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Bauteilachse

Prosa-Definition

Die Bauteilachse eines Stabbauteils ist die Achse, die durch die Flächenschwerpunkte aller rechtwinklig zu ihr geschnittenen Querschnitte des Bauteils verläuft, im häufigen geraden Fall als Strecke zwischen Anfangs- und Endquerschnittsschwerpunkt, im allgemeinen Fall als Streckenzug oder Kurve, und damit die geometrische Hauptachse des Bauteils im Sinne der Längsausdehnung.

Mathematische Definition

Sei

  • B ein Stabbauteil im Sinne von bauteil mit geometrie ∈ 𝒢_stab (1D-dominant; siehe bauteil),
  • K(s) ⊂ ℝ³ der Querschnitt von B an der Stelle s ∈ [0, L] der natürlichen Längsparameterisierung (eine ebene, beschränkte Punktmenge rechtwinklig zur Bauteilachse; siehe querschnitt),
  • z(s) ∈ ℝ³ der Flächenschwerpunkt des Querschnitts K(s) (Centroid),
  • L > 0 die Bauteillänge entlang der Bauteilachse.

Dann ist die Bauteilachse von B die Punktmenge

A(B) := { z(s) ∈ ℝ³ | s ∈ [0, L] }

zusammen mit ihrer natürlichen Parametrisierung s ↦ z(s).

Gerader Fall (prismatisches Stabbauteil, dominant im Holzbau): Wenn alle Querschnittsschwerpunkte z(s) auf einer gemeinsamen Geraden g ⊂ ℝ³ liegen, ist die Bauteilachse die Strecke

A(B) = [z(0), z(L)] ⊂ g,

mit Anfangspunkt p_a := z(0), Endpunkt p_e := z(L), Trägergerade g = g(p_a, p_e − p_a) und Länge L = ‖p_e − p_a‖. Als Achse im Sinne von achse ist A(B) = (g, ρ = Bauteilhauptachse).

Gekrümmter Fall (selten, z. B. gebogene Brettschichtholz-Bögen): Wenn die Schwerpunkte z(s) keine gemeinsame Gerade bilden, ist A(B) ein Streckenzug (bei polygonaler Approximation) oder eine glatte Kurve. In der Domänen-Schicht wird der gekrümmte Fall durch Diskretisierung als Streckenzug repräsentiert (siehe streckenzug).

Vorzeichenkonvention (wesentlich, da eine Strecke zwei mögliche Orientierungen hat): Die Bauteilachse trägt eine kanonische Richtung d_hat = (p_e − p_a) / ‖p_e − p_a‖ ∈ S². Die Wahl von p_a (Anfangspunkt) und p_e (Endpunkt) ist nicht auf der Ebene des generischen Bauteilachsen-Begriffs festgelegt, sondern durch das konkrete Bauteil (Sparren, Pfette, Stütze etc.) zu konkretisieren. Empfohlene Konventionen für Spezialisierungen:

  • Stütze: p_a unten, p_e oben (d_hat lotrecht nach oben, d_hat = +e_z im lotrechten Standardfall).
  • Sparren (und andere Bauteilrollen mit Falllinien-Bezug — Gratsparren, Kehlsparren): p_a an der Traufe, p_e am Sparrenfirstpunkt; d_hat zeigt entgegen der Falllinie der getragenen Dachfläche, also bergauf von der Traufe zum Sparrenfirstpunkt. Formal: 
    ⟨d_hat, e_hat_fall⟩ < 0    (d_hat und e_hat_fall sind antiparallel im prismatischen
                     Idealfall).
    Hintergrund: e_hat_fall zeigt per Konvention nach unten (⟨e_hat_fall, e_z⟩ ≤ 0; siehe falllinie, Abschnitt „Symbol-Konvention"). Die anschauliche Lesart „d_hat in Falllinien- Richtung" ist damit zweideutig und wird hier zugunsten der präzisen Vorzeichen-Aussage „d_hat entgegen e_hat_fall" abgelöst.
  • Pfette (horizontale Bauteilrolle ohne Falllinien-Bezug — Fußpfette, Mittelpfette, Firstpfette): Die Vorzeichen-Empfehlung ist hier nicht von einer Falllinie abgeleitet, sondern von der Bauteilrolle und dem lokalen Bezeichnungs-Kontext (z. B. niedrigeres x in Welt-Koordinaten als p_a, höheres als p_e; oder steigende Achs-Bezeichnung A → B → C). Die konkrete Festlegung steht in den Einträgen hg_pfette.md, hg_fusspfette.md, hg_mittelpfette.md, hg_firstpfette.md (Forward-Verweis nach _KONVENTIONEN.md Sektion 6).

