Prosa-Definition¶

Ein Polyeder ist ein beschränkter, abgeschlossener, dreidimensionaler Teilkörper von ℝ³, dessen Rand eine endliche, geschlossene, kantenweise einfach inzidente Vereinigung ebener Polygone ist und der mit seinem Inneren übereinstimmt mit dem Abschluss seines topologischen Inneren (Regularität).

Mathematische Definition¶

Sei

V = (v_1, …, v_n) ∈ (ℝ³)^n eine endliche Folge von Eckpunkten mit n ≥ 4, paarweise verschieden, nicht alle koplanar,
E = (e_1, …, e_m) ⊂ V × V eine Menge von Kanten als ungeordnete Punktepaare {v_i, v_j}, i ≠ j, mit m ≥ 6,
F = (F_1, …, F_k) eine Menge von Begrenzungsflächen mit k ≥ 4, wobei jede Fläche F_l ein Polygon im Sinne von polygon ist (mit Eckpunkten aus V und Kanten aus E),
ι_F : F → 𝒫(E), ι_E : E → 𝒫(V) Inzidenzfunktionen, die jeder Fläche ihre Randkanten und jeder Kante ihre Endpunkte zuordnen.

Das Tupel P = (V, E, F, ι_F, ι_E) heißt Polyeder in B-Rep (Boundary Representation), wenn die folgenden Bedingungen gelten:

Inzidenz-Konsistenz: Für jede Kante e ∈ E ist |ι_E(e)| = 2 (zwei verschiedene Eckpunkte). Für jede Fläche F_l ∈ F bilden die Kanten ι_F(F_l) den Rand des Polygons F_l in zyklischer Reihenfolge.
Mannigfaltigkeits-Bedingung am Rand: Jede Kante e ∈ E gehört zu genau zwei Flächen aus F (zweiseitige Mannigfaltigkeitsstruktur ohne Rand). Jeder Eckpunkt v ∈ V liegt in einem topologischen Stern, dessen Linkkurve zyklisch einfach geschlossen ist.
Planare Flächen: Jede Fläche F_l ist ein Polygon im Sinne von polygon, insbesondere koplanar und einfach (nicht selbstüberschneidend).
Geschlossenheit der Hülle: ∂P := ⋃_{l=1}^{k} F_l ist eine geschlossene, orientierbare, stückweise lineare 2-Mannigfaltigkeit in ℝ³.
Beschränktheit und Regularität: Die durch ∂P berandete Punktmenge

|P| := ∂P ∪ Inneres(∂P) ⊂ ℝ³

(mit „Inneres" im Sinne der von ∂P berandeten beschränkten Komponente von ℝ³ ∖ ∂P) ist beschränkt, abgeschlossen und regulär, d. h. |P| = cl(int(|P|)).

Die Punktmenge |P| ist die geometrische Substanz des Polyeders; das Tupel (V, E, F, ι_F, ι_E) ist seine kombinatorisch- topologische Struktur.

Euler-Formel: Für ein einfach zusammenhängendes Polyeder (Geschlecht g = 0, z. B. Quader, Sparren-Polyeder, Tetraeder) gilt

|V| − |E| + |F| = 2.

Allgemein gilt für ein zusammenhängendes Polyeder vom Geschlecht g (Anzahl der „Henkel"):

|V| − |E| + |F| = 2 − 2g.

Konvexer Spezialfall (H-Rep, äquivalent): Ein Polyeder P ⊂ ℝ³ heißt konvex, wenn für alle x, y ∈ |P| die Verbindungsstrecke [x, y] ⊂ |P|. Konvexe Polyeder lassen sich nach dem Hauptsatz von Weyl-Minkowski äquivalent als endlicher Schnitt geschlossener Halbräume schreiben:

|P| = ⋂_{i=1}^{k} H_bar_i,    H_bar_i = H_bar(p_i, n_i),

mit Stützpunkten p_i ∈ ℝ³ und nach innen gerichteten Normalen n_i ∈ ℝ³ \ {0} (Halbraum-Konvention nach halbraum). Diese H-Repräsentation ist für konvexe Polyeder gleichwertig zur V-Repräsentation als konvexe Hülle der Eckpunkte:

|P| = conv(V) = { Σ_{i=1}^{n} λ_i v_i | λ_i ≥ 0, Σ λ_i = 1 }.

Allgemeiner Fall (CSG): Nicht-konvexe Polyeder werden in der Constructive Solid Geometry als Boolesche Kombination einfacherer Polyeder (insbesondere Halbraum-Schnitte) gebildet:

|P| = (P_1 ∪ P_2 ∪ … ∪ P_r) \ (Q_1 ∪ … ∪ Q_s),

mit konvexen Bausteinen P_j und Q_j. Im Holzbau ist genau diese Konstruktion natürlich: ein Sparren-Polyeder mit Versatz-Ausschnitt ist der reguläre Volumen-Differenzkörper aus dem ungeschnittenen Sparrenquader und dem Versatz-Polyeder.

Wesentliche abgeleitete Größen:

Eckenzahl: |V|. Kantenzahl: |E|. Flächenzahl: |F|.
Geschlecht: g = (2 − (|V| − |E| + |F|)) / 2.
Volumen: V(P) := ∫{|P|} dV (mm³); berechenbar per Divergenztheorem als V(P) = (1/6) · Σ, n_F⟩ · A(F) oder per signierten Tetraeder-Volumen über die triangulierten Flächen.} ⟨v_{F,1
Oberfläche: A(∂P) := Σ_{F ∈ F} A(F) (mm²).
Schwerpunkt: c(P) ∈ |P| (Volumenschwerpunkt).
Achsenparalleler Hüllquader (AABB): kleinster Quader mit zu den Welt-Koordinatenachsen parallelen Kanten, der |P| umschließt.

