Lotebene

Prosa-Definition¶

Eine Lotebene eines Stabbauteils ist ein Senkel, der die Bauteilachse enthält — also die welt-vertikale Ebene durch die Bauteil-Längsachse.

Mathematische Definition¶

Sei

W das Welt-Koordinatensystem (siehe weltkoordinatensystem) mit Einheitsvektoren e_hat_x^welt, e_hat_y^welt, e_hat_z^welt, wobei e_hat_z^welt vertikal nach oben zeigt und die Welt-Lotachsen- Richtung trägt,
B ein Stabbauteil im Sinne von bauteil mit geometrie ∈ 𝒢_stab und einer geraden, prismatischen Bauteilachse,
A_B = [p_a, p_e] ⊂ ℝ³ die Bauteilachse von B im Sinne von bauteilachse, repräsentiert durch Anfangspunkt p_a, Endpunkt p_e und Richtungs-Einheitsvektor d_hat_B := (p_e − p_a) / ‖p_e − p_a‖ ∈ S²,
O_B ∈ A_B ein beliebiger Punkt der Bauteilachse (z. B. p_a oder der Bauteil-Ursprung der lokalen Platzierung),
E ⊂ ℝ³ eine Ebene im Sinne von ebene, repräsentiert in Hesse-Normalform durch das Paar (n_hat, d) ∈ S² × ℝ,
ε_K := Toleranzen.KOLLINEAR_EPS die einschlägige dimensionslose Toleranzkonstante für Skalarprodukt-basierte Lage-Tests (siehe toleranzen),
ε_L := Toleranzen.LAENGE_EPS die Längen-Toleranzkonstante für die Achsen-Inzidenz-Prüfung.

Voraussetzung (nicht-vertikale Bauteilachse):

| ⟨ d_hat_B, e_hat_z^welt ⟩ |  ≤  1 − ε_K.                                (V)

Bedingung (V) sichert, dass die Bauteilachse nicht parallel zur Welt-Lotachse ist; siehe Wohldefiniertheit unten zum Sonderfall welt-vertikaler Bauteilachse.

Dann gilt E ist Lotebene von B genau dann, wenn beide Bedingungen erfüllt sind:

(L1)  E ist Senkel:        | ⟨ n_hat, e_hat_z^welt ⟩ |  ≤  ε_K.
(L2)  A_B ⊂ E:             dist(p_a, E)  ≤  ε_L  ∧  dist(p_e, E)  ≤  ε_L.

Dabei bezeichnet dist(q, E) := |⟨n_hat, q⟩ − d| den vorzeichenlosen Punkt-Ebenen-Abstand (siehe ebene).

Konstruktive Form (Punkt-Normale-Repräsentation): Unter der Voraussetzung (V) ist die Lotebene Π_⊥(B) eindeutig festgelegt durch

Π_⊥(B)  :=  { O_B  +  s · e_hat_z^welt  +  t · d_hat_B  |  s, t ∈ ℝ }    (1)

mit Stützpunkt O_B ∈ A_B und aufspannenden Richtungen e_hat_z^welt und d_hat_B. Äquivalente Hesse-Repräsentation: Normaleneinheitsvektor

n_hat_Π  :=  (e_hat_z^welt × d_hat_B) / ‖e_hat_z^welt × d_hat_B‖                    (2)

und Stützabstand d_Π := ⟨n_hat_Π, O_B⟩, also

Π_⊥(B)  =  { q ∈ ℝ³ |  ⟨n_hat_Π, q⟩  =  d_Π }.                        (3)

Der Nenner ‖e_hat_z^welt × d_hat_B‖ = sin∠(e_hat_z^welt, d_hat_B) ist unter (V) bis auf höchstens ε_K von null verschieden, sodass n_hat_Π wohldefiniert ist.

