Gratsparren

Prosa-Definition¶

Ein Gratsparren ist ein Stab-Bauteil eines Dachtragwerks in der Bauteilrolle eines Sparrens, dessen Bauteilachse auf der Gratlinie zweier benachbarter Dachflächen liegt — also auf einer geneigten, konvexen Schnittkante zweier Trägerebenen — und das die Lasten beider anliegender Dachflächen-Anteile entlang seiner Längsachse zwischen einem Trauf-Eckpunkt (Walm-Ecke) am Fuß und einem Firstend-Punkt (oder der Walm-Spitze) am Kopf abträgt.

Mathematische Definition¶

Sei

B ein Bauteil im Sinne von bauteil mit Stabgeometrie (geometrie ∈ 𝒢_stab),
a(B) = Bauteilachse.Gerade(p_a, p_e) die Bauteilachse von B im geraden Fall (siehe bauteilachse), mit d_hat_G := (p_e − p_a) / ‖p_e − p_a‖ ∈ S² ⊂ ℝ³,
𝒟 = {D_1, …, D_m} eine Dachflächenfamilie im Sinne von dachflaeche,
D_i = (E_i, P_i, n_{a,i}) und D_j = (E_j, P_j, n_{a,j}) zwei verschiedene Dachflächen aus 𝒟 mit i ≠ j,
g_{ij} ⊂ ℝ³ eine Gratstrecke im Sinne von hg_grat.md, also eine Schnittstrecke s_{ij} = F(P_i) ∩ F(P_j), die die Grat-Bedingungen (1)–(4) aus hg_grat.md erfüllt (geneigt, konvex, beide äußeren Normalen in oberer Halbkugel),
t_hat := (b_{ij} − a_{ij}) / ‖b_{ij} − a_{ij}‖ ∈ S² die Tangente von g_{ij} mit g_{ij} = [a_{ij}, b_{ij}] und (Vorzeichenkonvention aus hg_grat.md) ⟨t_hat, e_z⟩ > 0 (bergauf orientiert),
e_z := (0, 0, 1)ᵀ die vertikale Achse,
ε_W := Toleranzen.WINKEL_EPS die Winkeltoleranz,
ε_K := Toleranzen.KOLLINEAR_EPS die Kollinearitätstoleranz,
ε_L := Toleranzen.LAENGE_EPS die Längentoleranz.

Dann heißt B ein Gratsparren der Gratstrecke g_{ij} der Dachflächenfamilie 𝒟 genau dann, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

Stabgeometrie: B besitzt eine gerade Bauteilachse mit ‖p_e − p_a‖ > ε_L.
Endpunkt-Inzidenz: Beide Endpunkte der Bauteilachse liegen auf der Gratlinie der Gratstrecke g_{ij} im Sinne der Punkt-Gerade-Inzidenz; konkret existieren Skalare s_a, s_e ∈ ℝ mit
```
p_a = a_{ij} + s_a · (b_{ij} − a_{ij}),
p_e = a_{ij} + s_e · (b_{ij} − a_{ij}),
```
und der zur Gratlinie rechtwinklige Abstand beider Endpunkte ist kleiner-gleich ε_L (Lage-Toleranz auf der Schnittgeraden der beiden Trägerebenen E_i und E_j).
Gratlinien-Kollinearität (Ersatz für die Falllinien-Kollinearität aus hg_sparren.md Bed. 3): Die Bauteilachsenrichtung ist kollinear zur Gratlinien-Tangente,
```
‖d_hat_G × t_hat‖ ≤ ε_K,
```
d. h. der Winkel zwischen d_hat_G und t_hat ist 0 oder π (modulo der numerischen Sinus-Toleranz nach §4 HG-Konvention für Parallelitäts-Prädikate).
Vorzeichenkonvention (Gratsparrenrichtung von Walm-Ecke zu Firstend-Punkt): Die Bauteilachse ist so gerichtet, dass d_hat_G in dieselbe Halbkugel wie t_hat weist, also bergauf:
```
⟨d_hat_G, t_hat⟩ ≥ +1 − ε_W,
```
äquivalent ⟨d_hat_G, e_z⟩ > 0. p_a ist damit der Gratsparrenfuß (am Trauf-Eckpunkt der Walm-Ecke), p_e der Gratsparrenfirstpunkt (am Firstend-Punkt bzw. an der Walm-Spitze).
Zuordnung zu genau einer Gratstrecke: B ist Gratsparren einer eindeutig bestimmten Gratstrecke g_{ij} der Familie 𝒟; die Wahl von g_{ij} ist die Zuordnung des Bauteils und nicht selbst Bestandteil der Bauteilgeometrie.