Diese Konkretisierungen werden in den jeweiligen Bauteilrollen- Einträgen (stuetze, sparren, pfette) festgelegt; auf der Ebene des generischen Begriffs bauteilachse ist die Vorzeichenkonvention durch die Bauteilrolle festzulegen. Insbesondere gilt: die Falllinien-Vorzeichen-Aussage greift nur bei Bauteilrollen mit Falllinien-Bezug; für horizontale Bauteilrollen ist sie nicht anwendbar.

Wesentliche abgeleitete Größen (gerader Fall):

  • Trägergerade: g = g(p_a, p_e − p_a).
  • Richtungs-Einheitsvektor: d_hat = (p_e − p_a) / ‖p_e − p_a‖.
  • Bauteillänge: L = ‖p_e − p_a‖ (in mm).
  • Anfangs- und Endquerschnitt: K(0) bzw. K(L) als ebene Punktmengen rechtwinklig zu d_hat in p_a bzw. p_e.

Wohldefiniertheit

  • Existenz: Für jedes Stabbauteil mit nicht-degeneriertem Querschnitt entlang der Bauteillänge ist der Flächenschwerpunkt z(s) jedes Querschnitts wohldefiniert (klassisches Resultat der ebenen Geometrie); die Punktmenge A(B) = { z(s) | s ∈ [0, L] } ist daher als Bild einer stetigen Funktion existent.
  • Eindeutigkeit (gerader Fall): Wenn die z(s) kollinear sind, ist die Bauteilachse als Strecke [z(0), z(L)] eindeutig bestimmt (modulo Vorzeichenkonvention; siehe oben). Die Trägergerade ist durch zwei verschiedene Punkte p_a ≠ p_e eindeutig.
  • Wohldefiniertheit der Querschnitts-Rechtwinkligkeit: Die Definition setzt voraus, dass jeder Querschnitt K(s) rechtwinklig zur Bauteilachse selbst gewählt ist — eine zirkuläre Bedingung beim ersten Lesen. Die Auflösung: in der Praxis wird die Bauteil- achse zuerst durch die Bauteilkonstruktion festgelegt (zwei Endpunkte oder eine Mittellinie), und die Querschnitte werden per Konstruktion rechtwinklig zu ihr definiert. Im prismatischen Fall (häufigster Fall im Holzbau) ist diese Konstruktion trivial. Bei gekrümmten Bauteilen ist die Bauteilachse als Schwerlinie der konstruktiv vorgegebenen Querschnitte definiert; Existenz und Eindeutigkeit folgen dann iterativ über das Frenet-Serret-System (siehe Sekundärliteratur, Differentialgeometrie der Schwerlinien).
  • Vorzeichenkonvention: Die Wahl von d_hat ∈ {±(p_e − p_a)/L} ist durch die Bauteilrolle festzulegen; ohne diese Festlegung ist die Bauteilachse als ungerichtete Achse wohldefiniert (Element von achse ohne Richtungsannotation), als gerichtete Achse jedoch nur modulo Vorzeichen.
  • Nicht-Zirkularität: Die Definition stützt sich auf achse, gerade, strecke, streckenzug, bauteil und den Flächenschwerpunkt als bekanntes Konstrukt der ebenen Geometrie (Folgearbeit als eigener Eintrag möglich). Sie kommt nicht in ihrer eigenen Definition vor.
  • Bauteilachse ≠ Faserrichtung: Die Bauteilachse ist eine geometrische Größe (Strecke bzw. Achse in ℝ³); die Faserrichtung ist eine materialbezogene Größe (Einheitsvektor in der Rolle „Materialhauptachse"). Beide werden in der Domänen-Schicht getrennt geführt; die Faserneigung (siehe hg_faserrichtung.md) ist der Tangens des Winkels zwischen ihnen.