Wohldefiniertheit¶

Existenz und Eindeutigkeit unter (V): Sind d_hat_B und e_hat_z^welt linear unabhängig (Bedingung (V)), so spannen sie einen zweidimensionalen Unterraum von ℝ³ auf. Die affine Ebene durch O_B mit diesem Richtungsraum ist eindeutig; sie enthält A_B (weil d_hat_B im Richtungsraum liegt) und ist ein Senkel (weil e_hat_z^welt im Richtungsraum liegt, also rechtwinklig zur Normale n_hat_Π = e_hat_z^welt × d_hat_B steht). Umgekehrt: jede Ebene, die A_B enthält und Senkel ist, muss e_hat_z^welt als Tangentialrichtung enthalten (Senkel-Bedingung) und d_hat_B (Achsen-Inzidenz) — damit ist sie gleich (1).
Unabhängigkeit vom Stützpunkt O_B: Die Konstruktion (1) hängt scheinbar vom gewählten Punkt O_B ∈ A_B ab. Tatsächlich ist jedes O_B' ∈ A_B von der Form O_B' = O_B + λ · d_hat_B für ein λ ∈ ℝ; die Ebene durch O_B' mit denselben Richtungen e_hat_z^welt und d_hat_B ist dieselbe Punktmenge (die Translation bleibt im Richtungsraum). Die Definition ist damit von der Wahl von O_B unabhängig.
Vorzeichen-Invarianz der Normale: n_hat_Π in (2) ist nur bis auf Vorzeichen festgelegt (Wahl der Reihenfolge im Kreuzprodukt oder Wahl der Orientierung von d_hat_B). Beide Vorzeichen liefern dieselbe Ebene Π_⊥(B); die Senkel-Bedingung (L1) ist eine Betragsbedingung und damit vorzeichen-invariant (siehe hg_senkel.md Wohldefiniertheit).
Sonderfall welt-vertikale Bauteilachse (Singularität): Ist Bedingung (V) verletzt — also d_hat_B parallel oder antiparallel zu e_hat_z^welt (typisch für eine welt-vertikale Stütze) —, dann ist e_hat_z^welt × d_hat_B = 0 und die Konstruktion (2) bricht zusammen. Geometrisch: in diesem Fall ist jede Ebene, die A_B enthält, automatisch ein Senkel (weil die Achse selbst parallel zur Lotachse verläuft); die Lotebene-Bedingungen (L1) und (L2) sind dann von einer ganzen einparametrigen Schar von Ebenen erfüllt, und Π_⊥(B) ist nicht eindeutig festgelegt. Die Lotebene ist in diesem Fall undefiniert; Anwendungs-Code muss diese Singularität explizit behandeln (siehe Implementierungshinweis).
Existenz im Toleranz-Grenzbereich: Wird (V) gerade noch erfüllt (|⟨d_hat_B, e_hat_z^welt⟩| nahe an 1 − ε_K), so ist n_hat_Π zwar wohldefiniert, aber die numerische Konditionierung des Kreuzprodukts wird schlecht. Praktisch betroffen sind nur Bauteile mit Einbau-Neigung sehr nahe 90° gegen die Horizontale (steiler als ca. arccos(ε_K)). Für den App-Default ε_K = 10⁻⁹ entspricht das einer Neigungs- Reststrecke unterhalb 5,73·10⁻⁸ Grad und liegt damit weit jenseits jeder praktischen Holzbau-Geometrie.
Konsistenz mit (L1) ∧ (L2): Die konstruktive Form (1) und die Prädikat-Form (L1) ∧ (L2) beschreiben unter Voraussetzung (V) dieselbe Ebene. Beweis: (1) erfüllt (L1) (weil n_hat_Π rechtwinklig zu e_hat_z^welt steht, siehe (2)) und (L2) (weil p_a = O_B + λ_a · d_hat_B mit λ_a ∈ ℝ in (1) liegt, analog p_e). Umgekehrt: jede Ebene, die (L1) und (L2) erfüllt, enthält d_hat_B (über (L2)) und e_hat_z^welt als Tangentialrichtung (über (L1)) — damit ist sie durch O_B und das Richtungspaar (d_hat_B, e_hat_z^welt) eindeutig festgelegt und gleich (1).
Nicht-Zirkularität: Die Definition stützt sich nur auf bereits definierte Begriffe (senkel, ebene, bauteilachse, weltkoordinatensystem, einheitsvektor, toleranzen). Sie kommt nicht in ihrer eigenen Definition vor und verweist nicht auf bleischnitt als Voraussetzung, sondern nur in der Abgrenzung.

