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Firstpfette

Prosa-Definition

Eine Firstpfette ist eine Pfette eines Dachtragwerks, deren Bauteilachse parallel zum First des zugeordneten Daches verläuft und deren Höhenlage näherungsweise am Firstniveau liegt, und die im Pfettendach (sowie in Mischsystemen mit Pfettenanteil) die Sparren an ihrem Sparrenfirstpunkt trägt.

Mathematische Definition

Sei

  • P eine Pfette im Sinne von pfette mit Bauteilachse a(P) = (p_a, p_e), Richtungs-Einheitsvektor d_hat_P und mittlerer Höhe z_P := (p_a.z + p_e.z) / 2,
  • F ein First im Sinne von first mit Streckenzug-Repräsentation und Richtungs-Einheitsvektor d_hat_F sowie Firstniveau z_F := mittlere Höhe der Firststützpunkte,
  • ε_K := Toleranzen.KOLLINEAR_EPS,
  • δ_z eine konstruktive Höhentoleranz, die die zulässige Differenz zwischen Pfetten- und Firstniveau begrenzt; Default δ_z := h_Pfette + ε_L, wobei h_Pfette die (rechteckige) Pfetten- höhe ist und ε_L = Toleranzen.LAENGE_EPS.

Dann heißt P eine Firstpfette genau dann, wenn die folgenden Bedingungen zusätzlich zu denen von pfette erfüllt sind:

  1. Parallelität zum First: d_hat_P ist kollinear mit d_hat_F, 

    ‖d_hat_P × d_hat_F‖ ≤ ε_K.
    Sinus-Test gegen Kollinearität; nach _KONVENTIONEN.md Sektion 4 ist KOLLINEAR_EPS die einschlägige Toleranz für Parallelitäts-Prädikate.

  2. Firstnah: Die mittlere Höhe der Pfettenachse liegt innerhalb δ_z des Firstniveaus, 

    |z_P − z_F| ≤ δ_z.

  3. Eindeutigkeit am Dach: Es existiert keine andere Pfette P′ ≠ P mit derselben First-Parallelität, deren mittlere Höhe z_{P′} > z_P + ε_L erfüllt; in Worten: die Firstpfette ist die zur Firstrichtung parallele Pfette mit der höchsten Lage im Dach.

Wesentliche abgeleitete Größen:

  • Firstpfettenlänge: ‖p_e − p_a‖ (in mm); im Regelfall geringfügig kleiner als die Firstlänge des Daches (Überstände und Anschnitte abhängig von der Konstruktion).
  • Vertikalabstand zum First: Δz := z_F − z_P (vorzeichen- behaftet); Δz = 0, wenn die Firstpfettenachse auf Firstniveau liegt; Δz > 0, wenn die Firstpfette unmittelbar unter dem First sitzt.

Wohldefiniertheit

  • Existenz: In jedem Pfettendach mit First gibt es eine Firstpfette als oberste Längspfette; die Bedingungen 1–3 sind konstruktiv erfüllbar.
  • Eindeutigkeit: Bedingung 3 stellt sicher, dass nur die oberste First-parallele Pfette als Firstpfette qualifiziert. Bei symmetrischen Doppelfirstkonstruktionen (z. B. zwei Doppelhausanteile) treten zwei Firstpfetten an zwei verschiedenen Firsten auf — diese werden durch die Zuordnung zur jeweiligen First-Instanz F unterschieden.
  • Konsistenz mit hg_pfette.md: Alle Bedingungen aus pfette (Stabgeometrie, Horizontalität, Parallelität zu einer Dachkante) sind erfüllt; Bedingung 1 hier ist die Konkretisierung von Bedingung 3 aus pfette, mit der Dachkante k = First.
  • Wohldefiniertheit von δ_z: Die Höhentoleranz δ_z ist konstruktiv und nicht numerisch; sie hängt vom konkreten Pfettenquerschnitt und der Anschlusskonstruktion (aufliegend, unterhängend, eingelassen) ab. Die Default-Wahl δ_z = h_Pfette + ε_L ist eine pragmatische Obergrenze, die alle üblichen Anschlüsse abdeckt; in der Domänen-Schicht ist δ_z als optionaler Parameter zu führen.
  • Sparrendach-Ausschluss: Im Sparrendach existiert kein First als separates Bauteil-Auflager; die zwei gegenüberliegenden Sparren stützen sich gegenseitig am Firstanschnitt. Eine Firstpfette ist in diesem System nicht vorgesehen und sollte nicht modelliert werden.
  • Nicht-Zirkularität: Die Definition stützt sich nur auf bereits definierte Begriffe (pfette, bauteilachse, first, dachkante, toleranzen).