Wesentliche abgeleitete Größen:

Gratsparrenlänge: L_{S,G} := ‖p_e − p_a‖ (in mm), entlang der Bauteilachse zwischen Gratsparrenfuß und Gratsparrenfirstpunkt.
Gratsparrenneigung (= Gratneigung der zugeordneten Gratstrecke, siehe hg_grat.md, abgeleitete Operation gratneigung()):
```
α_G := arcsin(|⟨t_hat, e_z⟩|) = arcsin(⟨d_hat_G, e_z⟩).
```
Wertebereich α_G ∈ (0, π/2) bei nicht-entarteten Walmdach-Graten.
Gratsparrenfuß und Gratsparrenfirstpunkt (als Punkte): F_{fuß,G} := p_a, F_{first,G} := p_e.

Abgeleiteter Satz — Reduktions-Formel der Gratsparrenneigung¶

Für gleichgeneigte anliegende Dachflächen D_i und D_j mit gemeinsamer Dachneigung α und einem Plan-Winkel β_plan zwischen der Grundrissprojektion der Gratlinie und der Trauflinie einer der beiden Dachflächen gilt

tan(α_G) = tan(α) · cos(β_plan).                                  (★)

Herleitung aus den Primitiven: Sei π_xy: ℝ³ → ℝ² die Projektion in die Horizontalebene. Die Schnittgerade g_{ij} ⊂ ℝ³ projiziert auf eine Gerade π_xy(g_{ij}) ⊂ ℝ². Sei e_hat_t := (t_hat_x, t_hat_y, 0) / ‖(t_hat_x, t_hat_y)‖ der normierte Grundrissrichtungs- vektor der Gratlinie und e_hat_fall(E_i) die Falllinie der Dachfläche D_i (siehe hg_falllinie.md). Dann gilt nach Konstruktion

cos(β_plan) = |⟨e_hat_t, π_xy(e_hat_fall(E_i)) / ‖π_xy(e_hat_fall(E_i))‖⟩|.

Aus der Geneigtheits-Bedingung (hg_grat.md Bed. 1) und der Tatsache, dass t_hat in beiden Trägerebenen E_i und E_j liegt (g_{ij} = E_i ∩ E_j), folgt durch Aufspaltung von t_hat in seinen horizontalen Anteil und e_z-Anteil mit Höhenfunktion z auf E_i

⟨t_hat, e_z⟩ / ‖(t_hat_x, t_hat_y)‖
   = (∂z/∂e_hat_t entlang der Grundrissprojektion in E_i)
   = ⟨−e_hat_fall(E_i), e_z⟩ · cos(β_plan) / √(1 − ⟨e_hat_fall(E_i), e_z⟩²) · …

mit Auflösung über tan(α) = |⟨e_hat_fall(E_i), e_z⟩| / ‖π_xy(e_hat_fall(E_i))‖ (siehe hg_falllinie.md, abgeleitete Größe „Dachneigung entlang der Falllinie"). Zusammenfassend ergibt sich tan(α_G) = ⟨t_hat, e_z⟩ / ‖(t_hat_x, t_hat_y)‖ = tan(α) · cos(β_plan). ∎

Im symmetrischen Spezialfall (gleichgeneigte Dachflächen mit horizontalen, rechtwinklig zueinander stehenden Traufen) ist die Grundrissprojektion der Gratlinie die Winkelhalbierende der beiden Traufkanten und damit β_plan = 45°, woraus folgt

tan(α_G) = tan(α) / √2.                                          (★★)

Die populäre US-Faustregel „6-in-12 wird zu 6-in-16.97 am Grat" ist genau diese Aussage in Steigungs-Schreibweise.

(★) ist ein abgeleiteter Satz, kein Definitionsbestandteil; die Definition selbst (Bed. 1–5 oben) verwendet ausschließlich die Primitive Punkt, Vektor, Strecke, Ebene und die bereits definierten Begriffe bauteil, bauteilachse, sparren, grat, dachflaeche.