Wohldefiniertheit¶

Existenz: Für jede zulässige Tupel-Eingabe (V, E, F, ι_F, ι_E), die Bedingungen 1–5 erfüllt, ist das Polyeder als Punktmenge |P| ⊂ ℝ³ wohldefiniert; die Existenz nicht-trivialer Beispiele (Tetraeder, Quader) ist klassisch.
Eindeutigkeit der Innenseiten: Die Mannigfaltigkeits- Bedingung 2 zusammen mit der Geschlossenheit 4 garantiert nach dem Jordan-Brouwer-Trennungssatz für stückweise lineare Hyperflächen, dass ℝ³ ∖ ∂P aus genau zwei zusammenhängenden Komponenten besteht, von denen genau eine beschränkt ist. Diese beschränkte Komponente ist das Innere; sein Abschluss ist |P|.
Wohldefiniertheit des Volumens: V(P) ist als Lebesgue- Volumen einer beschränkten, regulären, abgeschlossenen Menge definiert; die Divergenztheorem-Formel ist invariant unter Wahl der Triangulierung der Flächen (klassisch).
Repräsentantenwahl der Eckenfolge: Zyklische Verschiebung innerhalb einer Fläche und globale Permutation der Flächen-, Kanten- und Eckenfolgen ändern das Polyeder nicht. Identität zweier Polyeder als kombinatorische Strukturen ist die Isomorphie ihrer Inzidenzgraphen; als Punktmengen die Mengengleichheit der |P|.
Äquivalenz B-Rep ↔ H-Rep im konvexen Fall: Hauptsatz von Weyl-Minkowski (Ziegler, Kap. 1.1): Eine Teilmenge von ℝ³ ist genau dann ein beschränkter Schnitt endlich vieler Halbräume, wenn sie die konvexe Hülle endlich vieler Punkte ist. Für konvexe Polyeder im Sinne dieses Eintrags sind beide Repräsentationen daher gleichwertig; eine kann aus der anderen algorithmisch konstruiert werden (Doppelbeschreibungs-Methode, konvexe-Hülle-Algorithmen).
Nicht-Zirkularität: Die Definition stützt sich auf punkt, vektor, ebene, polygon, halbraum, toleranzen sowie klassische Resultate (Jordan-Brouwer für PL-Hyperflächen, Weyl-Minkowski für konvexe Polytope). Sie kommt nicht in ihrer eigenen Definition vor; insbesondere wird polygon für die Begrenzungsflächen und halbraum für die H-Repräsentation verwendet, beide bereits ohne Bezug auf polyeder definiert.
Begriffstyp primitiv (gewählt): Ein Polyeder ist im Glossar als zusammengesetztes Geometrieprimitiv geführt — analog zu polygon (das ebenfalls aus Punkten und Strecken aufgebaut ist, aber als Primitiv geführt wird). Eine Klassifizierung als generisch wäre vertretbar, weil das Polyeder seine Bestandteile (Polygone, Halbräume) referenziert und nicht konzeptionell unter sie subsumierbar ist; die Wahl primitiv spiegelt jedoch wider, dass es in der Domänen-Schicht als atomarer Geometrietyp behandelt wird. Begründung: keine andere Glossar-Klasse subsumiert ein Polyeder als Spezialisierung.

Erläuterung (nicht normativ)¶

Das Polyeder ist die natürliche geometrische Repräsentation für Bauteilkörper im Holzbau, sobald die Geometrie über die einfache Repräsentation „Achse + Querschnitt" oder „Trägerfläche + Dicke" hinausgeht. Konkret tritt der Polyederbegriff auf bei:

ungeschnittene Stab-Bauteile (Sparren, Pfette, Stütze) als prismatische Polyeder (Quader oder allgemeiner: konvexes Prisma über das Querschnittspolygon);
geschnittene Stab-Bauteile mit Verbindungs-Ausschnitten (Sparren mit Versatz und Klauenanschnitt, Pfette mit Schwalbenschwanzaufnahme, Stütze mit Zapfen): Polyeder entstanden durch Volumen-Subtraktion eines konvexen Versatz- bzw. Verbindungs-Polyeders aus einem ungeschnittenen Stab-Polyeder;
Volumen-Bauteile (Massivholz-Treppen, gefräste BSH-Knoten, zusammengesetzte BSP-Wandelemente): allgemeine, oft nicht-konvexe Polyeder;
Schnitt- und Verschneidungsgeometrien (Walmverschneidungen, Kehlausarbeitungen, Anschnitt-Polygone): Schnitt zweier oder mehrerer Polyeder, der selbst wieder ein Polyeder ist.

Walmdach-Hüllvolumen als zusammengesetztes Polyeder (Stamm- Anwendungsfall einer CSG-Vereinigung konvexer Bausteine): Im Berufsschul-Korpus der Zimmerei wird das Hüllvolumen eines Walmdachs als Vereinigung dreier konvexer Bausteine zerlegt — ein dreieckiges Prisma zwischen den beiden Firstendpunkten und zwei rechteckige Pyramiden an den Walmenden. Mit Firstlänge f, Traufbreite b, Traufflucht l und Dachhöhe h ergibt sich die kompakte Volumenformel

V = (1/6) · b · h · (2·l + f).

Diese Zerlegung ist das prominenteste Beispiel im Holzbau-Korpus für eine CSG-Vereinigung konvexer Polyeder zu einem nicht-zwingend-konvexen Hüllpolyeder und illustriert die csgVereinigung-Operation der Folgearbeit BRepPolyeder auf Stamm-Anwendungsfall-Niveau. Der zugehörige Volumen-Begriff (Polyeder in der Rolle „Hüllvolumen eines Daches") ist als Folgearbeit dachkoerper vorgesehen (siehe §Beziehungen und HG_KONVENTIONEN.md §6.A).

Konvex vs. allgemein: Konvexe Polyeder erlauben effiziente Operationen (insbesondere die H-Repräsentation als Halbraum- Schnitt, die für Inzidenztests in O(k) statt O(|F|) ist) und entstehen direkt bei jedem prismatischen Bauteil mit konvexem Querschnitt. Allgemeine (nicht-konvexe) Polyeder treten auf, sobald Verbindungs-Ausschnitte gemacht werden — ein Sparren mit Versatzausnehmung ist nicht mehr konvex. In der App-Domäne wird ein gemeinsamer Polyeder-Datentyp als B-Rep mit optionaler Konvexitäts-Annotation geführt; konvexe Polyeder erlauben zusätzlich die effiziente H-Rep-Repräsentation.

Repräsentationsentscheidung: Die App-Domäne führt B-Rep als Primärdarstellung (Listen von Eckpunkten, Kanten, Flächen mit Inzidenzfunktionen). Der Grund: B-Rep ist universell (auch für nicht-konvexe Polyeder), interagiert direkt mit der Render-Schicht (Filament rendert B-Rep-Meshes), und Verbindungs-Ausschnitte sind als CSG-Operationen über B-Rep ausdrückbar. Die H-Rep wird als abgeleitete Sekundärdarstellung für konvexe Polyeder bei Bedarf erzeugt (z. B. für effiziente Inzidenz- und Schnitt-Tests).

