Dachschräge

Prosa-Definition¶

Eine Dachschräge ist diejenige zur Trägerebene einer Dachfläche parallele, ebene und polygonal begrenzte Fläche, die innerhalb des umbauten Raumes als raumseitige Begrenzung des Dachgeschosses sichtbar ist und gegenüber der zugehörigen Dachfläche um die Dicke des Dachaufbaus entlang der nach innen gerichteten Flächennormalen versetzt ist.

Mathematische Definition¶

Sei

D = (E, P, n_a) eine Dachfläche im Sinne von dachflaeche mit Trägerebene
```
E = { x ∈ ℝ³ | ⟨n_a, x − p₀⟩ = 0 },
```
Umrisspolygon P = (v₁, …, v_k) und nach außen gerichteter Einheits-Normale n_a ∈ S² mit ⟨n_a, e_z⟩ ≥ 0,
A = (𝒟, 𝒮, H) ein Dachaufbau im Sinne von dachaufbau mit D ∈ 𝒟 und Schichtfolge 𝒮 = (S₁, …, S_k) (von innen nach außen, S_j mit Dicke d_j > 0),
d_A := Σ_{j=1..k} d_j die Gesamtdicke des Dachaufbaus auf D (siehe dachaufbau).

Dann ist die Dachschräge zu D die Fläche

S(D, A) := (E_S, P_S, n_S)

mit

innenseitiger Trägerebene

E_S := { x ∈ ℝ³ | ⟨n_a, x − p₀⟩ = 0 } − d_A · n_a
     = { y + (− d_A) · n_a | y ∈ E }
     = { z ∈ ℝ³ | ⟨n_a, z − (p₀ − d_A · n_a)⟩ = 0 },

also der um −d_A · n_a verschobenen Ebene E,

innenseitigem Polygon
```
P_S := (v₁ − d_A · n_a, …, v_k − d_A · n_a),
```
also dem starr nach innen verschobenen Umriss von D,
innenseitiger Normale
```
n_S := − n_a ∈ S²,
```
also der raumseitigen, in den Innenraum weisenden Einheits-Normale (⟨n_S, e_z⟩ ≤ 0).

Die so definierte Fläche heißt Dachschräge der Dachfläche D (unter dem Dachaufbau A) genau dann, wenn

d_A > Toleranzen.LAENGE_EPS (positiver Versatz),
F(P_S) ist nicht-degeneriert, also Flächeninhalt(F(P_S)) > 0 (folgt aus 1 und der Nichtentartetheit von P, da starre Translation den Flächeninhalt erhält),
⟨n_a, e_z⟩ > Toleranzen.WINKEL_EPS (D ist nicht horizontal — bei α(D) = 0 spricht man im Innenausbau von einer Decke, nicht von einer Dachschräge; siehe Edge Cases).

Wohldefiniertheit¶

Existenz: Für jede geneigte Dachfläche D mit zugeordnetem Dachaufbau A positiver Gesamtdicke ist S(D, A) konstruktiv wohldefiniert; die starre Translation x ↦ x − d_A · n_a ist bijektiv und ebenenerhaltend.
Eindeutigkeit: S(D, A) ist eindeutig bestimmt durch D und A (über d_A = Σ d_j und n_a). Wechselt der Aufbau A (z. B. durch zusätzliche Innenbekleidung), ändert sich d_A und damit S entsprechend.
Unabhängigkeit vom Stützpunkt p₀: Die Konstruktion verwendet p₀ nur, um E zu beschreiben; das Ergebnis hängt nur von der Trägerebene als Punktmenge ab, nicht von der Wahl von p₀ ∈ E. Eine andere Wahl p₀' ∈ E liefert dieselbe Ebene E_S.
Konsistenz mit Dachaufbau: Die Dicke d_A wird ausschließlich aus der Schichtfolge 𝒮 gebildet (siehe dachaufbau); damit ist S(D, A) konsistent mit der dort gewählten Schichtmodellierung (insbesondere auch bei nur einer einzelnen Schicht).
Parallelität zur Dachfläche: E und E_S haben dieselbe Normale n_a (bis aufs Vorzeichen) und sind daher parallel; der Abstand zwischen ihnen ist exakt d_A.
Inversion: Aus S lässt sich D zurückgewinnen über die Translation x ↦ x + d_A · (−n_S) = x + d_A · n_a. Die Konstruktion ist also umkehrbar.
Nicht-Zirkularität: Die Definition stützt sich nur auf ebene, polygon, vektor, einheitsvektor, dachflaeche, dachaufbau und toleranzen. Sie kommt nicht in ihrer eigenen Definition vor.