Erläuterung (nicht normativ)

Die Firstpfette nimmt die Sparrenfirstpunkt-Lasten beider Dachseiten auf und leitet sie über ihre Auflager (Stuhlsäulen, Giebelwände, Stirnwände) ab. Sie ist im Pfettendach ein charakteristisches Tragelement und wird oft sichtbar belassen.

Lage relativ zum First

Drei konstruktive Anordnungen sind verbreitet:

  • Unterfirstpfette (häufigste Variante): Pfettenoberkante liegt unter dem Firstniveau; der Sparrenfirstpunkt wird über die Pfette geführt und am First (durch Anschnitt mit dem gegenüberliegenden Sparren oder durch Firstbrett) verschlossen.
  • Firstpfette in Firstniveau (Aufsatzpfette): Pfettenoberkante liegt exakt auf Firstniveau; die Sparrenfirstpunkte sitzen seitlich auf der Firstpfette auf, der First wird durch Firstziegel oder Firstbohle gebildet.
  • Aufgesattelte Firstpfette (selten, bei stark unterschiedlichen Dachneigungen oder Sparren-Aufdoppelung): die Firstpfette liegt über dem First, gestützt durch zusätzliche Konstruktion.

Verbindung zu Sparren

Typische Verbindung zwischen Sparren und Firstpfette:

  • Versatz (Stirnversatz oder Klauenversatz),
  • Aufkämmung des Sparrens auf die Firstpfette,
  • Anschlag des Sparrens an der Firstpfette mit Verbindungsmittel-Sicherung (Schrauben, Sparrenpfettenanker),
  • in modernen Systemen: vorgefertigte Stahl-Sparrenpfettenanker.

Firstpfettenhöhe als primärer Eingabeparameter im Sparren-Tool

Im Sparren-Tool der App (Etappe 3.3) ist die Firstpfettenhöhe der primäre Eingabeparameter für die Höhenausdehnung des Sparrens. Sie bezeichnet die vertikale Höhendifferenz zwischen dem Bleischnitt-Punkt der Firstpfettenkerve und dem Bleischnitt-Punkt der Fußpfettenkerve (= lokale Bezugskote, siehe fusspfette und bezugsebene). Einheit: mm, gemessen entlang der Welt-z-Achse.

Diese Wahl entspricht der Werkplan-Praxis: im Vertikalschnitt eines Daches sind Firstpfetten- und Fußpfettenhöhe als vertikale Höhenkoten eingetragen, nicht als Distanz entlang der Sparrenachse. Die SEMA-Profil-Eingabe (Firsthöhe + Traufhöhe als Profilparameter) und die Cadwork-Konvention (Bezugspunkt OK Fußpfette für Dachebenen-Höhen) bestätigen diese Logik.

Axialer Kervenabstand s (p_K-basiert, kanonisch)

Die Position der Firstpfettenkerve entlang der Sparren-Bauteilachse („axiale Kervposition", relevant für BTLx-Export und Maschinenübergabe) ist als Abstand der beiden Bleischnitt-Punkte p_K der Fußpfetten- und der Firstpfettenkerve auf der Sparren-Bauteilachse A(B) definiert. Sei p_K^Fuß ∈ A(B) der Bleischnitt-Punkt der Fußpfettenkerve und p_K^First ∈ A(B) der Bleischnitt-Punkt der Firstpfettenkerve, je gemäß hg_kerve.md Gleichungen (7a)/(7b) (Schnittpunkt der vorderen Kervflanke g₁ mit der Bauteilachse). Da p_K^Fuß und p_K^First beide auf der Bauteilachse A(B) liegen, ist ihre Verbindung kollinear mit dem Bauteilachsen-Richtungsvektor d_hat; mit der Vorzeichenkonvention aus hg_sparren.md (d_hat zeigt bergauf, also entgegen e_hat_fall) gilt

s  :=  ⟨ p_K^First − p_K^Fuß ,  d_hat ⟩                            (s.1)
    =  ‖ p_K^First − p_K^Fuß ‖,                                 (s.2)

wobei (s.1) die vorzeichen-behaftete skalare Projektion auf die Bauteilachse ist und (s.2) ihre Norm-Form für den Regelfall p_K^First „bergauf von" p_K^Fuß (positives Vorzeichen). s ist damit der axiale Kervenabstand entlang der Bauteilachse und identisch mit dem gleichnamigen Eintrag in der Sparrenlängen- Symbol-Tabelle in hg_sparren.md (Sparren-Pipeline-Begriffe).