Beziehungen¶

Oberbegriff: keiner als formales Glossarprimitiv; mathematisch ein beschränkter, regulärer 3-dimensionaler Teilkörper von ℝ³ mit polygonal stückweise linearem Rand. Im Glossar als Primitiv geführt.
Spezialisierungen / Rollen:
Konvexes Polyeder (polyeder_konvex, in Folgearbeit): Polyeder mit der Konvexitätseigenschaft; H-Rep verfügbar.
Quader (quader, in Folgearbeit): konvexes Polyeder mit sechs rechteckigen, paarweise parallelen Seitenflächen.
Prisma (prisma, in Folgearbeit): konvexes Polyeder, das durch Translation eines Polygons entlang einer Achse entsteht.
Bauteilkörper (bauteilkoerper, in Folgearbeit): Polyeder in der Rolle „Volumen eines konkreten Bauteils im Welt-Koordinatensystem".
Dachkörper (dachkoerper, in Folgearbeit): Polyeder in der Rolle „Hüllvolumen eines Daches" (Walmdach-Volumen, Satteldach-Volumen, allgemeines Dach-Hüllvolumen), typischerweise als CSG-Vereinigung konvexer Bausteine (Prismen, Pyramiden) konstruiert.
Bestandteile (partitiv):
Eckpunkte (V): die nulldimensionalen Bestandteile des Randes.
Kanten (E): die eindimensionalen Bestandteile des Randes, jede eine Strecke zwischen zwei Eckpunkten.
Begrenzungsflächen (F): die zweidimensionalen Bestandteile des Randes, jede ein Polygon (siehe polygon).
Inneres: int(|P|), die offene Volumenmenge.
Rand: ∂P = ⋃ F_l, eine geschlossene PL-2-Mannigfaltigkeit.
Abgrenzung:
Polygon (polygon): zweidimensional; ein Polygon ist die Begrenzungsfläche eines Polyeders, nicht das Polyeder selbst. Ein Polyeder hat |F| ≥ 4 Polygonflächen.
Halbraum (halbraum): unbeschränkt; ein Polyeder ist beschränkt. Ein konvexes Polyeder ist ein endlicher Schnitt geschlossener Halbräume; ein einzelner Halbraum ist kein Polyeder. Diese Beziehung löst die in hg_halbraum.md angedeutete Vorwärtsreferenz auf: Halbräume sind die atomaren Bausteine konvexer Polyeder.
Ebene (ebene): zweidimensional, unbeschränkt; jede Begrenzungsfläche eines Polyeders liegt in einer Ebene (Trägerebene des Flächenpolygons).
Bauteil (bauteil): allgemeiner Begriff aus der Holzbau- Domäne; ein Bauteil ist mehr als nur seine Geometrie (Identität, Lage, Werkstoff, Annotationen). Ein Polyeder kann als Geometrie eines Bauteils dienen (Variante Bauteilgeometrie.Volumen in hg_bauteil.md), ist aber selbst kein Bauteil.
Selbstüberschneidende Polyeder (z. B. nicht-mannigfaltige Hüllen, Sterne): werden in diesem Glossar nicht als Polyeder zugelassen. In der KonvexerPolyeder-Implementierung sind solche Eingaben strukturell ausgeschlossen (Halbraum-Schnitt ist konstruktiv wohlgeformt). Mit der Folgearbeit BRepPolyeder werden sie als Entartet.Selbstschnitt bzw. Entartet.NichtMannigfaltig zurückgewiesen — beide Varianten sind heute noch nicht im EntartetGeometrie-Sealed-Interface vorhanden (siehe Implementierungshinweis).

Implementierungshinweis¶

Code-Eingrenzung: Codeseitig wird vorerst nur konvexer Polyeder als endlicher Schnitt von Halbräumen implementiert (KonvexerPolyeder). Das deckt alle absehbaren Anwendungsfälle der App ab (Quader, Prismen, Pyramiden, parametrische Werkstücke; Sparren mit Kerven, geschichtete Bauteile). Eine spätere Erweiterung auf allgemeine B-Rep-Polyeder (BRepPolyeder mit Eckpunkten/Kanten/Flächen, Inzidenz-Strukturen, Selbstschnitt-Tests) bleibt vorgesehen, wird aber erst eingeführt, wenn ein konkreter Anwendungsfall (z. B. nicht-konvexe Bool'sche Operationen) sie verlangt. Der oben definierte allgemeine Polyeder-Begriff bleibt als Glossar-Spezifikation gültig — KonvexerPolyeder ist der erste implementierte Spezialfall (analog zur Modi-Differenzierung in hg_faserrichtung.md: Glossar deckt alle Modi ab, Code grenzt zunächst auf den am häufigsten benötigten ein).

Entartet-Varianten je Implementierungs-Variante:

Die EntartetGeometrie-Sealed-Class enthält für KonvexerPolyeder strukturell nur:

LeeresHalbraumSystem — der Schnitt der angegebenen Halbräume ist leer.
UnbeschraenktesPolyeder — der Schnitt ist nicht-leer, aber unbeschränkt.
NichtFinit — eine Halbraum-Definition enthält NaN/±∞ (geerbt aus den Halbräumen).

KonvexerPolyeder kennt strukturell keinen Selbstschnitt, keine Nicht-Mannigfaltigkeit und keine entarteten Flächen — der Halbraum-Schnitt ist konstruktiv wohlgeformt.

Folgearbeit BRepPolyeder (Boundary-Representation, allgemeine Polyeder) wird zusätzlich folgende Varianten erfordern, die heute noch nicht im EntartetGeometrie-Sealed-Interface existieren:

Selbstschnitt — zwei Flächen schneiden sich entlang einer nicht-Kanten-Linie.
NichtMannigfaltig — eine Kante gehört zu mehr als zwei Flächen, oder eine Fläche ist nicht-orientierbar.
EntarteteFlaeche — eine Fläche hat Fläche 0 oder kollineare Eckpunkte.
NichtPlanareFlaeche — Eckpunkte einer Fläche nicht koplanar innerhalb LAENGE_EPS.
NichtGeschlossen — Flächen bilden keine geschlossene Hülle (offene Kanten vorhanden).
LeerePolyederFlaeche — |V| < 4 oder |F| < 4 in einer B-Rep-Eingabe.
(Weitere bei konkreter Bedarfsklärung.)

