „Bezugssystem" — Physik-Lesart (Bewegungszustand des Beobachters), abgerufen 2026-05-14.

Korpus (nicht autoritativ):

  • Wikipedia (de/en), Lemmata „Koordinatensystem", „Kartesisches Koordinatensystem", „Affine Koordinaten", „Krummlinige Koordinaten", „Affine space" (abgerufen 2026-05-14).
  • Recherche-Bericht docs/recherche/2026-05-14_hg_koordinatensystem.md.

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