Erläuterung (nicht normativ)¶

Die Dachschräge ist die vom Wohnraum aus sichtbare Untersicht der Dachkonstruktion. In einem zum Wohnraum ausgebauten Dachgeschoss ist sie die Fläche, die der Bewohner über sich sieht — bei Sichtsparrenkonstruktionen direkt die Holzschalung zwischen den Sparren, bei klassischer Trockenbau-Ausführung die Innenbekleidung aus Gipsplatten oder Holzpaneelen.

Geometrisch ist die Dachschräge die zur Dachfläche parallele innenseitige Bezugsfläche, verschoben um die Dicke des Dachaufbaus nach innen. Während die Dachfläche D die außen-bezogene Geometrie für Eindeckung, Schneelast und Windlast trägt, ist die Dachschräge S(D, A) die innen-bezogene Geometrie für:

Raumvolumen und Wohnfläche (Anrechenbarkeit nach jeweiligem kantonalem Baurecht bzw. nach DIN 277),
Stehhöhe und ergonomische Möblierungsplanung,
Innenausbau-Flächen (Bekleidung mit Gipsplatten nach DIN 18181, Holzpaneelen, Sichtschalung),
Lichtreflexion und visuelle Wirkung des Dachgeschossraumes.

Verhältnis zu Dachneigung und Dachfläche (häufige Verwechslung):

Dachneigung ist ein Winkel (Skalar in [0, π/2]), kein geometrisches Objekt.
Dachfläche ist die außenseitige Bezugsfläche.
Dachschräge ist die innenseitige Bezugsfläche.
Dachfläche und Dachschräge haben dieselbe Dachneigung α (sie sind parallel); der Winkel α ist eine Eigenschaft beider.

Idealisierung: Die Definition setzt voraus, dass der Dachaufbau in der relevanten Dicke d_A konstant über der Dachfläche ist. Bei Aufdoppelungen, Gefälledämmungen oder lokaler Mehrlagigkeit weicht die reale Innensicht von der idealisierten Dachschräge ab; solche Fälle erfordern eine ortsabhängige Schichtmodellierung (siehe dachaufbau-Erläuterung).

Bauphysikalische Relevanz: Die Dachschräge ist die raumseitige Bauteilebene im Sinne von DIN 4108-3; an ihr werden die Innenraumtemperatur und -feuchte angesetzt, was für die Tauwasserrechnung im Schichtaufbau maßgeblich ist.