Die folgenden Datentyp-, Invarianten- und Edge-Case-Skizzen beschreiben ausschließlich die Folgearbeit BRepPolyeder und sind für die aktuelle KonvexerPolyeder-Implementierung nicht maßgeblich; sie stehen hier dokumentiert, damit der Begriffsraum vollständig vorbereitet ist.

Folgearbeit-Skizze BRepPolyeder (nicht aktuelle Implementierung):

Datentyp (Domänen-Schicht, Kotlin, Schicht domain.geometrie):

package domain.geometrie

import domain.Toleranzen

/**
 * Polyeder als B-Rep (Boundary Representation).
 * Glossar: hg_polyeder.md
 *
 * Primärrepräsentation: Eckpunkte + Kanten + Flächen mit
 * Inzidenzrelationen. Konvexe Polyeder können zusätzlich eine
 * H-Repräsentation tragen (endlicher Schnitt geschlossener
 * Halbräume); diese wird bei Bedarf abgeleitet.
 */
data class Polyeder(
    val ecken: List<Punkt>,                   // V
    val flaechen: List<Polyederflaeche>,       // F mit Eckindex-Zyklen
    val konvex: Boolean = false                // Konvexitäts-Annotation
) {
    init {
        // alle Invarianten 1..5 prüfen, sonst Entartet
    }

    /**
     * Eine Fläche als zyklische Folge von Eckindices in `ecken`.
     * Die Trägerebene wird intern aus den ersten drei nicht-
     * kollinearen Indices abgeleitet; die Eckenfolge muss bezüglich
     * der nach außen weisenden Außennormale rechtshändig orientiert
     * sein (siehe Erläuterung).
     */
    data class Polyederflaeche(
        val eckIndices: List<Int>,             // i_1, …, i_p (zyklisch)
        val aussenNormale: Einheitsvektor      // ‖.‖ = 1, nach außen
    )
}

/** H-Repräsentation für konvexe Polyeder. */
data class PolyederH(
    val halbraeume: List<Halbraum>             // alle Geschlossen, Innen-Normale
)

/** Entartet-Varianten. */
sealed class PolyederErgebnis {
    data class Regulaer(val p: Polyeder) : PolyederErgebnis()
    sealed class Entartet : PolyederErgebnis() {
        object LeerePolyederFlaeche : Entartet()        // V < 4 oder F < 4
        data class EntarteteFlaeche(val index: Int) : Entartet()
        object NichtGeschlossen : Entartet()            // Hülle nicht geschlossen
        object NichtMannigfaltig : Entartet()           // Kanten ≠ 2 Flächen
        object Selbstschnitt : Entartet()               // Flächen schneiden sich
        data class NichtPlanareFlaeche(val index: Int) : Entartet()
        object NichtFinit : Entartet()
    }
}

Einheit: Eckpunkt-Koordinaten in mm; Volumen in mm³; Oberfläche in mm². Die Außennormalen jeder Fläche sind dimensionslos (Einheitsvektoren).
Repräsentationsentscheidung: B-Rep als Primärdarstellung; H-Rep nur für konvexe Polyeder als optionale Sekundärdarstellung (Konvertierung über Doppelbeschreibungs-Methode oder konvexe-Hülle-Algorithmen). Begründung: B-Rep ist universell, rendering-kompatibel, und Verbindungs-Ausschnitte (zentral im Holzbau) sind als CSG-Operationen über B-Rep auszudrücken.
Außennormalen-Konvention: Die Außennormale jeder Fläche zeigt vom Inneren des Polyeders nach außen. Diese Konvention ist verbindlich und im KDoc jeder Konstruktor- und Operations- methode zu nennen. Die Eckenfolge einer Fläche ist relativ zu ihrer Außennormale rechtshändig zu orientieren (Daumen entlang Außennormale, Finger entlang Eckenfolge).
Achtung: Diese Außennormalen-Konvention auf der Polyeder-Ebene ist die Umkehrung der Halbraum-Konvention nach hg_halbraum.md, bei der die Normale in den Halbraum hinein zeigt. Bei Konversion B-Rep → H-Rep ist daher die Außennormale jeder Begrenzungsfläche zu negieren, um die Innen-Normale der zugehörigen Halbräume zu erhalten.
Invarianten (in Factory Polyeder.of(...) prüfen, bei Verletzung Entartet-Variante zurückgeben, niemals Exception):
Mindestgröße: |V| ≥ 4 und |F| ≥ 4 — sonst Entartet.LeerePolyederFlaeche.
Planare Flächen: jede Fläche muss als Polygon im Sinne von polygon konstruierbar sein (Koplanarität der Eckpunkte innerhalb Toleranzen.LAENGE_EPS, k ≥ 3, einfach) — sonst Entartet.NichtPlanareFlaeche bzw. Entartet.EntarteteFlaeche.
Mannigfaltigkeit: jede Kante (definiert durch ein Paar aufeinanderfolgender Eckindices in einer Fläche) gehört zu genau zwei Flächen — sonst Entartet.NichtMannigfaltig.
Geschlossenheit: die Vereinigung aller Flächen bildet eine geschlossene 2-Mannigfaltigkeit — sonst Entartet.NichtGeschlossen (geprüft über die Kanten-zu-Flächen- Inzidenz).
Selbstschnittfreiheit: keine zwei nicht-benachbarten Flächen schneiden sich im Inneren — sonst Entartet.Selbstschnitt. Test in O(|F|²) hinreichend; für Zwischenergebnisse einer CSG-Pipeline kann die Invariante temporär ausgesetzt werden (Konfiguration über Factory-Parameter).
Finite Koordinaten: keine NaN, keine ±∞ — sonst Entartet.NichtFinit.
Edge Cases / Entartet-Varianten (Folgearbeit BRepPolyeder; alle als Varianten der gemeinsamen EntartetGeometrie-Hierarchie nach D3-Konvention, kein Exception-Werfen; aktuell nicht im Sealed-Interface vorhanden, werden mit BRepPolyeder ergänzt):
Entartet.LeerePolyederFlaeche (|V| < 4 oder |F| < 4): kein 3D-Körper bildbar.
Entartet.EntarteteFlaeche(index): eine Flächen-Polygon- Komponente degeneriert zu Strecke oder Punkt.
Entartet.NichtPlanareFlaeche(index): Eckpunkte einer Fläche nicht koplanar innerhalb LAENGE_EPS — korrekturwürdig (Triangulierung der Fläche oder Anpassung der Eckpunkte).
Entartet.NichtGeschlossen: Flächen bilden keine geschlossene Hülle (offene Kanten vorhanden).
Entartet.NichtMannigfaltig: eine Kante gehört zu ≠ 2 Flächen (z. B. drei Flächen treffen sich an einer Kante: T-Knoten).
Entartet.Selbstschnitt: zwei nicht-benachbarte Flächen schneiden sich. Je nach Anwendung Defekt (finales Bauteil) oder zulässig (CSG-Zwischenergebnisse).
Entartet.NichtFinit: ein Eckpunkt enthält NaN/±∞.
Bewusst nicht als Entartung modelliert:
Konkavität / Geschlecht > 0: nicht-konvexe Polyeder und Polyeder mit Henkeln (Geschlecht g ≥ 1) sind gültige Polyeder; lediglich die Konvexitäts-Annotation ist dann false.
Sehr kleine oder dünne Flächen: zulässig, aber numerisch sensibel; Warnung im Domain-Test.
Konstruktoren:
Polyeder.of(ecken, flaechen, konvex = false): PolyederErgebnis — vollständige B-Rep-Konstruktion mit Validierung.
Polyeder.ausHRepKonvex(halbraeume: List<Halbraum>): PolyederErgebnis — H-Rep → B-Rep für konvexe Polyeder via Doppelbeschreibungs- Methode; setzt konvex = true.
Polyeder.quader(p_min: Punkt, p_max: Punkt): Polyeder — achsenparalleler Quader als häufigster Spezialfall (Stab- Bauteilkörper vor Verbindungs-Ausschnitten).
Polyeder.prisma(grundpolygon: Polygon, hoehe: Vektor): Polyeder — Translationsprisma als allgemeiner prismatischer Bauteilkörper.
Identität / Gleichheit:
Standard-equals: strikt gleiche Repräsentanten-Tupel.
gleichKombinatorisch(other): Isomorphie der Inzidenz- Strukturen (gleiche topologische Struktur, ggf. unterschiedliche Geometrie).
gleichGeometrisch(other, eps): gleiche Punktmenge |P| modulo Toleranz.
Abgeleitete Operationen (PolyederOps.kt):
fun volumen(): Double (mm³, via Divergenztheorem über triangulierte Flächen).
fun oberflaeche(): Double (mm², Σ Flächeninhalte).
fun schwerpunkt(): Punkt (Volumenschwerpunkt).
fun hueckquader(): AABB — achsenparalleler Hüllquader.
fun enthaeltPunkt(p: Punkt, eps: Double): Boolean — Inzidenztest; im konvexen Fall via H-Rep in O(|F|), im allgemeinen Fall via Ray-Casting.
fun istKonvex(eps: Double): Boolean — Test über die H-Rep-Konsistenz aller Flächen.
fun zuHRep(): Resultat<PolyederH, EntartetGeometrie> — nur für konvexe Polyeder.
fun csgVereinigung(other: Polyeder): PolyederErgebnis, csgSchnitt, csgDifferenz — Boolesche Operationen für Verbindungs-Ausschnitte (Implementierung Folgearbeit).