Erläuterung (nicht normativ)

Die Bauteilachse ist die zentrale Bezugsachse jedes Stabbauteils im Holzbau. An ihr werden gemessen:

  • die Bauteillänge als Abstand der Endquerschnittsschwerpunkte entlang der Achse;
  • die Schnittgrößen (Normalkraft, Querkraft, Biegemoment) der Tragwerksberechnung, die als Belastungen entlang und quer zur Bauteilachse formuliert sind;
  • die Faserneigung nach DIN 4074-1 als Winkel zwischen Faser und Bauteillängsachse;
  • die Anschlusspunkte mit anderen Bauteilen (z. B. „Sparren- fuß" als Punkt auf der Bauteilachse mit Abstand 0 vom Anfangs- punkt).

Anwendungsbeispiele für die Vorzeichenkonvention:

  • Sparren: typischerweise hat p_a an der Traufe (unten am Dach) und p_e am Sparrenfirstpunkt (oben am Dach); d_hat zeigt entgegen der Falllinie der getragenen Dachfläche, also bergauf von der Traufe zum Sparrenfirstpunkt (⟨d_hat, e_hat_fall⟩ < 0; siehe falllinie). Das ist konsistent mit der Konvention im Werkplan, dass Sparrenlängen „vom Sparrenfuß bis zum Firstanschnitt" gemessen werden.
  • Pfette (Fußpfette, Mittelpfette, Firstpfette): typischerweise horizontal entlang der Traufe oder des Firsts; p_a und p_e an den Enden gemäß lokaler Bezeichnungskonvention (z. B. nach steigender Achsbezeichnung A → B → C).
  • Stütze: typischerweise lotrecht mit p_a unten (am Schwellen- oder Fundamentanschluss) und p_e oben (am Pfetten- oder Rähmanschluss); d_hat ist die Welt-z-Achse.

Bauteilachse vs. Faserrichtung (zur Auflösung der Querbeziehung in hg_faserrichtung.md): Im Idealfall — geradfaseriges, prismatisches Vollholzbauteil ohne Drehwuchs, Verzug oder Faserabweichung — sind Bauteilachse und Faserrichtung kollinear: d_hat ∈ {f_hat, −f_hat}. Die Faserneigung ist dann 0. In allen abweichenden Fällen (schräg gesägtes Holz, verzogene Hölzer, Drehwuchs, Bauteile aus mehreren keilgezinkten Stäben mit unterschiedlichen Faserrichtungen) sind die beiden Achsen verschieden:

  • die Bauteilachse bleibt die geometrische Hauptachse (Linie der Querschnittsschwerpunkte) und ist invariant unter Faserwirrnis,
  • die Faserrichtung folgt dem tatsächlichen Materialaufbau und weicht von der Bauteilachse ab.

Die Faserneigung nach DIN 4074-1 quantifiziert diese Abweichung als Tangens des eingeschlossenen Winkels und wird zur Festigkeits- sortierung verwendet.