Lesart: s misst direkt entlang der Bauteilachse, also entlang derjenigen Richtung, in der das Werkzeug am Sparren verfährt; dies ist die in BTLx und in der Werkplan-Bemassung erwartete Lesart der „Kervenposition" am Sparren.

Spezialfall: z-Differenz / sin(α)

Im idealisierten Fall — Pfetten waagerecht, Standardklauenkerven mit α₁ = π/2 (vordere Kervflanke senkel, p_K auf gleicher Höhe wie die Pfettenoberkante in z), Sparrenachse exakt in der Trägerebene der Dachfläche und entgegen e_hat_fall gerichtet — sind die z-Koordinaten von p_K^Fuß und p_K^First genau die jeweiligen Pfettenhöhen, und die Bauteilachse ist um die Dachneigung α gegen die Horizontale geneigt. Dann folgt aus (s.2) die geschlossene Form

s  =  ( z(p_K^First) − z(p_K^Fuß) ) / sin(α)                    (s.3)
   =  ( firstpfetteHoehe − fusspfetteHoehe ) / sin(α).          (s.4)

Lesart: (s.4) ist eine Konsequenz von (s.1)/(s.2) im idealisierten Fall, kein eigenständiger Definitionsterm. Bei geneigten Pfetten, abweichenden Flankenwinkeln (α₁ ≠ π/2, cot α₁ ≠ 0) oder einer Bauteilachse ausserhalb der Trägerebene weicht die z-Differenz der p_K-Punkte von der Differenz der Pfettenhöhen ab; in diesen Fällen liefern (s.1)/(s.2) das geometrisch korrekte Ergebnis, (s.3)/(s.4) hingegen nur eine Näherung. Die kanonische Form ist (s.1)/(s.2); (s.3)/(s.4) wird als idealisierter Spezialfall geführt.

Hintergrund und Recherche-Stand siehe docs/recherche/2026-05-10_sparrenmessung_neubau.md.

Verbindung zu Stützen / Stuhlsäulen

Die Firstpfette wird in regelmäßigen Achsabständen durch Stuhlsäulen, Giebelwände oder Stirnwände unterstützt. Typische Verbindungen:

  • Zapfen zwischen Pfettenende und Säulenkopf,
  • Versatz auf einem Säulenkopf-Sattel,
  • Knaggenanschluss (knagge als Konsole zur Auflagerung).

Beziehungen

  • Oberbegriff: pfette. Die Firstpfette ist eine Pfette mit zusätzlicher Lagebedingung am First.
  • Bestandteile (partitiv): geerbt von pfette (Bauteilachse, Querschnitt, Werkstoff, Faserrichtung).
  • Verwendung / Beziehung zu anderen Bauteilen:
  • First (first): die Dachkante, parallel zu der die Firstpfette liegt.
  • Sparren (sparren): liegt mit dem Sparrenfirstpunkt auf der Firstpfette auf (Pfettendach) bzw. wird durch sie unterstützt (Mischsystem).
  • Stuhlsäule (stuhlsaeule, eigener Eintrag folgt): Stütze, die die Firstpfette an Zwischenpunkten trägt.
  • Giebelwand / Stirnwand: traditionelle Auflager der Firstpfette an den Dach-Stirnseiten.
  • Abgrenzung:
  • First (first): die geometrische Schnittkante zweier Dachflächen am höchsten Punkt; die Firstpfette ist ein materialbehaftetes Stabbauteil, das unter oder am First liegt. First und Firstpfette sind nicht identisch (Geometrie vs. Bauteil), liegen aber parallel zueinander.
  • Mittelpfette (mittelpfette): liegt zwischen Fuß- und Firstpfette, also weiter unten am Dach.
  • Fußpfette (fusspfette): liegt am Sparrenfuß, also weit unten am Dach.
  • Sparren (sparren): geneigtes Bauteil, das auf der Firstpfette aufliegt; nicht selbst Pfette.
  • Kehlbalken (kehlbalken): horizontaler Querbalken zwischen einem Sparrenpaar; trägt keine Sparren in Längsrichtung. Keine Firstpfette.