Quellen¶

Primär (normativ):

DIN ISO 80000-2:2022-08, „Größen und Einheiten – Teil 2: Mathematik", Abschnitt 2.
ISO 19107:2019, „Geographic information – Spatial schema", Abschnitt 6.4 (GM_Solid).
DIN EN ISO 10303-42, „Industrieautomation – Produktmodelldaten – Teil 42: Geometrische und topologische Repräsentation".

Sekundär:

Ziegler, G. M.: Lectures on Polytopes. Springer, New York 1995.
de Berg, M.; Cheong, O.; van Kreveld, M.; Overmars, M.: Computational Geometry – Algorithms and Applications.
Aufl., Springer 2008.
Hoffmann, C. M.: Geometric and Solid Modeling – An Introduction. Morgan Kaufmann, San Mateo 1989.
Mäntylä, M.: An Introduction to Solid Modeling. Computer Science Press, Rockville 1988.
Bronstein, I. N.; Semendjajew, K. A.; Musiol, G.; Mühlig, H.: Taschenbuch der Mathematik. Edition Harri Deutsch, aktuelle Auflage, Kap. 3.5.4.

Korpus (nicht autoritativ):

Wikipedia, Lemmata „Polyeder", „Konvexes Polytop", „Boundary Representation", „Constructive Solid Geometry" (abgerufen 2026-05-08).

Didaktische Hülle (Subglossar)¶

Polyeder (Subglossar)¶

Brücke vom normativen Hauptglossar (hauptglossar/00_ressourcen/hg_polyeder.md) zu den stufenweisen Theorie-Inhalten. Hier liegt die didaktische Aufbereitung: die berufssprachliche Beobachtung, dass das Wort „Polyeder" im DACH-Holzbau-Korpus praktisch unsichtbar bleibt, während die Sache (jedes Bauteil mit ebenen Flächen, jeder Dachkörper, jedes Gebäude-Hüllvolumen) allgegenwärtig ist; die Pflicht-Skizze des Walmdachs als zusammengesetzter Polyeder aus einem dreieckigen Prisma und zwei rechteckigen Pyramiden; die Polyeder-Rollen im Bauteil-, Dachkörper- und Hüllvolumen-Maßstab; die Polyeder-Typen Quader, Prisma, Schiefprisma, Pyramide, Pyramidenstumpf und konkaver Bauteilkörper; und die Negativ-Abgrenzung zu Polygon, Volumen, Körper, Bauteil und Mesh.

Stufen-Schwerpunkt Meister, mit einer schmalen Zimmermann-Sektion zur Walmdach-Volumen-Zerlegung. Lehrling- und Schnuppi-Sektionen bleiben bewusst leer (SG_KONVENTIONEN.md §7): das Wort „Polyeder" hat in der Werkstattsprache der unteren Stufen keine eigenständige Verankerung; eine erzwungene Schnuppi-Formulierung wäre eine künstliche Konstruktion.