Beziehungen

  • Oberbegriff: achse mit Rolle ρ = Bauteilhauptachse. Die Bauteilachse ist eine Achse im Sinne von hg_achse.md, deren Rolle durch den Bezug zu einem konkreten Bauteilkörper konkretisiert wird.
  • Spezialisierungen (eigene Einträge folgen):
  • Sparrenachse (sparrenachse, in Folgearbeit): Bauteilachse eines Sparrens mit konkretisierter Vorzeichenkonvention (Traufe → First).
  • Pfettenachse (pfettenachse, in Folgearbeit): Bauteilachse einer Pfette.
  • Stützenachse (stuetzenachse, in Folgearbeit): Bauteilachse einer Stütze (lotrecht, Vorzeichenkonvention von unten nach oben).
  • Bestandteile (partitiv) — gerader Fall:
  • Anfangspunkt p_a (Schwerpunkt des Anfangsquerschnitts);
  • Endpunkt p_e (Schwerpunkt des Endquerschnitts);
  • Trägergerade g (unbegrenzte Verlängerung der Achsstrecke);
  • Richtungs-Einheitsvektor d_hat.
  • Bestandteile (partitiv) — gekrümmter Fall:
  • geordnete Folge von Stützpunkten z(s_i) als Streckenzug-Repräsentation;
  • Anfangs- und Endpunkt;
  • lokale Tangentenrichtung an jeder Stelle.
  • Abgrenzung:
  • achse: allgemeiner Oberbegriff (Gerade in einer Rolle); bauteilachse ist die Spezialisierung mit Rolle „Bauteilhauptachse" und Bezug auf einen konkreten Bauteilkörper.
  • gerade: die Trägergerade einer geraden Bauteilachse ist eine Gerade; die Bauteilachse selbst ist die endliche Strecke auf dieser Geraden, qualifiziert durch die Bauteilrolle.
  • strecke: die Bauteilachse eines geraden Bauteils ist als Punktmenge eine Strecke; sie ist aber zusätzlich annotiert als Achse mit Bauteilrolle. Die Strecke selbst ist achs-frei.
  • faserrichtung: materialbezogene Hauptachse (Einheitsvektor in S², ortsfrei). Die Bauteilachse ist geometrisch (Strecke in ℝ³, ortsgebunden). Die beiden können übereinstimmen (geradfaseriges prismatisches Bauteil), müssen aber nicht (Drehwuchs, Verzug, schräggesägt, keilgezinkt). Der Winkel zwischen ihnen ist die Faserneigung nach DIN 4074-1.
  • Schwerlinie eines Querschnitts: die Schwerlinie eines einzelnen Querschnitts K(s) ist ein Punkt z(s) ∈ K(s) (der Flächenschwerpunkt); die Bauteilachse ist der geometrische Ort dieser Punkte über die Bauteillänge.
  • Neutrale Faser (Statik): die neutrale Faser ist die Linie durch das Bauteil, an der die Biegespannung null ist. Bei homogenen prismatischen Bauteilen mit symmetrischem Querschnitt fällt die neutrale Faser mit der Bauteilachse zusammen, im allgemeinen Fall nicht. Die Bauteilachse ist geometrisch, die neutrale Faser mechanisch.

Implementierungshinweis

Datentyp (Domänen-Schicht, Kotlin, Schicht zimmermann.domain.geometrie, D4-Stand):

package zimmermann.domain.geometrie

/**
 * Bauteilachse als geometrische Hauptachse eines Stabbauteils,
 * realisiert als Wrapper über einer Strecke.
 * Glossar: hg_bauteilachse.md
 */
@ConsistentCopyVisibility
public data class Bauteilachse internal constructor(
    public val strecke: Strecke,
) {
    public companion object {
        public fun aus(strecke: Strecke): Resultat<Bauteilachse, EntartetGeometrie>
        public fun ausPunkten(anfang: Punkt, ende: Punkt): Resultat<Bauteilachse, EntartetGeometrie>
    }
}
  • Strukturelle Beziehung zu Achse (semantisch, nicht strukturell): Die im Glossar ausgewiesene Hierarchie bauteilachse oberbegriff achse wird im Code nicht als Kotlin-Vererbung umgesetzt. Achse (Wrapper über Gerade, unbegrenzt, ungerichtet) und Bauteilachse (Wrapper über Strecke, begrenzt, gerichtet) sind strukturell verschiedene Datentypen mit verschiedenen Trägergeometrien. Eine Vererbung wäre semantisch falsch (eine Bauteilachse ist als Punktmenge endlich, eine Achse beidseitig unbegrenzt). Die Hierarchie ist daher als Querverweis im KDoc dokumentiert, nicht als Sealed-Interface umgesetzt.
  • Einheit: Punktkoordinaten in mm; Länge in mm; Richtungsvektor dimensionslos (Einheitsvektor).
  • Vorzeichenkonvention (normativ, verschoben auf die Bauteilrolle): Auf der Ebene des generischen Typs Bauteilachse ist die Reihenfolge anfang → ende festgelegt (geerbt aus Strecke), aber welcher geometrische Endpunkt als Anfang gilt, ist durch die konkrete Bauteilrolle zu konkretisieren (siehe Spezialisierungs-Einträge sparrenachse, pfettenachse, stuetzenachse). Bei Konstruktion einer Bauteilachse ohne konkrete Rolle ist die Reihenfolge willkürlich und der Konsumenten-Code darf sich nicht darauf verlassen. Die Vorzeichenkonvention ist Teil der Identität: umkehren() produziert eine semantisch andere Bauteilachse (anders als bei Strecke.istGleichUngerichtet, das die Orientierung ignoriert).
  • Invarianten (geerbt aus Strecke):
  • ‖ende − anfang‖² > Toleranzen.NORM_EPS.
  • Beide Endpunkte finit.
  • Konstruktoren (Companion-Factories, geprüft):
  • Bauteilachse.aus(strecke: Strecke): Resultat<Bauteilachse, EntartetGeometrie> — trivialer Erfolg (Strecke-Invariante reicht; das Resultat-Wrapping wahrt API-Konsistenz mit den anderen Geometrie-Factories).
  • Bauteilachse.ausPunkten(anfang: Punkt, ende: Punkt): Resultat<Bauteilachse, EntartetGeometrie> — delegiert an Strecke.ausPunkten und propagiert deren Entartungs-Resultate (NichtFinit, NullStrecke).
  • Identität / Gleichheit: equals ist strukturell-exakt (data-class-Standard). Für gerichtete geometrische Identität steht istGleicheBauteilachse(other, eps) zur Verfügung; sie ignoriert nicht die Reihenfolge — Bauteilachse ist gerichtet.
  • Bezug zur Faserrichtung: Die Klasse Bauteilachse enthält keine Faserrichtung als Feld. Die Faserrichtung ist Annotation des Bauteils, nicht der Achse (siehe hg_bauteil.md und hg_faserrichtung.md). Eine Hilfsfunktion faserneigung(achse: Bauteilachse, faser: Faserrichtung): Double liegt in der Bemessungs-Schicht und nicht im Geometrie-Modul.
  • Verwendungsregel: Funktionen, die eine Bauteilachse benötigen, nehmen Bauteilachse als Parametertyp und nicht den nackten Strecke. Damit ist am API-Rand sichtbar, dass die Strecke eine Bauteilrolle trägt; eine willkürliche Strecke kann nicht versehentlich als Bauteilachse verwendet werden.