Wohldefiniertheit¶

Existenz: Für jede Walmdach-Konstruktion mit nicht-entarteten Gratstrecken existiert in der Standardkonfiguration genau ein Gratsparren pro Gratstrecke; das ist die übliche Walmdach- Konstruktion (vier Gratsparren am Vollwalm). Bed. 1–5 sind konstruktiv erfüllbar.
Eindeutigkeit der Vorzeichenkonvention: Aus der Geneigtheits-Bedingung der Gratstrecke (hg_grat.md Bed. 1) folgt ⟨t_hat, e_z⟩ > ε_W, also t_hat ≠ −t_hat als Tangentenwahl. Bed. 3 und 4 zusammen fixieren d_hat_G = +t_hat (modulo ε_K, ε_W). Die alternative Orientierung d_hat_G = −t_hat ist durch Bed. 4 ausgeschlossen.
Asymmetrie zum Oberbegriff sparren — explizite Auflösung: In hg_sparren.md lauten die zentralen geometrischen Bedingungen:
Bed. 2: beide Endpunkte der Bauteilachse liegen in der Trägerebene einer zugeordneten Dachfläche;
Bed. 3: die Bauteilachsenrichtung ist kollinear zur Falllinie dieser einen Dachfläche.

Für den Gratsparren sind beide Bedingungen strukturell verletzt: - Die Bauteilachse liegt auf der Schnittgeraden zweier Trägerebenen E_i und E_j; sie liegt also in der gemeinsamen Schnittgeraden beider, aber sie verläuft nicht entlang einer Falllinie, denn die Schnittgerade zweier nicht-paralleler, geneigter Ebenen ist nicht die Falllinie einer der beiden (außer im entarteten Fall ⟨n_hat_{a,i}, e_z⟩ = ⟨n_hat_{a,j}, e_z⟩ und Spiegel-Symmetrie, in dem die Schnittgerade in einer Vertikalebene liegt, aber auch dann ist ihre Richtung nicht die Falllinien-Richtung einer der beiden Einzelflächen). - Genau diese Asymmetrie ist in hg_sparren.md Sektion „Wohldefiniertheit / Mehrfachzuordnung" antizipiert: „bei Verschneidungs-Sparren (Gratsparren, Kehlsparren), die auf zwei Dachflächen liegen, ist die Falllinien-Kollinearitätsbedingung nicht zu beiden Dachflächen gleichzeitig erfüllbar, weshalb diese Sonderformen eigene Begriffsdefinitionen erhalten".

Die hiesige Definition löst die Asymmetrie auf, indem sie: - Bed. 2 von hg_sparren.md durch eine Endpunkt-Inzidenz auf einer Gratstrecke g_{ij} (Bed. 2 hier) ersetzt; - Bed. 3 von hg_sparren.md durch eine Gratlinien-Kollinearität zur Tangente t_hat (Bed. 3 hier) ersetzt; - Bed. 4 von hg_sparren.md als bergauf-Orientierung relativ zu t_hat statt zu e_hat_fall übernimmt (Bed. 4 hier).

Die geerbte konstruktive Rolle des Oberbegriffs sparren (Stab- Bauteil eines Dachtragwerks, geneigt, lastabtragend, Bauteilachse bergauf orientiert) bleibt damit unverletzt; nur die geometrische Lage-Bedingung wird von der Falllinie einer Einzelfläche auf die Gratlinie der Verschneidung umgehängt.

Konsistenz mit hg_grat.md: Aus Bed. 3 und Bed. 4 folgt d_hat_G = +t_hat (modulo Toleranzen), wobei t_hat die nach hg_grat.md Vorzeichenkonvention bergauf gerichtete Gratlinien-Tangente ist. Damit ist der Gratsparrenfuß stets am unteren Endpunkt a_{ij} der Gratstrecke und der Gratsparrenfirstpunkt stets am oberen Endpunkt b_{ij} — konsistent mit der Beschreibung in Koepf/Binding 2005 „diagonal von der ausspringenden Ecke einer Traufe zum First".
Reduktions-Formel (★) als Konsequenz, nicht als Axiom: Die Formel tan(α_G) = tan(α)·cos(β_plan) wurde oben aus den Primitiven hergeleitet; sie ist nicht Bestandteil der Definition (Bed. 1–5), sondern beweisbar daraus. Damit ist die Definition konservativ im Sinne der HG-Konventionen: die mathematische Charakterisierung der reduzierten Neigung ist Abkürzung, nicht Axiom.
Mehrfachzuordnung — gegenseitige Disjunktheit der Sparren-Spezialisierungen: Ein Bauteil B kann nicht gleichzeitig Sparren einer einzelnen Dachfläche im Sinne von hg_sparren.md und Gratsparren einer Gratstrecke g_{ij} sein, da die Falllinien-Kollinearität (hg_sparren.md Bed. 3) mit der Gratlinien-Kollinearität (Bed. 3 hier) nicht gleichzeitig erfüllbar ist (die Falllinie einer geneigten Einzelfläche und die Tangente einer Gratstrecke der gleichen Flächenfamilie sind nicht kollinear, außer in entarteten Sonderfällen). Ebenso ist die Disjunktheit zu kehlsparren durch die Konvexitäts- Bedingung der Gratstrecke (hg_grat.md Bed. 3 vs. die analoge Konkavitäts-Bedingung der Kehlstrecke) gesichert.
Nicht-Zirkularität: Die Definition stützt sich nur auf bereits definierte Begriffe (bauteil, bauteilachse, sparren, grat, dachflaeche, strecke, einheitsvektor, ebene, dachneigung, weltkoordinatensystem, toleranzen). Sie kommt nicht in ihrer eigenen Definition vor und verweist nicht auf Gratsparren-Spezialisierungen oder Bearbeitungs- Folgegeometrie (Abgratung, Absenkung).
Auflagerung (qualitativ, nicht Bestandteil der Definition): Ein Gratsparren wird im Tragwerk typischerweise gestützt durch
einen Eck-Pfettenstoß zweier Fußpfetten am Gratsparrenfuß (gemeinsamer Endpunkt zweier Trauflinien an der Walm-Ecke);
einen Firstpfetten-Endpunkt oder eine Walm-Spitze / einen zentralen Stahlknoten am Gratsparrenfirstpunkt.