Erläuterung (nicht normativ)¶

Hinweis zur Theorie-Pflicht¶

subglossar_pendant: optional (Abweichung vom Normalfall notwendig, HG_KONVENTIONEN.md §7) ist hier bewusst gewählt: die Lotebene ist eine konstruierte Hilfsebene ohne eigenständigen Stufen-Inhalt für die Lehrlings-Stufen; der bedeutungstragende didaktische Stoff liegt bei den Geschwistern senkel und bleischnitt (beide notwendig), von denen die Lotebene strukturell als Ebenen-Klassifikation abgeleitet ist.

Etymologie und Wortgebrauch¶

Der Wortteil „Lot" verweist im DACH-Holzbau-Korpus durchgängig auf das klassische Zimmermanns-Werkzeug (Bleigewicht an einer Schnur, das per Schwerkraft die welt-vertikale Richtung markiert). Die Lotebene ist die Ebene, die das Lot enthält — sie schneidet eine ideal aufgehängte Lotschnur durchgehend (nicht in einem einzelnen Punkt). Eine Lotebene durch ein geneigtes Stabbauteil enthält darüber hinaus die Bauteilachse und bildet damit die natürliche Bezugs-Vertikalebene zur Beschreibung von Bauteil-Schnittflächen, die welt-bezogene Ausrichtung tragen.

Der Begriff ist im Holzbau-Korpus nicht als stehender Fachbegriff belegt (Recherche-Bericht docs/recherche/2026-05-14_hg_lotebene.md); er wird in diesem Glossar in Analogie zu senkel und bleischnitt eingeführt und ist konsistent mit dem geodätisch-astronomischen Sprachgebrauch (Wikipedia „Lotrichtung", „Vertikalkreis"). Die abgelehnten Synonyme „vertikale Schnittebene" und „vertical plane" sind unspezifisch (keine Achsen-Bindung); „Vertikalebene" ist im geodätischen Sprachgebrauch ohne Achsen-Bindung etabliert und wird daher hier nicht als Hauptbenennung gewählt, kann aber in der Erläuterung verwendet werden.

Verwendung im Holzbau¶

Lotebenen treten als geometrischer Bezug an mehreren Stellen auf:

Kerv-Geometrie eines Sparrens (siehe hg_kerve.md, Gleichungen (0)–(4)): die Lotebene Π_⊥(B) ist die Bezugsebene für die Definition der Kerv-Eckpunkte C, P, A und der welt- aligned Hilfsrichtungen e_hat_h (welt-horizontal in der Lotebene) und e_hat_v = e_hat_z^welt (welt-vertikal). Die welt-Ausrichtung der Schnittflächen (Sohlenebene als Bleischnitt, Senkelebene als Senkel) wird relativ zur Lotebene formuliert.
Werkplan-Aufriss eines Stabbauteils: der traditionelle Aufriss eines geneigten Sparrens wird auf die Lotebene des Sparrens projiziert; die im Aufriss sichtbare Bauteilkontur ist die Schnittlinie der Bauteilhülle mit der Lotebene.
Falllinien-Konstruktion an einer Dachfläche: die Falllinie durch einen Punkt der Dachfläche liegt in der Lotebene durch diesen Punkt und die Dachflächen-Normale (in Analogie zur Bauteilachsen-Konstruktion hier, siehe hg_falllinie.md).

Beziehung zu Senkel und Bleischnitt¶

Die drei Lot-bezogenen Ebenen-Klassen des Glossars stehen in folgender struktureller Beziehung:

Begriff	Bedingung an die Ebene
`senkel`	Normalenvektor rechtwinklig zur Welt-Lotachse: \|⟨n_hat, e_hat_z^welt⟩\| ≤ ε_K
`bleischnitt`	Normalenvektor parallel zur Welt-Lotachse: \|⟨n_hat, e_hat_z^welt⟩\| ≥ 1 − ε_K
`lotebene` eines Bauteils B	ist Senkel und enthält die Bauteilachse A_B

Jede Lotebene ist also ein Senkel; nicht jeder Senkel ist eine Lotebene (der Senkel sagt nichts über die enthaltene Bauteilachse). Lotebene und Bleischnitt sind unter Voraussetzung (V) disjunkt (eine Ebene kann nicht gleichzeitig Senkel und Bleischnitt sein, siehe hg_senkel.md Wohldefiniertheit).