Folgearbeit (trigger-basiert):

  • Bauteil-Referenz auf der Bauteilachse (z. B. bauteilId: UUID) — wenn die Bauteilachse aus dem Bauteil heraus referenziert werden muss (etwa für Konsistenz-Prüfung „Achse durch Querschnittsschwerpunkte"). Bis dahin lebt die Bauteilachse als reines Geometrie-Objekt.
  • Gekrümmte Bauteilachse als Streckenzug-Variante (z. B. sealed interface Bauteilachse mit Gerade(strecke: Strecke) und Gekruemmt(zug: Streckenzug)) — wenn ein Anwendungsfall einen gebogenen BSH-Bogen modellieren muss. Bis dahin ist nur der gerade Fall (häufigster Fall im Holzbau) implementiert.
  • Konkretisierung der Vorzeichenkonvention in den rollenspezifischen Klassen Sparrenachse, Pfettenachse, Stuetzenachse — wenn die konkreten Bauteil-Begriffe (Sparren, Pfette, Stütze) implementiert werden (D8).

Quellen

Primär (normativ):

  • SIA 265:2021, „Holzbau", Schweizerischer Ingenieur- und Architektenverein, Zürich.
  • DIN EN 1995-1-1:2010-12, „Eurocode 5: Bemessung und Konstruktion von Holzbauten – Teil 1-1: Allgemeines – Allgemeine Regeln und Regeln für den Hochbau".
  • DIN 1052:2008-12, „Entwurf, Berechnung und Bemessung von Holzbauwerken".
  • DIN 4074-1:2012-06, „Sortierung von Holz nach der Tragfähigkeit – Teil 1: Nadelschnittholz".

Sekundär:

  • Lignum (Hrsg.): Holzbautabellen HBT. Lignum, Zürich, aktuelle Auflage.
  • Mönck, W.; Rug, W.: Holzbau – Bemessung und Konstruktion.
  • Auflage, Beuth, Berlin 2015.
  • Blass, H. J.; Sandhaas, C.: Ingenieurholzbau – Grundlagen der Bemessung. KIT Scientific Publishing, Karlsruhe 2016.
  • Natterer, J.; Herzog, T.; Volz, M.: Holzbau-Atlas. 4. Auflage, Birkhäuser, Basel 2003.

Korpus (nicht autoritativ):

  • Holzbau Deutschland, Merkblatt „Begriffe und Klassifizierungen für den Holzbau" (abgerufen 2026-05-08).
  • Wikipedia, Lemma „Stabachse" (abgerufen 2026-05-08).

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