Beziehungen¶

Oberbegriff: ebene mit polygonaler Berandung (analog zu dachflaeche).
Verwandt (parallel-versetzt): dachflaeche. Eine Dachschräge ist die zur Dachfläche parallele, raumseitige Versatz-Fläche.
Bestandteile (partitiv): Polygonpunkte v_i − d_A · n_a; Trägerebene E_S; raumseitige Normale n_S = −n_a.
Verwendungskontext:
Innenausbau (Bekleidung mit Gipsplatten nach DIN 18181, Holzschalung, Sichtsparren): die Dachschräge ist die Bezugs- fläche für die Bekleidungsmontage.
Wohnflächenrechnung: Stehhöhe und anrechenbare Fläche werden über die Schnittlinie der Dachschräge mit horizontalen Höhenniveaus (z. B. 1,00 m, 2,00 m) bestimmt.
Abgrenzung:
Dachfläche (dachflaeche): außenseitige Bezugsfläche; die Dachschräge ist die zugehörige innenseitige Versatzfläche um d_A · (−n_a). Beide sind Flächen, parallel, aber verschieden.
Dachneigung (dachneigung): Winkel α, kein geometrisches Objekt. Im umgangssprachlichen Gebrauch oft mit Dachschräge verwechselt; im Glossar trennscharf.
Dachseite (dachseite, eigener Eintrag): eine Dachfläche unter Orientierungs-Annotation (Wetterseite, Sonnenseite). Außenseitig bezogen, nicht innenseitig.
Dachhaut (dachhaut): geometrische Außen-Hüllfläche über dem Dachaufbau. Die Dachschräge ist das innenseitige Gegenstück, nicht synonym.
Dachaufbau (dachaufbau): die materielle Schichtfolge zwischen Dachfläche und Dachschräge. Die Dachschräge ist die untere (raumseitige) Hüllfläche dieser Schichtfolge.
Decke: bei α(D) = 0 (Flachdach) wird die innenseitige Bezugsfläche Decke genannt, nicht Dachschräge. Die Bedingung 3 in der Definition schließt diesen Fall aus.
Kniestockwand: senkrechte Wand zwischen Dachschräge und Geschossdecke; eigener Begriff, hier nicht weiter behandelt.
Entartet-Variante: Entartet.KeineInnenSichtbar — pragmatisch, falls der Dachgeschossraum durch eine abgehängte Decke gegen den Sparrenraum abgetrennt ist und die Dachschräge nicht als raumseitig sichtbare Fläche existiert; die formale Geometrie bleibt aber konstruierbar, die Entartung ist semantisch (Sichtbarkeit), nicht geometrisch.

Implementierungshinweis¶

Datentyp (Domänen-Schicht, Kotlin, Schicht domain.bauteil):

package domain.bauteil

import domain.geometrie.Ebene
import domain.geometrie.Polygon
import domain.geometrie.Vektor
import domain.geometrie.Einheitsvektor
import domain.Toleranzen

/**
 * Dachschräge: raumseitige Bezugsfläche zu einer Dachfläche,
 * parallel verschoben um die Gesamtdicke des Dachaufbaus.
 * Glossar: hg_dachschraege.md
 */
data class Dachschraege(
    val traeger: Ebene,                 // E_S
    val umriss: Polygon,                // P_S, Eckpunkte ∈ traeger
    val raumseitigeNormale: Einheitsvektor   // n_S = −n_a
) {
    init {
        // Invarianten siehe unten
    }

    companion object {
        /**
         * Konstruiert die Dachschräge aus einer Dachfläche und ihrem
         * Dachaufbau über starre Translation um −d_A · n_a.
         */
        fun ausDachflaeche(
            d: Dachflaeche,
            a: Dachaufbau
        ): Resultat<Dachschraege, EntartetGeometrie> {
            val dA = a.gesamtdicke()
            if (dA <= Toleranzen.LAENGE_EPS)
                return Resultat.Fehler(EntartetGeometrie.NullVersatz)
            val nA = d.aeussereNormale
            // Versatz nach innen
            val versatz = Vektor(-dA * nA.x, -dA * nA.y, -dA * nA.z)
            val neuesPolygon = Polygon(
                d.umriss.eckpunkte.map { it + versatz }
            )
            val nS = Einheitsvektor.ausVektor(
                Vektor(-nA.x, -nA.y, -nA.z)
            ).werteOder { return Resultat.Fehler(it) }
            val neueEbene = Ebene.ausPunktUndNormale(
                neuesPolygon.eckpunkte.first(), nS
            )
            return Resultat.Erfolg(
                Dachschraege(neueEbene, neuesPolygon, nS)
            )
        }
    }

    sealed class Entartet {
        object KeineInnenSichtbar : Entartet()    // semantisch, nicht geometrisch
        object NullVersatz : Entartet()           // d_A ≤ LAENGE_EPS
        object Horizontal : Entartet()            // α(D) ≈ 0 → Decke, nicht Dachschräge
    }
}