Abgrenzung zur mathematischen Lotebene¶

Der Begriff „Lotebene" ist im Schul- und Hochschul-Mathematik- Kanon abweichend besetzt: dort bezeichnet er die Ebene rechtwinklig zu einer Geraden (Normalenvektor = Richtungsvektor der Geraden). Bei geneigter Bauteilachse fallen die beiden Lesarten auseinander:

Mathematische Lotebene zur Sparrenachse (nicht im Glossar geführt): Normale parallel zu d_hat_B, also rechtwinklig zur Sparrenachse — eine vom Sparren determinierte schiefe Ebene; weder Senkel noch Bleischnitt.
Lotebene im Sinne dieses Eintrags (geodätisch): Senkel durch die Sparrenachse — welt-vertikal, aber im allgemeinen nicht rechtwinklig zur Sparrenachse.

Die beiden fallen genau dann zusammen, wenn die Bauteilachse welt-horizontal ist (d_hat_B rechtwinklig zu e_hat_z^welt). Siehe quellenkonflikt-Block.

Toleranz in der Praxis¶

Die Singularitätsbedingung (V) ist mit KOLLINEAR_EPS = 10⁻⁹ extrem scharf und filtert nur exakt-vertikale Bauteilachsen. Praktisch entscheidet die Anwendungs-Schicht, wie streng die Vertikalitäts-Klassifikation eines Bauteils erfolgt — eine Stütze mit Einbau-Neigung 0,01° gegen die Vertikale ist nach (V) zwar formal nicht singulär, ihr Lotebene-Konstruktor ist aber numerisch schlecht konditioniert. Die App führt für Stützen-artige Bauteile keine Lotebene; sie ist für Stabbauteile mit deutlich geneigter Achse (Sparren) gedacht.

Beziehungen¶

Oberbegriff: senkel. Eine Lotebene ist ein Senkel mit zusätzlicher Inzidenz-Bedingung gegen die Bauteilachse.
Spezialisierungen: keine eigenständigen Glossar- Spezialisierungen. Konkrete Anwendungen (Kerv-Bezugsebene, Sparren-Aufrissebene) sind keine eigenen Begriffe, sondern Verwendungen.
Bestandteile:
Trägerebene (geerbt von senkel und letztlich ebene): die Punktmenge im Welt-Koordinatensystem.
Bauteilachsen-Inzidenz (zusätzlich gegenüber senkel): die enthaltene Bauteilachse A_B als Identifikations-Anker.
Verwendung:
Kerv-Geometrie in hg_kerve.md: Π_⊥(B) als Bezugsebene für die Kerv-Eckpunkte und die welt-aligned Hilfsrichtungen e_hat_h, e_hat_v.
Werkplan-Aufriss eines Sparrens (Folgearbeit).
Falllinien-Konstruktion an Dachflächen (Folgearbeit).
Abgrenzung:
Senkel (senkel): Oberbegriff. Jede Lotebene ist ein Senkel, aber nicht jeder Senkel ist eine Lotebene — der Senkel-Begriff trägt keine Achsen-Inzidenz-Bedingung.
Bleischnitt (bleischnitt): geometrisch komplementäre Lot-Lage-Klasse (Ebene rechtwinklig zur Welt-Lotachse). Eine Lotebene ist unter Voraussetzung (V) niemals ein Bleischnitt.
Ebene (ebene): allgemeines geometrisches Primitiv ohne Lot- oder Achsen-Bezug. Lotebene ist eine Spezialisierung mit zwei Lage-Bedingungen.
Bauteilachse (bauteilachse): die Trägerachse der Inzidenz-Bedingung. Die Bauteilachse ist eine eindimensionale Punktmenge in ℝ³, die Lotebene eine zweidimensionale; die Lotebene enthält die Bauteilachse als Untermenge.
Bezugsebene (bezugsebene): tool-eigene Höhenreferenz mit zusätzlicher Bezugsrolle. Eine Bezugsebene im Standardfall ist ein Bleischnitt (horizontal), eine Lotebene ist es nicht; die beiden Begriffe sind orthogonale Spezialisierungen.
Dachfläche (dachflaeche): geneigte Berandungsfläche. Eine Dachfläche ist im Regelfall weder Senkel noch Lotebene; nur im Grenzfall Dachneigung = 90° wäre sie ein Senkel (aber im allgemeinen keine Lotebene eines bestimmten Sparrens).
Welt-Koordinatensystem (weltkoordinatensystem): legt die Welt-Lotachse e_hat_z^welt fest, gegen die die Senkel- Bedingung (L1) formuliert ist. Ohne Welt-Koordinatensystem ist die Lotebene nicht definiert.