Was der Polyeder im Holzbau ist¶

Ein Polyeder ist ein dreidimensionaler Körper, dessen Rand vollständig aus ebenen, polygonal berandeten Flächen besteht — ein Vielflach, wie die seltene deutsche Lehnübersetzung sagt, ein Körper „mit vielen Sitzflächen", wie das griechische πολύεδρος in seinem alltagssprachlichen Sinn meinte. Im DACH-Holzbau-Korpus tritt das Substantiv „Polyeder" auffällig selten auf: DWDS markiert es als „selten", die Cadwork-Knowledgebase beschreibt die Bauteil- Modellierung über B-Rep, CSG und Extrusion, ohne das Wort „Polyeder" auch nur einmal zu nennen, und die BTLx-Spezifikation arbeitet mit „Grundgeometrie plus Bearbeitungen", nicht mit „Polyedern". Die Berufsschul-Mathematik der Zimmerei führt „Regelkörper" (Quader, Pyramide, Pyramidenstumpf, daneben Zylinder und Kegel), nicht aber den mathematischen Oberbegriff Polyeder.

Die Sache dagegen ist überall: jeder Sparren, jede Pfette, jeder Pfosten, jede Wandstütze, jede CLT-Platte, jeder BSH-Träger im Rohzustand ist geometrisch ein Polyeder — typisch ein Quader, also ein rechteckiges Prisma. Wird das Bauteil bearbeitet (Senkelschnitt, Bleischnitt, Klauenkerve, Versatz, Zapfen, Schwalbenschwanz), wird aus dem konvexen Quader ein nicht-konvexes Polyeder mit einspringenden Kanten — die Sache verändert sich, das Wort „Polyeder" wird trotzdem nicht ausgesprochen. Der Zimmermann sagt „den Sparren kerven", „den Versatz ausarbeiten", „den Zapfen herstellen"; gemeint ist jedes Mal die boolesche Differenz zweier Polyeder.

Das macht „Polyeder" zu einem Begriffs-Importbegriff im Holzbau: die Sache ist berufssprachlich verankert über die Spezialfälle (Quader, Prisma, Pyramide), über die CAD-Modellierungs-Sprache (B-Rep und CSG), über die BTLx-Datenstruktur und über die Werkstatt- Beschreibung der Bearbeitungen — der Oberbegriff selbst lebt hauptsächlich in der mathematischen und in der internationalen CAD-Englisch-Schicht.

Walmdach als zusammengesetzter Polyeder — Pflicht-Skizze¶

Die zentrale Anwendung des Polyeder-Konzepts mit Zimmermanns- Verankerung ist die Volumen-Lesart eines Daches. Das Walmdach-Hüllvolumen wird für die Volumenrechnung in drei einfachere Bausteine zerlegt: ein dreieckiges Prisma im Mittelbereich zwischen den beiden First-Endpunkten plus zwei Pyramiden mit rechteckiger Grundfläche an den Walm-Enden. Diese Zerlegung ist eine didaktische Abstraktion — die blauen Trennebenen-Spuren haben am realen Dach keine Bauteil-Grenze, sondern markieren die Zerlegung der Volumenrechnung.

Pyramide Prisma Pyramide

First

Walmgrat

Trennebene (rechtwinklig zur First)

Walmdach zerlegt: Pyramide + Prisma + Pyramide jede Trennebene als geschlossenes Dreieck T_v – F – T_h im Bauteil

Welt: e_hat_h e_hat_v

F_L First-Endpunkt

F_R First-Endpunkt

T_Lv Trennebenenpunkt

T_Rv Trennebenenpunkt

T_Lh Trennebenenpunkt

T_Rh Trennebenenpunkt

Die Skizze macht die zentrale Beobachtung sichtbar: das Walmdach- Hüllvolumen ist ein zusammengesetzter Polyeder aus drei konvexen Bausteinen. Das Prisma im Mittelbereich hat eine dreieckige Stirnfläche und läuft auf der Länge zwischen den beiden First- Endpunkten F_L und F_R parallel zum First. An jedem First-Ende schließt eine Pyramide mit rechteckiger Grundfläche an, deren Spitze im First-Endpunkt sitzt. Jede Trennebene erscheint im Bauteil als geschlossenes Dreieck mit drei Eckpunkten — je einem Trennebenenpunkt auf der Front-Trauf, einem First-Endpunkt und einem Trennebenenpunkt auf der Hinter-Trauf (linke Trennebene: T_Lv, F_L, T_Lh; rechte Trennebene symmetrisch: T_Rv, F_R, T_Rh). Die gestrichelten blauen Trennebenen-Spuren sind rechnerische Hilfslinien — am realen Dach gibt es keine Bauteil-Grenze zwischen Prisma und Pyramide; die Sparren laufen über diese gedachten Trennebenen durchgehend hinweg. Die Zerlegung ist eine gedankliche Volumen-Aufteilung für die Mengenrechnung, keine konstruktive Bauteil-Aufteilung.

Polyeder-Rollen im Holzbau¶

Polyeder treten im Holzbau auf drei Maßstabs-Ebenen plus als Hilfs-Geometrie auf, immer als Geometrie-Beschreibung, nie als eigenständiges Bauteil:

Rolle	Maßstab	Beispiel
Bauteil-Geometrie	Bauteil-Skala	Sparren als Quader; Sparren mit Klauenkerve als nicht-konvexer Polyeder; CLT-Platte als flacher Quader (Plattenformat × Dicke); BSH-Träger als Quader im Rohzustand
Dachkörper	Gebäude-Skala	Walmdach als Prisma plus zwei Pyramiden; Satteldach als reines Prisma mit dreieckiger Stirn; Stuttgarter Dach mit Pyramidenstumpf-Krone
Gebäude-Hüllvolumen	Stadtmaßstab	das Polyeder, das ein Gebäude inklusive Erkern, Gauben und Anbauten umschließt — in der 3D-Stadtmodellierung explizit als Polyeder behandelt
Konvexe Hülle einer Punktmenge	Hilfs-Geometrie	das kleinste konvexe Polyeder, das eine gegebene Punktmenge umschließt — als Hilfsbegriff der Standsicherheits-Geometrie (Schwerpunkt muss innerhalb der Standfläche liegen) und als Bezugskörper für Hüll-Quader-Berechnungen (AABB)

Die wichtigste praktische Unterscheidung ist die zwischen Bauteil-Geometrie und Bauteil-Identität. Ein Bauteil im Sinne von hauptglossar/10_kern/hg_bauteil.md trägt eine UUID, eine Positionsnummer, einen Werkstoff und eine Lage; das Polyeder ist nur seine Geometrie-Hülle. In den 3D-CAD-Systemen des Holzbaus (Cadwork, Sema, Dietrichs) wird diese Trennung sauber abgebildet: das „Element" (Cadwork) bzw. die „Komponente" (BTLx) trägt die Identität, das Volumen-Modell trägt die Geometrie. Dasselbe Polyeder kann an mehreren Bauteilen vorkommen (zwei identische Sparren teilen ihre Geometrie); zwei Bauteile mit unterschiedlicher Bearbeitung haben unterschiedliche Polyeder, auch wenn sie aus demselben Rohling kommen.