Einheit: Polygonpunkte in mm (Double); Normale dimensionslos.
Invarianten (in init-Block bzw. Factory prüfen, niemals Exception werfen):
Alle Eckpunkte ∈ traeger (mit Toleranzen.LAENGE_EPS).
Polygon-Flächeninhalt > Toleranzen.FLAECHE_EPS.
‖raumseitigeNormale‖ ∈ 1 ± Toleranzen.NORM_EPS.
⟨raumseitigeNormale, e_z⟩ ≤ Toleranzen.WINKEL_EPS (n_S zeigt in die untere Halbkugel oder Horizontale, da n_a in die obere).
Edge Cases:
d_A → 0 (kein Dachaufbau, etwa offene Pergola): Konstruktion liefert Resultat.Fehler bzw. EntartetGeometrie.NullVersatz. Die Dachschräge wäre mit der Dachfläche identisch und damit kein eigenständiges Objekt.
α(D) = 0 (Flachdach): per Definition ausgeschlossen (Bedingung 3). Die innenseitige Fläche ist dann eine Decke; die Domänen-Klasse liefert Entartet.Horizontal.
Nicht-konstanter Aufbau (Aufdoppelung, Gefälledämmung): nicht von dieser Definition abgedeckt; die Idealisierung als Skalar d_A versagt. Erweiterung über ortsabhängige Dicke d_A(x) erforderlich.
Abgehängte Innenbekleidung: bildet eine zweite raumseitige Fläche unterhalb der idealisierten Dachschräge; formale Behandlung über einen erweiterten Dachaufbau, der die Innenbekleidung als zusätzliche Schicht trägt, und Re-Konstruktion der Dachschräge mit aktualisiertem d_A.
Sichtsparren-Konstruktion: die Dachschräge ist nicht durchgängig eine ebene Fläche, sondern wechselt zwischen Sparren-Untersicht und Schalungs-Untersicht. Idealisiert wird sie auf die unterste, raumseitig sichtbare Holzschicht bezogen; eine differenzierte Modellierung erfolgt erst in Folgearbeit (eigener Eintrag sichtdach).
Abgeleitete Operationen:
dachneigung(): Double (Radiant) = arccos(⟨−raumseitigeNormale, e_z⟩); identisch zur Dachneigung der zugehörigen Dachfläche.
flaecheninhalt(): Double (mm²) aus dem Umriss-Polygon; identisch zur Dachfläche, da starre Translation flächenerhaltend ist.
stehhoehenLinie(z₀: Double): Strecke? — Schnitt der Dachschräge mit der Horizontalebene z = z₀, als Hilfsgröße für Wohnflächenrechnungen (z. B. z₀ = 2000 mm). In Folgearbeit näher zu definieren.

Quellen¶

Primär (normativ):

SIA 232/1:2020, „Geneigte Dächer", Schweizerischer Ingenieur- und Architektenverein, Zürich, Abschnitt 2.
DIN 4108-3:2018-10, „Wärmeschutz und Energie-Einsparung in Gebäuden – Teil 3: Klimabedingter Feuchteschutz".
DIN 18181:2014-08, „Gipsplatten im Hochbau – Verarbeitung", Abschnitt 5.

Sekundär:

Lignum (Hrsg.): Lignatec — Geneigte Dächer in Holzbauweise. Lignum, Zürich, aktuelle Auflage.
Mönck, W.; Rug, W.: Holzbau – Bemessung und Konstruktion.
Auflage, Beuth Verlag 2015.
Gerner, M.: Fachwerk – Instandsetzung, Sanierung, Neubau. DVA, 7. Auflage 2007.
Holzbau Deutschland, Merkblatt „Begriffe und Klassifizierungen für den Holzbau".

Korpus (nicht autoritativ):

Wikipedia, Lemma „Dachschräge" (abgerufen 2026-05-08).

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