Einheitsvektor

Prosa-Definition

Ein Einheitsvektor ist ein Vektor des dreidimensionalen reellen Vektorraumes ℝ³, dessen euklidische Norm gleich 1 ist und der dadurch eine reine Richtung ohne metrischen Längenanteil repräsentiert.

Mathematische Definition

Sei

• v ∈ ℝ³ ein Vektor (siehe vektor),
• ‖v‖ := √(v_x² + v_y² + v_z²) seine euklidische Norm,
• NORM_EPS ∈ ℝ_{>0} die Norm-Toleranz aus toleranzen.

Dann heißt v Einheitsvektor genau dann, wenn

‖v‖ = 1     (mathematische Idealform)

bzw. in der Domänen-Schicht prüfbar

| ‖v‖² − 1 | ≤ NORM_EPS     (numerische Form).

Die Menge aller (idealen) Einheitsvektoren ist die Einheitssphäre

S² := { v ∈ ℝ³ | ‖v‖ = 1 } ⊂ ℝ³.

Konstruktion durch Normierung: Für einen Vektor v ∈ ℝ³ mit ‖v‖² > NORM_EPS ist

v_hat := v / ‖v‖ ∈ S²

der zu v gehörige Einheitsvektor; v_hat ist genau dann definiert, wenn v nicht der Nullvektor ist (siehe Wohldefiniertheit).

Wohldefiniertheit

• Existenz von v_hat: Für jeden Vektor v ∈ ℝ³ \ {0} ist ‖v‖ > 0, also ist v_hat = v / ‖v‖ wohldefiniert. Es gilt ‖v_hat‖ = ‖v‖ / ‖v‖ = 1, somit v_hat ∈ S².
• Eindeutigkeit von v_hat: v_hat ist eindeutig bestimmt durch v, da die Division durch eine eindeutige positive reelle Zahl eine Bijektion ist.
• Vorzeichen-Mehrdeutigkeit der Richtung: Ein nicht ausgerichteter geometrischer Begriff der „Richtung" (z. B. die Richtung einer Geraden) wird durch zwei antipodale Einheitsvektoren {v_hat, −v_hat} repräsentiert. Der Einheitsvektor selbst ist orientiert; die Wahl des Vorzeichens ist Teil seiner Identität.
• Numerische Wohldefiniertheit der Konstruktion: Die Bedingung ‖v‖² > NORM_EPS sichert, dass die Division v / ‖v‖ in IEEE 754 binary64 ohne katastrophale Auslöschung ausgewertet werden kann (siehe toleranzen#norm_eps).
• Nicht-Zirkularität: Die Definition verwendet ausschließlich vektor und toleranzen; sie kommt nicht in ihrer eigenen Definition vor.

Erläuterung (nicht normativ)

Ein Einheitsvektor ist die mathematische Form einer reinen Richtung: er hat keine Länge im fachlichen Sinn (er ist dimensionslos), sondern beschreibt nur, wohin ein geometrisches Objekt zeigt. In der Holzkonstruktion treten Einheitsvektoren typisch in folgenden Rollen auf:

• Normalenvektor einer Ebene oder eines Halbraumes (Hesse-Normalform: ‖n_hat‖ = 1, siehe ebene, halbraum).
• Normalenvektor einer Dachfläche (siehe dachflaeche).
• Faserrichtung eines Bauteils, also die lokale Hauptachse der Holzfaser (siehe faserrichtung).
• Achsenrichtung einer Geraden oder Halbgeraden in normierter Form.
• Basisvektoren des Welt-Koordinatensystems (e_x, e_y, e_z ∈ S²).

Die zentrale konzeptionelle Trennung zum allgemeinen Vektor ist: ein Vektor kann sowohl Längen- als auch Richtungsinformation tragen (z. B. die Differenz zweier Punkte in mm); ein Einheitsvektor trägt nur Richtungsinformation und ist dimensionslos. In der Domänen-Schicht ist diese Trennung typkonsistent durch Konvention sichergestellt: Funktionen, die einen Einheitsvektor erwarten, prüfen die Norm-Bedingung am Eingang.

Beziehungen

• Oberbegriff: vektor. Ein Einheitsvektor ist ein Vektor mit dem Zusatzmerkmal ‖v‖ = 1.
• Teilbegriffe (Spezialisierungen / Rollen):
• Faserrichtung (faserrichtung): Einheitsvektor in der semantischen Rolle „lokale Hauptachse der Holzfaser eines Bauteils".
• Normalenvektor einer Ebene (ebene.normale): Einheitsvektor in der Rolle „rechtwinklig zu einer Ebene".
• Normalenvektor eines Halbraumes (halbraum.normale): Einheitsvektor in der Rolle „auswärts gerichtete Normale auf der Begrenzungsebene".
• Achsenrichtung einer Geraden (gerade.richtung in normierter Form): Einheitsvektor in der Rolle „Richtung einer Geraden", bis auf das Vorzeichen.
• Abgrenzung:
• vektor (allgemein): kann beliebige Norm haben, insbesondere auch Längeninformation (z. B. ein Verschiebungsvektor in mm). Ein Einheitsvektor verzichtet auf Längeninformation und trägt ausschließlich Richtung.
• „Richtung" als eigener Begriff wird in diesem Glossar bewusst nicht eingeführt: in der App ist die kanonische Repräsentation einer Richtung ein Einheitsvektor; der Begriff „Richtung" tritt nur im Erläuterungstext auf. Eine ungerichtete Richtung (Linie ohne Orientierung) wird durch das antipodale Paar {v_hat, −v_hat} ⊂ S² repräsentiert.
• Nullvektor (siehe vektor): ‖v‖ = 0 ist der einzige Vektor, aus dem kein Einheitsvektor durch Normierung gewonnen werden kann. Versuche der Normierung des Nullvektors liefern die Entartet-Variante EntartetGeometrie.Nullrichtung.
• faserrichtung: ein Einheitsvektor in einer holzbau- spezifischen semantischen Rolle. Strukturell identisch zu einem allgemeinen Einheitsvektor, aber zusätzlich annotiert mit der Bedeutung „Materialachse".

