Einheitsvektor¶

Ein Einheitsvektor ist ein Richtungspfeil von genau einer Einheit Länge, der nur eine Richtung angibt — wie der Zeiger eines Kompasses, der bloss zeigt wohin, nicht wie weit.

Prosa-Definition¶

Ein Einheitsvektor ist ein Vektor des dreidimensionalen reellen Vektorraumes ℝ³, dessen euklidische Norm gleich 1 ist und der dadurch eine reine Richtung ohne metrischen Längenanteil repräsentiert.

Mathematische Definition¶

Sei

v ∈ ℝ³ ein Vektor (siehe vektor),
‖v‖:= √(v_x² + v_y² + v_z²) seine euklidische Norm,
NORM_EPS ∈ ℝ_{>0} die Norm-Toleranz aus toleranzen.

Dann heißt v Einheitsvektor genau dann, wenn

‖v‖ = 1     (mathematische Idealform)

bzw. in der Domänen-Schicht prüfbar

| ‖v‖² − 1 | ≤ NORM_EPS     (numerische Form).

Die Menge aller (idealen) Einheitsvektoren ist die Einheitssphäre

S²:= { v ∈ ℝ³ | ‖v‖ = 1 } ⊂ ℝ³.

Konstruktion durch Normierung: Für einen Vektor v ∈ ℝ³ mit ‖v‖² > NORM_EPS ist

v_hat:= v / ‖v‖ ∈ S²

der zu v gehörige Einheitsvektor; v_hat ist genau dann definiert, wenn v nicht der Nullvektor ist (siehe Wohldefiniertheit).

Wohldefiniertheit¶

Existenz von v_hat: Für jeden Vektor v ∈ ℝ³ \ {0} ist ‖v‖ > 0, also ist v_hat = v / ‖v‖ wohldefiniert. Es gilt ‖v_hat‖ = ‖v‖ / ‖v‖ = 1, somit v_hat ∈ S².
Eindeutigkeit von v_hat: v_hat ist eindeutig bestimmt durch v, da die Division durch eine eindeutige positive reelle Zahl eine Bijektion ist.
Vorzeichen-Mehrdeutigkeit der Richtung: Ein nicht ausgerichteter geometrischer Begriff der „Richtung" (z. B. die Richtung einer Geraden) wird durch zwei antipodale Einheitsvektoren {v_hat, −v_hat} repräsentiert. Der Einheitsvektor selbst ist orientiert; die Wahl des Vorzeichens ist Teil seiner Identität.
Numerische Wohldefiniertheit der Konstruktion: Die Bedingung ‖v‖² > NORM_EPS sichert, dass die Division v / ‖v‖ in IEEE 754 binary64 ohne katastrophale Auslöschung ausgewertet werden kann (siehe toleranzen#norm_eps).
Nicht-Zirkularität: Die Definition verwendet ausschließlich vektor und toleranzen; sie kommt nicht in ihrer eigenen Definition vor.

Erläuterung (nicht normativ)¶

Ein Einheitsvektor ist die mathematische Form einer reinen Richtung: er hat keine Länge im fachlichen Sinn (er ist dimensionslos), sondern beschreibt nur, wohin ein geometrisches Objekt zeigt. In der Holzkonstruktion treten Einheitsvektoren typisch in folgenden Rollen auf:

Normalenvektor einer Ebene oder eines Halbraumes (Hesse-Normalform: ‖n_hat‖ = 1, siehe ebene, halbraum).
Normalenvektor einer Dachfläche (siehe dachflaeche).
Faserrichtung eines Bauteils, also die lokale Hauptachse der Holzfaser (siehe faserrichtung).
Achsenrichtung einer Geraden oder Halbgeraden in normierter Form.
Basisvektoren des Welt-Koordinatensystems (e_x, e_y, e_z ∈ S²).

Die zentrale konzeptionelle Trennung zum allgemeinen Vektor ist: ein Vektor kann sowohl Längen- als auch Richtungsinformation tragen (z. B. die Differenz zweier Punkte in mm); ein Einheitsvektor trägt nur Richtungsinformation und ist dimensionslos. In der Domänen-Schicht ist diese Trennung typkonsistent durch Konvention sichergestellt: Funktionen, die einen Einheitsvektor erwarten, prüfen die Norm-Bedingung am Eingang.

Beziehungen¶

Oberbegriff: vektor. Ein Einheitsvektor ist ein Vektor mit dem Zusatzmerkmal ‖v‖ = 1.
Teilbegriffe (Spezialisierungen / Rollen):
Faserrichtung (faserrichtung): Einheitsvektor in der semantischen Rolle „lokale Hauptachse der Holzfaser eines Bauteils".
Normalenvektor einer Ebene (ebene.normale): Einheitsvektor in der Rolle „rechtwinklig zu einer Ebene".
Normalenvektor eines Halbraumes (halbraum.normale): Einheitsvektor in der Rolle „auswärts gerichtete Normale auf der Begrenzungsebene".
Achsenrichtung einer Geraden (gerade.richtung in normierter Form): Einheitsvektor in der Rolle „Richtung einer Geraden", bis auf das Vorzeichen.
Abgrenzung:
vektor (allgemein): kann beliebige Norm haben, insbesondere auch Längeninformation (z. B. ein Verschiebungsvektor in mm). Ein Einheitsvektor verzichtet auf Längeninformation und trägt ausschließlich Richtung.
„Richtung" als eigener Begriff wird in diesem Glossar bewusst nicht eingeführt: in der App ist die kanonische Repräsentation einer Richtung ein Einheitsvektor; der Begriff „Richtung" tritt nur im Erläuterungstext auf. Eine ungerichtete Richtung (Linie ohne Orientierung) wird durch das antipodale Paar {v_hat, −v_hat} ⊂ S² repräsentiert.
Nullvektor (siehe vektor): ‖v‖ = 0 ist der einzige Vektor, aus dem kein Einheitsvektor durch Normierung gewonnen werden kann. Versuche der Normierung des Nullvektors liefern die Entartet-Variante EntartetGeometrie.Nullrichtung.
faserrichtung: ein Einheitsvektor in einer holzbau- spezifischen semantischen Rolle. Strukturell identisch zu einem allgemeinen Einheitsvektor, aber zusätzlich annotiert mit der Bedeutung „Materialachse".

Quellen¶

Primär (normativ):

DIN ISO 80000-2:2022-08, „Größen und Einheiten – Teil 2: Mathematik".
ISO 80000-2:2019.

Sekundär:

Bronstein, I. N.; Semendjajew, K. A.; Musiol, G.; Mühlig, H.: Taschenbuch der Mathematik.
Fischer, G.: Lineare Algebra. 19. Aufl., Springer Spektrum 2020.
Bär, C.: Elementare Differentialgeometrie. 2. Aufl., de Gruyter 2010.

Korpus (nicht autoritativ):

Wikipedia, Lemma „Einheitsvektor" (abgerufen 2026-05-08).

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