Die Auflagerung ist Eigenschaft des Tragwerks (siehe hg_tragwerk.md), nicht des Gratsparrens selbst. Die zugehörigen Bearbeitungen (Kerve am Fuß, Firstanschnitt, Backenschnitte, Abgratung) sind partitive Bestandteile des Gratsparrens, nicht Bestandteile der Definition.

Erläuterung (nicht normativ)¶

Der Gratsparren ist das diagonale Hauptbauteil eines Walmdachs: in der klassischen Vollwalm-Konstruktion gibt es vier Gratsparren, die jeweils von einer Walm-Trauf-Ecke schräg nach oben zum Firstend-Punkt verlaufen. Bei der Pyramiden-Walm-Spitze (kein First, Spitzdach) laufen alle vier Gratsparren in einem zentralen Knoten zusammen.

Geometrische Charakterisierung — die geringere Neigung¶

Das geometrisch und konstruktiv wichtigste Merkmal des Gratsparrens ist seine geringere Neigung gegenüber den anliegenden Sparren. Im symmetrischen Fall (gleichgeneigte anliegende Dachflächen, rechtwinklige Walm-Ecke) gilt nach der oben hergeleiteten Reduktions-Formel

tan(α_G) = tan(α) / √2.

Beispiel: bei einer Dachneigung α = 45° hat der Gratsparren eine Neigung von α_G = arctan(1/√2) ≈ 35.26°. Im allgemeinen Fall (ungleichgeneigte Dachflächen, schiefwinklige Walm-Ecke) gilt tan(α_G) = tan(α) · cos(β_plan), wobei β_plan der Grundriss-Winkel zwischen der Gratlinien-Projektion und der Trauflinie einer der beiden anliegenden Dachflächen ist; dieser allgemeine Fall ist in der zimmermannssprachlichen „Gratgrundverschiebung" und in der angelsächsischen „hip rafter geometry" behandelt.

Walmdach-Grundrissprojektion¶

Bei gleichgeneigten anliegenden Dachflächen mit horizontalen, rechtwinklig zueinander stehenden Traufen bildet die Grundrissprojektion der Gratlinie die Winkelhalbierende der beiden Traufkanten — Standardstoff der Dachausmittlung (zugehöriger Folge-Eintrag hg_dachausmittlung.md). Bei ungleicher Neigung ist die Grundrissprojektion keine Winkelhalbierende mehr, sondern wird über eine Traufhöhen-Hilfslinien-Konstruktion bestimmt.

Verkantung im Raum — Abgratung und Absenkung¶

Da die Bauteilachse des Gratsparrens auf der Schnittgeraden zweier geneigter Ebenen liegt und sein rechteckiger Querschnitt um diese Achse rotationssymmetrisch in vier Quadranten-Lagen platziert werden kann, ergibt sich konstruktiv eine Verkantung im Raum: die Ober- und Seitenflächen des unverbearbeiteten Quaders liegen nicht in den anliegenden Dachflächen. Zwei Standard-Lösungen der Zimmerei lösen dieses Problem:

Abgratung (englisch backing angle): Die obere Längskante des Gratsparrens wird beidseitig symmetrisch in der jeweils anliegenden Dachneigung abgekantet — die obere Bauteilfläche wird zu einer dachförmigen Doppelfacette, deren beide Halbflächen in den anliegenden Dachflächen-Trägerebenen liegen. Das ist die dominante Lösung in der Zimmerei.
Absenkung (englisch dropping the hip): Der Gratsparren wird als Ganzes um einen kleinen Betrag vertikal abgesenkt, so dass die Schifter mit ihrer Schmiege bündig an der unbearbeiteten Flanke des Gratsparrens anschlagen. Alternative Lösung mit einfacherem Abbund, aber kleinerem effektiven Querschnitt.