Implementierungshinweis

Datentyp (Domänen-Schicht, Kotlin, Schicht domain.bauteil):

package domain.bauteil

import domain.Toleranzen
import domain.bauteil.Bauteil
import domain.bauteil.Pfette
import kotlin.math.abs

/**
 * Firstpfette: Pfette parallel zum First, am Firstniveau.
 * Glossar: hg_firstpfette.md
 *
 * Vorzeichenkonvention für die Bauteilachse: gemäß lokaler
 * Bezeichnungskonvention (geerbt von Pfette); typisch in
 * Welt-x-Richtung steigend.
 */
data class Firstpfette(
    override val bauteil: Bauteil,
    val first: First,
    val deltaZMax: Double = Toleranzen.LAENGE_EPS    // δ_z
) : Pfette.Firstpfette() {

    init {
        // 1. Pfetten-Bedingungen aus Pfette geerbt (Stabgeometrie,
        //    Horizontalität, Parallelität zu einer Dachkante).
        // 2. Parallelität zum First (Bedingung 1 aus hg_firstpfette.md):
        //    ‖d_hat_P × d_hat_F‖ ≤ Toleranzen.KOLLINEAR_EPS — sonst
        //    Resultat.Fehler(FirstpfetteEntartet.NichtParallel).
        //    Sinus-Test, bevorzugt für Parallelitäts-Prädikate;
        //    siehe hauptglossar/_KONVENTIONEN.md Sektion 4.
        // 3. Firstnah (Bedingung 2):
        //    |z_P − z_F| ≤ deltaZMax — sonst
        //    FirstpfetteEntartet.NichtFirstnah.
        // 4. Eindeutigkeit (Bedingung 3) wird im Tragwerks-Kontext
        //    geprüft, nicht in init (Cross-Cutting).
    }
}

sealed class FirstpfetteEntartet {
    object NichtParallel : FirstpfetteEntartet()
    object NichtFirstnah : FirstpfetteEntartet()
    object MehrdeutigImTragwerk : FirstpfetteEntartet()
}
  • Einheit: Längen in mm; Winkel intern in Radiant.
  • Identität: BauteilId aus dem zugrunde liegenden Bauteil.
  • Invarianten (zusätzlich zu denen von Pfette):
  • Parallelität zum First — sonst NichtParallel.
  • Firstnähe — sonst NichtFirstnah.
  • Eindeutigkeit als oberste First-parallele Pfette im Tragwerk — sonst MehrdeutigImTragwerk (Cross-Cutting).
  • Edge Cases:
  • Sparrendach: keine Firstpfette zu modellieren.
  • Mehrere Firste am selben Dach (Walmdach hat keinen durchgehenden First; Krüppelwalm hat einen verkürzten First): je First mindestens eine Firstpfette zulässig; die Eindeutigkeit (Bed. 3) bezieht sich auf den jeweiligen First.
  • Aufgesattelte Firstpfette: z_P > z_F. δ_z muss in diesem Fall entsprechend angepasst werden, sonst greift NichtFirstnah.
  • Abgeleitete Eigenschaften:
  • getrageneSparrenfirstpunkteIn(t: Tragwerk): List<Sparren> — Sparren in t, deren Sparrenfirstpunkt p_e auf der Firstpfettenachse innerhalb Toleranzen liegt. (Frühere Fassung hiess getrageneSparrenkoepfeIn(...); die Umbenennung zieht die Konvention „Sparrenfirstpunkt" aus hg_sparren.md nach.)

Quellen

Primär (normativ):

  • SIA 265:2021, „Holzbau".
  • SIA 232/1:2020, „Geneigte Dächer".
  • DIN EN 1995-1-1:2010-12, „Eurocode 5".
  • DIN 1052:2008-12.

Sekundär:

  • Lignum (Hrsg.): Holzbautabellen HBT. Aktuelle Auflage.
  • Lignum (Hrsg.): Lignatec — Geneigte Dächer in Holzbauweise.
  • Mönck, W.; Rug, W.: Holzbau – Bemessung und Konstruktion.
  • Auflage, Beuth, Berlin 2015.
  • Natterer, J.; Herzog, T.; Volz, M.: Holzbau-Atlas. 4. Auflage, Birkhäuser, Basel 2003.
  • Gerner, M.: Fachwerk – Instandsetzung, Sanierung, Neubau. DVA, 7. Auflage 2007.

Korpus (nicht autoritativ):

  • Holzbau Deutschland, Merkblatt „Begriffe und Klassifizierungen für den Holzbau" (abgerufen 2026-05-08).
  • Wikipedia, Lemma „Pfette" (abgerufen 2026-05-08).

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