Implementierungshinweis

Datentyp (Domänen-Schicht, Kotlin, Schicht domain.geometrie):

package domain.geometrie

/**
 * Einheitsvektor: Vektor mit ‖v‖ = 1 ± NORM_EPS.
 * Glossar: hg_einheitsvektor.md
 *
 * Wrapper-Typ um Vektor, der die Einheitsnorm zur Konstruktionszeit
 * prüft. Die Domänen-Schicht verwendet Einheitsvektor überall dort,
 * wo eine reine Richtung erwartet wird (Normalenvektoren, Faser-
 * richtung, Geraden-Richtung in normierter Form).
 */
public class Einheitsvektor private constructor(public val vektor: Vektor) {

    // Properties: dx, dy, dz, normQuadrat, norm — delegiert an `vektor`.
    // Operatoren: unaryMinus, dot, cross, get.
    // Methoden: istGleich, istParallelZu, istAntiparallelZu, istOrthogonalZu.

    public companion object {
        /** Kanonische Achsen, rechnerisch normiert; ueber `bildeUngeprueft`. */
        public val EX: Einheitsvektor = bildeUngeprueft(Vektor.EX)
        public val EY: Einheitsvektor = bildeUngeprueft(Vektor.EY)
        public val EZ: Einheitsvektor = bildeUngeprueft(Vektor.EZ)

        /**
         * Erzeugt einen Einheitsvektor durch Normierung von [v]. Wirft niemals.
         * Liefert
         *  - `Resultat.Erfolg(v / ‖v‖)`, wenn `v` finit und `‖v‖² > eps`,
         *  - `Resultat.Fehler(EntartetGeometrie.NichtFinit)`, wenn eine
         *    Komponente NaN oder ±∞ ist,
         *  - `Resultat.Fehler(EntartetGeometrie.Nullrichtung)`, wenn
         *    `‖v‖² ≤ eps`.
         */
        public fun bilde(
            v: Vektor,
            eps: Double = Toleranzen.NORM_EPS,
        ): Resultat<Einheitsvektor, EntartetGeometrie> {
            if (!v.istFinit()) return Resultat.Fehler(EntartetGeometrie.NichtFinit)
            if (v.normQuadrat <= eps) return Resultat.Fehler(EntartetGeometrie.Nullrichtung)
            return Resultat.Erfolg(Einheitsvektor(v * (1.0 / v.norm)))
        }

        /**
         * Erzeugt einen Einheitsvektor **ohne** Norm-Pruefung. Aufrufer
         * garantiert `‖normalisierter‖ ≈ 1`. Vorgesehen fuer Operationen, die
         * rechnerisch einen Einheitsvektor liefern (Vorzeichenumkehr,
         * Achsenkonstanten).
         */
        internal fun bildeUngeprueft(normalisierter: Vektor): Einheitsvektor =
            Einheitsvektor(normalisierter)
    }
}

• Einheit: dimensionslos. Ein Einheitsvektor trägt nie Längeninformation in mm.
• Invariante: | (v.dx² + v.dy² + v.dz²) − 1 | ≤ Toleranzen.NORM_EPS. Die Invariante wird in der Companion-Factory bilde(...) zur Konstruktionszeit geprüft; ein bereits konstruierter Einheitsvektor darf von Klienten als invariant angenommen werden.
• Edge Cases:
• Nullvektor (‖v‖² ≤ NORM_EPS): Einheitsvektor.bilde(...) liefert EntartetGeometrie.Nullrichtung. Der Aufrufer entscheidet über die fachliche Reaktion (Fehlermeldung im UI, Defaultachse usw.).
• NaN/±∞ in einer Komponente: durch bilde(...) abgefangen (Prüfung !v.istFinit() erfolgt vor dem Norm-Test); das Ergebnis ist EntartetGeometrie.NichtFinit.
• Sehr kleine, aber nicht-null Vektoren (NORM_EPS < ‖v‖² ≪ 1): werden numerisch sicher normiert, bleiben aber fachlich fragwürdig (z. B. fast-paralleler Sparrenanschnitt). Die fachliche Plausibilität ist Aufgabe des Aufrufers, nicht des Konstruktors.
• Antipodale Mehrdeutigkeit: v_hat und −v_hat sind beides gültige Einheitsvektoren. Wo nur die ungerichtete Richtung relevant ist (z. B. Geraden-Richtung), ist die Vorzeichenwahl konventionell festzulegen (siehe Glossareintrag des verwendenden Begriffs).
• Verwendungsregel: Funktionen, die eine Richtung erwarten (Normalenvektor, Faserrichtung, Achse), nehmen Einheitsvektor als Parametertyp, nicht Vektor. Dadurch wird die Norm-Invariante typsicher kommuniziert und am API-Rand erzwungen.

Quellen

Primär (normativ):

• DIN ISO 80000-2:2022-08, „Größen und Einheiten – Teil 2: Mathematik".
• ISO 80000-2:2019.

Sekundär:

• Bronstein, I. N.; Semendjajew, K. A.; Musiol, G.; Mühlig, H.: Taschenbuch der Mathematik.
• Fischer, G.: Lineare Algebra. 19. Aufl., Springer Spektrum 2020.
• Bär, C.: Elementare Differentialgeometrie. 2. Aufl., de Gruyter 2010.

Korpus (nicht autoritativ):

• Wikipedia, Lemma „Einheitsvektor" (abgerufen 2026-05-08).

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