Die Abgratung wird im Glossar als eigener Folge-Begriff hg_abgratung.md geführt (Folgearbeit, Trigger: erste Visualisierung der Gratsparren-Oberkante).

Querschnitt und Werkstoff¶

Gratsparren werden mit größerem Querschnitt ausgeführt als die anliegenden Normal-Sparren, weil sie die Lasten beider anliegender Dachflächen-Anteile tragen. Faustregel aus der Praxis (Wikipedia „Gratsparren"; baubeaver.de; dachdecker.com; Frilo DGK):

„Ein Gratsparren ist länger und etwa um die Hälfte höher als ein Normalsparren desselben Daches."

Beispielquerschnitte (Frilo DGK): 8/18 cm bei einem Normalsparren- Querschnitt von 6/12 oder 8/16. Die konkrete Querschnittsfindung ist Gegenstand der Bemessung nach SIA 265 / EN 1995-1-1 und liegt nicht im Definitionsbereich dieses Glossars.

Typische Verbindungen und Bearbeitungen am Gratsparren¶

Kerve am Fuß auf der Eck-Pfettenstoßstelle (zwei aufeinanderfolgende Schnitte, einer pro Fußpfette — siehe hg_kerve.md für die geometrische Definition der Kerve).
Firstanschnitt als oberer Endschnitt am Firstend-Punkt der Firstlinie.
Backenschnitte / Backenschmiege an den seitlichen Anschluss-Flächen für die Schifter.
Abgratung der Oberkante (siehe Folgearbeit hg_abgratung.md).
Hexenschnitt an der Gratsparren-Unterseite am Fuß zur beidseitigen planaren Anlage von Traufbohle und Stirnbrett (regional, Berufsschul-Standardstoff).

Diese Bearbeitungen sind partitive Bestandteile von Gratsparren- Bauteilen (siehe hg_bauteilbearbeitung.md / hg_kerve.md etc.), nicht Bestandteile der Begriffsdefinition.

Sonderfälle¶

Vollwalm-Pyramide: kein First; vier Gratsparren laufen an einer zentralen Spitze zusammen (konstruktiv häufig zentraler Stahlknoten oder Holzknoten).
Krüppelwalm: Gratsparren endet nicht am Firstend-Punkt, sondern auf einer Mittel- oder Kehlbohle unterhalb des Firsts.
Ungleichgeneigte Walme: anliegende Dachflächen mit unterschiedlicher Neigung; die Grundrissprojektion der Gratlinie ist dann keine Winkelhalbierende.