Zimmermann-Schicht — Walmdach-Volumen-Zerlegung¶

Die Volumen-Zerlegung des Walmdachs in dreieckiges Prisma plus zwei rechteckige Pyramiden ist Berufsschul-Standard der Zimmerei. Sie ist die natürliche zimmermännische Antwort auf die Frage „wie viel Volumen umschließt das Dach?" — die Frage, die beim Eindeck- Material (Ziegel, Sparrendämmung, Holzbedarf), bei der Container- Disposition für den Abbund und bei der Aufmaß-Abrechnung praktisch relevant wird.

Die kompakte Volumen-Formel der Berufsschul-Mathematik lautet

V = (1/6) · b · h · (2·l + f)

mit Breite b der Trauflinie, Höhe h zwischen Trauf- und First- Niveau, Länge l der Trauflinie und Länge f des Firstes. Sie ist die direkte Summe aus dem Prismen-Volumen (dreieckiger Querschnitt mal Firstlänge) und den beiden Pyramiden-Volumina (rechteckige Grundfläche mal Höhe geteilt durch drei) — auseinandergerechnet wird sie wie folgt sichtbar:

Prisma: V_Prisma = (1/2) · b · h · f (Dreiecks-Stirn mal Firstlänge)
zwei Pyramiden: V_2Pyramiden = 2 · (1/3) · b · ((l − f)/2) · h = (1/3) · b · (l − f) · h

Der Sonderfall f = 0 ergibt ein Zeltdach (zwei Pyramiden, kein Mittel-Prisma): das Walmdach wird zur Pyramide; der andere Sonderfall f = l ergibt ein Satteldach (reines Prisma, keine Pyramiden). Die Zerlegung trägt also die ganze Familie zwischen Zelt- und Satteldach in einer einzigen Formel.

Der HG-Eintrag hauptglossar/00_ressourcen/hg_polyeder.md listet im Erläuterungs- Block „Walmverschneidungen, Kehlausarbeitungen, Anschnitt-Polygone" als Beispiele für Polyeder-Schnitt-Operationen. Die hier geschilderte Volumen-Lesart des Walmdach-Körpers selbst (das Dach als Prisma plus zwei Pyramiden) ist im aktuellen HG-Stand noch nicht explizit als CSG-Vereinigung notiert; sie ist in hauptglossar/ABWEICHUNGEN.md als ergänzungswürdiger Hinweis am HG eingetragen.

Polyeder-Typen im Holzbau¶

Der Holzbau arbeitet praktisch mit einer kleinen, klar umrissenen Familie von Polyeder-Typen:

Typ	Was ihn auszeichnet	Holzbau-Beispiel
Quader	rechteckiges Prisma, sechs Flächen, alle Winkel 90°	unbearbeiteter Sparren, unbearbeitete Pfette, BSH-Träger im Rohzustand, CLT-Platte, OSB- und Spanplatte (Plattenformat × Dicke)
Prisma	konstanter polygonaler Querschnitt entlang einer geraden Achse, Stirnflächen orthogonal zur Achse	dreieckiger Prismen-Mittelbereich des Walmdachs; gerader Bauteil-Abschnitt mit konstantem Querschnitt; Cadwork nennt die Konstruktion „Extrusion"
Schiefprisma	konstanter Querschnitt, Stirnflächen aber nicht orthogonal zur Achse — die Stirnfläche ist mit einem Winkel angeschnitten	Sparren mit Senkelschnitt am Sparrenkopf am First; Sparren mit Bleischnitt am Sparrenfuß an der Traufe; gerade Strebe mit schrägem Anschnitt
Pyramide	spitz zulaufender Polyeder über einer polygonalen Grundfläche, eine Spitze	Walm-Endstück mit rechteckiger Grundfläche; Zeltdach als Sonderfall (vier Dachflächen über quadratischer Grundfläche)
Pyramidenstumpf	Pyramide mit abgeschnittener Spitze, zwei parallele polygonale Flächen	das Stuttgarter Dach historisch (Walmdach mit gestutzter Spitze, oft mit Blechplattform gekrönt)
Konkaver Bauteilkörper	nicht-konvexes Polyeder mit mindestens einer einspringenden Kante	Sparren mit Klauenkerve; Bauteil mit Versatz; Balken mit Zapfen oder Schwalbenschwanz — die praktisch häufigste Typ-Klasse, sobald irgendeine zimmermannsmäßige Verbindung am Bauteil ausgearbeitet ist

Konkave Polyeder sind im Holzbau die Regel, nicht die Ausnahme: kaum ein eingebautes Bauteil bleibt unbearbeitet bis zum Einbau. Die konvexen Polyeder dominieren die Rohzustände, die Halbfertig-Bauteile und die zusammengesetzten Volumen-Bausteine der Dachkörper-Zerlegung; die konkaven dominieren die fertigen, in den Knotenpunkten passgerecht ausgearbeiteten Stab-Bauteile am fertigen Tragwerk.

Was ein Polyeder nicht ist¶

Fünf nachbarschaftliche Begriffe stehen dem Polyeder im Holzbau nahe und werden gelegentlich mit ihm verwechselt. Die Trennung ist didaktisch tragend.

Polygon. Ein Polygon ist eine 2D-Berandung: eine durch Strecken in einer Ebene geschlossene Figur, ohne Tiefe, ohne Volumen. Ein Polyeder ist ein 3D-Körper: jede seiner Begrenzungsflächen ist ein Polygon, das Polyeder selbst ist es nicht. Die Beziehung spiegelt die Achse Strecke ↔ Gerade um eine Dimension höher: Polygon ist die berandete 2D-Figur, Polyeder der berandete 3D-Körper. Schnitt durch ein Bauteil-Polyeder ergibt im Werkplan ein Schnitt-Polygon.

Volumen. Volumen ist die Maßzahl in mm³, die zu einem Körper gehört — eine reelle Zahl, kein geometrischer Körper. Das Walmdach ist das Polyeder; das Walmdach hat das Volumen V. Die Berufssprache der Volumen-Zerlegung trennt das sauber: „das Walmdach- Volumen ist die Summe aus Prismen-Volumen und zweimal Pyramiden- Volumen" — das Dach selbst ist nicht die Summe, das Dach ist der zusammengesetzte Polyeder, dessen Volumen-Summe diesen Wert ergibt.