Implementierungshinweis¶

Kein eigener Code-Typ. Lotebene wird in der Domänen-Schicht als Konstruktor-Funktion auf einem Stabbauteil realisiert, die eine Ebene zurückliefert (analog zur senkel/bleischnitt- Prädikat-Form, aber mit Konstruktor-Charakter wegen der Achsen-Inzidenz-Bedingung). Die Funktion ist ein Resultat-Typ, weil sie bei welt-vertikaler Bauteilachse undefiniert ist:

package domain.geometrie

import domain.Toleranzen
import domain.bauteil.Bauteil
import kotlin.math.abs

/**
 * Lotebene eines Stabbauteils: die welt-vertikale Ebene, die
 * die Bauteilachse enthält.
 *
 * Konstruktion (siehe hg_lotebene.md Gl. (1)–(3)):
 *
 *   n_hat_Π = (e_hat_z^welt × d_hat_B) / ‖e_hat_z^welt × d_hat_B‖,
 *   d_Π = ⟨n_hat_Π, O_B⟩.
 *
 * Singularität: Bei welt-vertikaler Bauteilachse
 * (|⟨d_hat_B, e_hat_z^welt⟩| > 1 − KOLLINEAR_EPS) ist die Lotebene
 * **nicht eindeutig** — der Konstruktor liefert dann
 * `Lotebene.AchseVertikal`.
 *
 * Glossar: hg_lotebene.md (Spezialisierung von hg_senkel.md
 * mit zusätzlicher Bauteilachsen-Inzidenz).
 */
sealed class LotebeneResultat {
    data class Ebene(val ebene: domain.geometrie.Ebene) : LotebeneResultat()
    data object AchseVertikal : LotebeneResultat()
}

fun Bauteil.lotebene(
    eps: Double = Toleranzen.KOLLINEAR_EPS
): LotebeneResultat {
    val d = this.achse.richtungEinheit()        // d_hat_B
    val ez = WeltKoordinatensystem.eZ            // e_hat_z^welt
    val cos = abs(d.skalar(ez))                  // |⟨d_hat_B, e_hat_z^welt⟩|
    if (cos > 1.0 - eps) return LotebeneResultat.AchseVertikal
    val n = ez.kreuz(d).normiert()               // n_hat_Π
    val o = this.achse.anfangspunkt()            // O_B
    return LotebeneResultat.Ebene(
        domain.geometrie.Ebene.ausPunktUndNormale(o, n)
    )
}

Einheit: keine direkte Einheit; die Lotebene ist eine Ebene im Welt-Koordinatensystem (Längeneinheit der Stützabstände in mm, geerbt von ebene).
Identität: keine eigene Identität; die Lotebene wird aus dem Bauteil abgeleitet und trägt keine eigene UUID. Mehrfache Aufrufe von bauteil.lotebene() liefern dieselbe Ebene (modulo Vorzeichen der Normale).
Toleranz: KOLLINEAR_EPS für die Singularitätsbedingung (V). Die Inzidenz-Prüfung (L2) verwendet LAENGE_EPS für die Endpunkt-Abstände — relevant, wenn eine vorgegebene Ebene als Lotebene-Kandidat klassifiziert werden soll (Prädikatlesart, hier nicht primär implementiert).
Edge Cases:
Welt-vertikale Stütze (Stützen-artiges Bauteil mit d_hat_B = ±e_hat_z^welt): Konstruktor liefert LotebeneResultat.AchseVertikal; aufrufender Code muss den Fall behandeln (z. B. Lotebene durch zusätzliche Konvention festlegen oder Geometrie-Pfad abbrechen).
Bauteil mit gekrümmter Achse: nicht im Scope des Konstruktors; die Lotebene ist für Stabbauteile mit gerader Achse definiert. Für gekrümmte Achsen müsste die Lotebene punktweise (pro Achsen-Parameter s) konstruiert werden; Folgearbeit-Trigger.
Numerische Konditionierung nahe der Singularität: bei |⟨d_hat_B, e_hat_z^welt⟩| nahe 1 − ε_K wird das Kreuzprodukt kurz und n_hat_Π ungenau; in der Praxis irrelevant, weil diese Konfiguration weit jenseits realer Sparren-Neigungen liegt.