Beziehungen¶

Oberbegriff: sparren. Strukturell ist der Gratsparren eine Bauteilrolle, die die konstruktive Sparrenrolle (Stab-Bauteil, geneigt, lastabtragend, bergauf orientiert) erbt, aber die Falllinien-Kollinearität (hg_sparren.md Bed. 3) durch eine Gratlinien-Kollinearität ersetzt. Diese Asymmetrie ist in hg_sparren.md Sektion „Mehrfachzuordnung" explizit antizipiert.
Geschwister-Begriffe (andere Sparren-Spezialisierungen):
kehlsparren (Folgearbeit): analog zum Gratsparren, aber auf einer konkaven Kehlstrecke statt auf einer konvexen Gratstrecke;
schifter / schiftsparren (Folgearbeit): verkürzte Sparren, die am Gratsparren oder Kehlsparren mit Schmiege ansetzen (topologisch komplementär, nicht synonym).
Bestandteile (partitiv):
Bauteilachse (bauteilachse.Gerade, vom Bauteil geerbt) mit Gratsparrenfuß als Anfangs- und Gratsparrenfirstpunkt als Endpunkt;
Querschnitt (vom Bauteil geerbt; rechteckig, typisch 1.5× Sparrenhöhe);
Werkstoff (vom Bauteil geerbt; Vollholz oder BSH);
Faserrichtung (Annotation, Default ‖ d_hat_G);
Abgratung (partitive Bearbeitung, Folgearbeit hg_abgratung.md);
Kerven am Fuß (siehe hg_kerve.md).
Verwendung / Beziehung zu anderen Bauteilen:
Grat (grat): geometrische Schnittkante zweier Dachflächen, auf der die Bauteilachse des Gratsparrens liegt; das ist die konstitutive Beziehung.
Dachfläche (dachflaeche): der Gratsparren ist genau zwei Dachflächen gleichzeitig zugeordnet (D_i und D_j); seine Bauteilachse liegt auf E_i ∩ E_j.
Firstpfette (firstpfette): das obere Auflager des Gratsparrens (Firstend-Punkt der Firstlinie) liegt typischerweise am Firstpfetten-Endpunkt.
Fußpfette (fusspfette): das untere Auflager des Gratsparrens liegt am Eck-Pfettenstoß zweier Fußpfetten an der Walm-Ecke.
Schifter (schifter, Folgearbeit): seitliche Anschluss- Sparren, die mit doppelter Schmiege an der Flanke des Gratsparrens anschlagen.
Abgrenzung:
Sparren (sparren): der allgemeine Sparrenbegriff verlangt Falllinien-Kollinearität in einer einzelnen Dachfläche (hg_sparren.md Bed. 3); der Gratsparren erfüllt diese Bedingung gerade nicht, sondern verlangt stattdessen Gratlinien-Kollinearität. Die Asymmetrie ist in hg_sparren.md Sektion „Mehrfachzuordnung" antizipiert und oben im Wohldefiniertheits-Block ausgeführt.
Kehlsparren (kehlsparren, Folgearbeit): analog zum Gratsparren, aber auf einer konkaven Kehlstrecke (siehe hg_kehle.md / hg_kehlsparren.md) statt einer konvexen Gratstrecke; statisch und konstruktiv verschieden (Wasserführung, Schneeansammlung, keine Abgratung).
Schifter (schifter, Folgearbeit): die Schifter setzen am Gratsparren an; sie sind topologisch komplementär, kein Synonym. „Verschneidungssparren" wird regional mehrdeutig sowohl für Gratsparren als auch für Schiftsparren verwendet und ist daher als Hauptbenennung ungeeignet.
Grat (grat): die geometrische Kante; der Gratsparren ist das Bauteil entlang dieser Kante. Der Grat ist eine Dachkante (partitive Geometrie der Dachflächenfamilie), der Gratsparren ein Bauteil mit Bauteilachse auf dieser Kante.
Dachfläche (dachflaeche): zweidimensionales geometrisches Bauteil; der Gratsparren liegt nicht in einer einzelnen Dachfläche, sondern auf der Schnittgeraden zweier Dachflächen.
Dachseite (dachseite): orientierungs-annotierte Dachfläche; nicht selbst Träger des Gratsparrens, sondern Sicht auf die Dachfläche.
Firstpfette (firstpfette): horizontaler Längsträger am First; der Gratsparren stößt am Firstend-Punkt typisch an die Firstpfette, ist aber kein Pfettenbauteil.
Fußpfette (fusspfette): horizontaler Längsträger an der Traufe; der Gratsparren stößt am Walm-Trauf-Eckpunkt typisch an einen Eck-Stoß zweier Fußpfetten.
Kerve (kerve): partitive Bearbeitung am Gratsparren-Fuß auf der Fußpfetten-Stoßstelle; nicht selbst Sparren.
Abgratung (Folgearbeit hg_abgratung.md): partitive Bearbeitung der oberen Längskante des Gratsparrens; nicht Bestandteil der Definition.
Verschneidungssparren (Folgearbeit hg_verschneidungssparren.md): regional unscharfer Oberbegriff für Grat- und Kehlsparren bzw. Schiftsparren; in der Schweiz und Süddeutschland selten und mehrdeutig.
Schiftsparren (schiftsparren, Folgearbeit): Synonym zu Schifter; siehe oben.

Implementierungshinweis¶

Datentyp (Domänen-Schicht, Kotlin, Schicht domain.bauteil):

package domain.bauteil

import domain.Toleranzen
import domain.bauteil.Bauteil
import domain.bauteil.Bauteilachse
import domain.bauteil.BauteilId
import domain.bauteil.Grat
import domain.geometrie.Einheitsvektor
import domain.geometrie.Punkt