Körper. Der Begriff Körper ist im Holzbau-Korpus weiter als Polyeder — er umfasst auch gekrümmte 3D-Objekte: Zylinder (Rundholz, runde Stütze), Kegel (zugespitzter Bauteil-Anschnitt), Kugel und Halbkugel (Ornament-Geometrien). Die Berufsschul-„Regelkörper" sind Quader, Zylinder, Kegel, Pyramide, Pyramidenstumpf — drei davon sind Polyeder (Quader, Pyramide, Pyramidenstumpf), zwei nicht (Zylinder, Kegel). „Körper" ist deshalb der gemeinsame Oberbegriff über Polyeder und gekrümmte Körper — nicht spezifisch genug, um „Polyeder" als Synonym zu ersetzen. Das HG-Frontmatter führt „Körper" und „Volumenkörper" konsequent in den abgelehnten Benennungen; „Volumenkörper" zusätzlich, weil es ein CAD-Anglizismus von „solid body" ist.

Bauteil. Ein Bauteil trägt Identität (UUID, Positionsnummer), Werkstoff, Lage, Annotationen und einen Werkplan-Kontext; ein Polyeder ist eine reine Geometrie-Hülle ohne diese Attribute. Ein Bauteil hat einen Polyeder als Geometrie-Aspekt, ist aber nicht selbst ein Polyeder. Cadwork trennt analog „Element" (Bauteil mit Identität) von Geometrie-Modell; BTLx trennt „Komponente" (mit GUID, Grundgeometrie, Bearbeitungs-Liste) von ihrer Geometrie.

Mesh. Ein Mesh ist eine diskrete Approximation einer 3D-Geometrie, typisch aus dreieckigen oder viereckigen Facetten zusammengesetzt, oft zur Annäherung gekrümmter Oberflächen verwendet. Ein Polyeder hat per Definition exakt ebene Flächen — keine Approximation, keine Krümmung. Im Render-Pfad eines CAD- oder Holzbau-Tools werden die polyedrischen Bauteile vor der Bildschirm-Anzeige in Render-Meshes umgewandelt (Tessellierung der Flächen in Dreiecke), aber das Polyeder selbst bleibt die mathematische Beschreibung. Die Verwechslung Polyeder ↔ Mesh ist typisch für die Übergangsschicht zwischen CAD-Geometrie und 3D-Visualisierung; im fachlichen Holzbau-Korpus sind sie sauber getrennt.

Die internationalen CAD-Englisch-Wörter „polyhedron" und „solid" sind keine Synonyme im deutschen Werkplan- und Werkstatt-Korpus — sie sind Software-Slang aus internationaler Dokumentation. Der HG führt sie konsequent in den abgelehnten Benennungen.

Etymologie¶

Polyeder ist ein griechisches Lehnwort, abgeleitet von πολύεδρος (polýedros) „vielsitzig, vielflächig", zusammengesetzt aus πολύς (polýs) „viel" und ἕδρα (hedra) „Sitz, Sitzfläche, Fläche". Die griechische Wort-Metapher meint einen Körper mit vielen Sitzflächen — als ob jede Begrenzungsfläche ein Platz wäre, auf den sich der Körper setzen könnte. Im modernen Deutsch ist die Bedeutungslinie „Sitz" verblasst; der mathematische Fachgebrauch hört in „Polyeder" nur noch die „Fläche".

Die deutschen Lehnübersetzungen, alle im modernen Korpus selten, sind Vielflach (Neutrum, Substantivierung), Vielflächner (Maskulinum mit Personen-Suffix) und Ebenflächner (betont die Ebenheit der Flächen). DWDS markiert „Polyeder" als „selten"; im DACH-Holzbau- Korpus tritt keine der drei deutschen Substantivierungen als feststehender Begriff auf, ebenso wenig wie „Polyeder" selbst. Die einzige Verankerung des Wortes liegt in der mathematischen Schicht (Berufsschul-Mathematik, Lehrbücher, Normen-Diskussion) und in der internationalen CAD-Sprache.

Verweise¶

Diese Subglossar-Datei stützt sich auf die folgenden Hauptglossar- Begriffe; bei Detailfragen ist dort die normative Definition zu finden:

hauptglossar/00_ressourcen/hg_polyeder.md — das normative Hauptglossar zum Polyeder, mit B-Rep-Definition (Eckpunkte, Kanten, Flächen, Inzidenz-Bedingungen 1–5), Euler-Polyederformel, Hauptsatz von Weyl-Minkowski (V-Rep ↔ H-Rep im konvexen Fall), CSG-Block, Implementierungshinweis und Quellenliste.
hauptglossar/00_ressourcen/hg_polygon.md — die berandete, eben liegende 2D-Figur; die Begrenzungsflächen eines Polyeders sind Polygone.
hauptglossar/00_ressourcen/hg_ebene.md — die Trägerebene jeder Polyeder- Begrenzungsfläche.
hauptglossar/00_ressourcen/hg_halbraum.md — der Halbraum als Bauelement der H-Rep konvexer Polyeder.
hauptglossar/10_kern/hg_bauteil.md — das identitätstragende Bauteil gegenüber der reinen Geometrie-Hülle des Polyeders.
hauptglossar/00_ressourcen/hg_punkt.md, hauptglossar/00_ressourcen/hg_vektor.md — die begrifflichen Voraussetzungen.

Verwandte Subglossar-Einträge:

lerninhalt/subglossar/sg_ebene.md — Walmdach in der Flächen- Lesart (drei Dachebenen, Schnittgeraden als Walmgrat und First); Komplementär-Skizze G.1 zu der hier dargestellten Volumen-Lesart.
lerninhalt/subglossar/sg_polygon.md — die 2D-Berandungs-Geschwister- Figur; gemeinsame Negativ-Abgrenzung Polyeder ↔ Polygon.
lerninhalt/subglossar/sg_kerve.md — die zimmermannsmäßige Bearbeitung, die einen konvexen Sparrenquader in einen nicht-konvexen Bauteilkörper überführt.

Verwandte Subglossar-Folgearbeit: sg_quader, sg_prisma, sg_bauteilkoerper, ggf. sg_pyramide (falls subglossar_pendant heraufgesetzt).

Quelle herunterladen¶

Markdown Plain Text BibTeX