Folgearbeit (trigger-basiert):

vertikalebene als allgemeinerer Geschwister-Begriff (Senkel ohne Achsen-Inzidenz, im Sprachgebrauch der Geodäsie/Astronomie): nicht im aktuellen Tool-Bedarf; Trigger: erstes Tool, das eine welt-vertikale Ebene ohne Bauteilachsen-Bindung als eigenständiges Objekt benötigt. Bis dahin reicht senkel als Oberbegriff.
Vereinheitlichung mit hg_sparren.md L182: dort wird „Vertikalebene" einmal informell verwendet; bei nächster substanzieller hg_sparren.md-Überarbeitung in „Lotebene" angleichen oder explizit als Synonym führen.
Lotebene für gekrümmte Bauteilachsen: punktweise Konstruktion entlang der natürlichen Achsen-Parametrisierung. Trigger: erstes Tool mit gekrümmten Bauteilen (BSH-Bögen, gekrümmte Brettschichtholz-Träger).
falllinie-Cross-Verweis: die Falllinie einer Dachfläche durch einen Punkt liegt in einer Lotebene durch diesen Punkt und die Dachflächen-Normale; Strukturparallele zur Bauteilachsen-Konstruktion hier. Trigger: bei nächster substanzieller hg_falllinie.md-Überarbeitung.

Quellen¶

Primär (normativ und konzeptuell):

Wikipedia, Lemma „Lot (Mathematik)" (de.wikipedia.org/wiki/Lot_(Mathematik), abgerufen 2026-05-14): mathematische Lesart, hier abgelehnt.
Wikipedia, Lemma „Lotrichtung" (de.wikipedia.org/wiki/Lotrichtung, abgerufen 2026-05-14): geodätische Verankerung des Lot-Begriffs.
Wikipedia, Lemma „Vertikalkreis" (de.wikipedia.org/wiki/Vertikalkreis, abgerufen 2026-05-14): geodätisch-astronomisches Wortfeld der hier gewählten Lesart.

Sekundär:

Hartmann, E.: Darstellende Geometrie für Bauingenieure. Skript, TU Darmstadt (www2.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/darg15.pdf, Volltext nicht eingesehen): Lotebene als Standard-Konstruktion der darstellenden Geometrie (mathematische Lesart).
Henke, K.: Darstellende Geometrie. Skript, Lehrstuhl für Holzbau und Baukonstruktion TU München (Volltext nicht eingesehen): Lotebene/Hilfsebene im Kontext orthogonale Parallelprojektion.
LEIFIphysik; Brockhaus, Lemma „Horizont": Vertikalebene / lotrechte Ebene als Ebene, die das Lot enthält.

Recherche-Bericht (intern):

docs/recherche/2026-05-14_hg_lotebene.md — Belegfreiheit im DACH-Holzbau-Korpus, drei Bedeutungssphären (Mathematik / Geodäsie / Holzbau), Lesart-Optionen, Negativbefunde (SIA 265, DIN EN 1995-1-1, DIN 1052, Holzbau-Atlas, Mönck/Rug, baubeaver.de).

Korpus (nicht autoritativ, intern):

hauptglossar/hg_kerve.md (L287–L288, L357 ff.) — bestehende App-interne Verwendung der Lotebene als „welt-vertikale Ebene, die die Bauteilachse enthält"; dieser Eintrag verankert den bestehenden Wortgebrauch normativ.
hauptglossar/hg_senkel.md, hauptglossar/hg_bleischnitt.md — Geschwister-Begriffe zum Lot-Lage-Schema; Lotebene als Spezialisierung des Senkels.

Quelle herunterladen¶

Markdown Plain Text BibTeX