/**
 * Gratsparren als Bauteilrolle: Stab-Bauteil entlang einer
 * Gratstrecke (geneigte konvexe Schnittkante zweier Dachflächen).
 *
 * Glossar: hg_gratsparren.md
 *
 * Asymmetrie zum Oberbegriff Sparren:
 *   Die Falllinien-Kollinearität aus hg_sparren.md Bed. 3 wird durch
 *   eine Gratlinien-Kollinearität ersetzt; statt einer einzelnen
 *   Dachfläche ist eine Gratstrecke g_{ij} zugeordnet (Lage auf der
 *   Schnittgeraden zweier Trägerebenen).
 *
 * Vorzeichenkonvention (normativ):
 *   p_a = Gratsparrenfuß       (am Trauf-Eckpunkt der Walm-Ecke)
 *   p_e = Gratsparrenfirstpunkt (am Firstend-Punkt / Walm-Spitze)
 *   d_hat_G zeigt bergauf (⟨d_hat_G, e_z⟩ > 0), kollinear zur
 *   aufwärts gerichteten Gratlinien-Tangente t_hat.
 */
data class Gratsparren(
    val bauteil: Bauteil,
    val grat: Grat,                  // zugeordnete Gratstrecke (Regulaer-Variante)
) {
    init {
        require(bauteil.geometrie is Bauteilgeometrie.Stab) {
            "Gratsparren erfordert Stabgeometrie"
        }
        // Lage- und Gratlinien-Bedingungen werden in der Factory
        // gratsparrenAusBauteil(...) geprüft und liefern bei Verletzung
        // ein Resultat.Fehler mit GratsparrenEntartet-Variante (siehe unten).
    }

    val gratsparrenfuss: Punkt        get() = achse().anfang
    val gratsparrenfirstpunkt: Punkt  get() = achse().ende
    val laenge: Double                get() = achse().laenge          // mm
    val gratsparrenneigung: Double                                     // rad
        get() = grat.gratneigung()

    private fun achse(): Bauteilachse.Gerade =
        (bauteil.geometrie as Bauteilgeometrie.Stab).achse as Bauteilachse.Gerade
}

sealed class GratsparrenEntartet {
    object NichtAufGratlinie       : GratsparrenEntartet()
    object NichtKollinearZurTangente : GratsparrenEntartet()
    object FalscheRichtung         : GratsparrenEntartet()   // d_hat_G zeigt bergab
    object Nullachse               : GratsparrenEntartet()
    object EntarteteGratstrecke    : GratsparrenEntartet()
}

Einheit: Längen in mm (Double), Winkel intern in Radiant.
Identität: BauteilId aus dem zugrunde liegenden Bauteil.
Invarianten (in der Factory gratsparrenAusBauteil(...) prüfen, bei Verletzung Resultat.Fehler mit der jeweiligen GratsparrenEntartet-Variante; niemals Exception):
Stabgeometrie und Bauteilachse vom Typ Bauteilachse.Gerade.
Achsenlänge > Toleranzen.LAENGE_EPS — sonst Nullachse.
Zugeordnete Gratstrecke grat ist Grat.Regulaer mit wohldefinierten Endpunkten — sonst EntarteteGratstrecke.
p_a und p_e liegen auf der Gratlinien-Geraden bis ε_L — sonst NichtAufGratlinie.
‖d_hat_G × t_hat‖ ≤ Toleranzen.KOLLINEAR_EPS — sonst NichtKollinearZurTangente. (§4 HG-Konvention: Kollinearitäts-Test über das normierte Kreuzprodukt mit KOLLINEAR_EPS, nicht über WINKEL_EPS.)
⟨d_hat_G, t_hat⟩ ≥ +1 − Toleranzen.WINKEL_EPS — sonst FalscheRichtung (Konsumenten können durch Achsen-Umkehr automatisch korrigieren).
Edge Cases:
Krüppelwalm-Gratsparren: Gratsparren endet auf einer Mittel- oder Kehlbohle statt am Firstend-Punkt; die Definition bleibt anwendbar, p_e liegt dann auf einer inneren Stelle der Gratstrecke.
Vollwalm-Pyramide: vier Gratsparren laufen an einer Spitze zusammen; jeder einzelne Gratsparren erfüllt die Definition gegen seine eigene Gratstrecke; die Knotenbehandlung an der Spitze ist Aufgabe des Tragwerk- Aggregats.
Ungleichgeneigte Walme: Reduktions-Formel (★) bleibt gültig mit β_plan ≠ 45°; die Definition unverändert anwendbar.
Gratsparren mit Verbearbeitung (Abgratung, Absenkung): die Bauteilachse bleibt die geometrische Schwerlinie; die Bearbeitungen sind separate Geometrie-Modifikationen am Bauteil und nicht Bestandteil der Gratsparren-Definition.
Sehr kleine Walmflächen / kurze Gratstrecke: bei ‖g_{ij}‖ → ε_L wird die Gratstrecke entartet; in diesem Fall liefert die Factory EntarteteGratstrecke.
Abgeleitete Eigenschaften (als Funktionen):
gratsparrenneigung(): Double — = Gratneigung der zugeordneten Gratstrecke, in Radiant. Es gilt tan(α_G) = tan(α) · cos(β_plan) mit α = min(D_i.dachneigung(), D_j.dachneigung()) bzw. allgemein der dachflächen-spezifischen Falllinien-Neigung (Reduktions-Formel als Konsequenz, nicht als Code- Berechnungs-Identität).
dachflaechenPaar(): Pair<Dachflaeche, Dachflaeche> — die beiden zugeordneten Dachflächen (D_i, D_j).
planWinkel(d: Dachflaeche): Double — Grundrissprojektions- Winkel β_plan zwischen Gratlinie und Trauflinie der Dachfläche d; Bemessungs-Hilfsfunktion.
Bezeichner-Konvention (CLAUDE.md): Klasse heißt Gratsparren (deutsch, Glossarbegriff); zugeordnete Gratstrecke ist Grat.Regulaer.

Quellen¶

Primär (normativ):

SIA 232/1:2020, „Geneigte Dächer", Schweizerischer Ingenieur- und Architektenverein, Zürich, Abschnitt 1.
SIA 265:2021, „Holzbau", Schweizerischer Ingenieur- und Architektenverein, Zürich, Abschnitt 4 und 5.
DIN EN 1995-1-1:2010-12, „Eurocode 5: Bemessung und Konstruktion von Holzbauten – Teil 1-1: Allgemeines", Abschnitt 5 und 6.
DIN 1356-1:1995-02, „Bauzeichnungen – Teil 1: Arten, Inhalte und Grundregeln der Darstellung", Abschnitt 5.
DIN 1052:2008-12, „Entwurf, Berechnung und Bemessung von Holzbauwerken", Abschnitt 8 und 12.

Sekundär:

Lignum (Hrsg.): Holzbautabellen HBT. Lignum, Zürich, aktuelle Auflage.
Lignum (Hrsg.): Lignatec — Geneigte Dächer in Holzbauweise. Lignum, Zürich, aktuelle Auflage.
Mönck, W.; Rug, W.: Holzbau – Bemessung und Konstruktion.
Auflage, Beuth Verlag, Berlin 2015.
Natterer, J.; Herzog, T.; Volz, M.: Holzbau-Atlas. 4. Auflage, Birkhäuser, Basel 2003.
Krämer, V.: Grundwissen des Zimmerers. Bruderverlag, Köln 2006.
Koepf, H.; Binding, G.: Bildwörterbuch der Architektur.
Auflage, Kröner, Stuttgart 2005, Eintrag „Gratsparren".
Gerner, M.: Fachwerk – Instandsetzung, Sanierung, Neubau. DVA, 7. Auflage 2007.

Korpus (nicht autoritativ):

Wikipedia, Lemmata „Gratsparren", „Walmdach", „Schifter", „Schiftung", „Dachausmittlung" (abgerufen 2026-05-14).
BauNetz Wissen Glossar „Gratsparren" (baunetzwissen.de/glossar/g/gratsparren-3000593).
zimmerer-treff.com: „Austragung von Schifter und Gratsparren"; „Rechnerischer Abbund von Schifter und Gratsparren"; „Krüppelwalmgratsparren".
polybau.ch: „Austragung Schifter/Gratsparren" (Schweiz).
Bund Deutscher Zimmermeister, Handbuch „Anleitung Kehl-/ Gratsparrengrafik" (zimmerer.de).
Greifswalder Zimmerer: „Gratgrundverschiebung berechnen".
baubeaver.de: „Gratsparren" / „Walmdach-Workshop".
dachdecker.com: „Gratsparren".
Bemessungssoftware: Frilo DGK „Grat- und Kehlsparren"; pbs.de 062J „Holzbau Grat- und Kehlsparren – EC5"; Harzer-Statik „Gratsparren".
Angelsächsische Hip-Rafter-Literatur: sbebuilders.blogspot.com; raftertools.net; jlconline.com (für die Reduktions-Formel und „backing angle" / „dropping the hip" als konstruktive Pendants zu Abgratung und Absenkung).

Nicht verifizierbar (negativer Befund):

Lignum HBT (aktuelle Auflage), spezifische Begriffsbelegung „Gratsparren"; online nicht volltext-indiziert.
Lignatec „Geneigte Dächer in Holzbauweise", spezifische Begriffsbelegung „Gratsparren"; online nicht volltext-indiziert.

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