Dachhaut

Prosa-Definition¶

Eine Dachhaut ist die fiktive, geometrisch glatte Hüllfläche, die sich von außen über die höchsten Punkte der äußersten wettertrennenden Schicht eines Daches spannt — bei geneigten Dächern über die Eindeckung (Ziegel, Schindeln, Blech), bei Flachdächern über die Abdichtung (Bitumenbahn, Dichtungsfolie, Flüssigkunststoff).

Mathematische Definition¶

Sei

𝒟 = { D₁, …, D_m } mit m ≥ 1 eine endliche, nicht-leere Familie von Dachflächen D_i = (E_i, P_i, n_{a,i}) im Sinne von dachflaeche,
F := ⋃_{i=1..m} F(P_i) ⊂ ℝ³ die geometrische Vereinigungsfläche der Dachflächen (Trägerbereich),
M ⊂ ℝ³ eine endliche, nicht-leere Punktwolke der Eindeckungs- bzw. Abdichtungs-Oberseite: für jedes Eindeckungs- bzw. Abdichtungselement (Ziegel, Schindel, Blechtafel, Bahn, Folie) enthält M die Menge seiner äußeren Oberflächenpunkte; M ist kompakt und liegt vollständig im Halbraum ⋃{i=1..m} { x ∈ ℝ³ | ⟨n.}, x − p_{0,i}⟩ ≥ 0

Für jeden Punkt q ∈ F(P_i) sei

ρ_i(q) := sup { t ∈ ℝ | ∃ x ∈ M : x = q + t · n_{a,i}, t ≥ 0 }

der Höhenabtrag der Eindeckungspunktwolke entlang der äußeren Normalen der zugehörigen Dachfläche, mit der Konvention sup ∅ := 0. Ist q ∈ F(P_i) ∩ F(P_j) auf einer gemeinsamen Randstrecke zweier Dachflächen, so wird ρ als Maximum über die zuständigen Indizes genommen.

Dann ist die Dachhaut des Daches die Bildmenge

H := { q + ρ(q) · n_{a(q)} | q ∈ F }   ⊂ ℝ³,

wobei n_{a(q)} die äußere Normale der für q lokal zuständigen Dachfläche bezeichnet.

Äquivalent (parametrisch über jede Dachfläche):

H_i := { q + ρ_i(q) · n_{a,i} | q ∈ F(P_i) },
H   := ⋃_{i=1..m} H_i.

Die Funktion h_i : F(P_i) → ℝ, q ↦ ρ_i(q), heißt Höhenfunktion der Dachhaut über der Dachfläche D_i; sie liefert in der Praxis stückweise glatte, im Bereich von wenigen Zentimetern variierende Werte (Profilhöhe der Eindeckung).

Wohldefiniertheit¶

Existenz: Für jede nicht-leere, kompakte, oberhalb der Dachflächen liegende Punktwolke M ist ρ_i als Supremum einer beschränkten, abgeschlossenen Menge wohldefiniert und endlich; das Supremum wird angenommen, also ist ρ_i eine Funktion F(P_i) → ℝ_{≥0}.
Eindeutigkeit: H hängt deterministisch von 𝒟 und M ab. Die Wahl der Vorzeichen ist durch die äußere Normale n_{a,i} jeder Dachfläche festgelegt (siehe dachflaeche).
Verhalten an gemeinsamen Rändern (First, Grat, Kehle): Auf gemeinsamen Randstrecken zweier Dachflächen wird ρ als Maximum über die anliegenden Dachflächen genommen. Damit ist H auch dort wohldefiniert, allerdings im Allgemeinen knickbehaftet — was der baulichen Realität entspricht (Firstziegel, Gratabdeckung).
Grenzfall leerer Eindeckung (M = ∅, etwa Rohbau): ρ ≡ 0, H = F. Die Dachhaut fällt mit der Dachfläche zusammen. Dieser Grenzfall ist explizit zugelassen und sinnvoll (z. B. zur Visualisierung des unbedeckten Tragwerks-Resultats).
Konsistenz mit dachflaeche: Die Dachfläche bleibt zweidimensional, dickenlos; die Dachhaut liegt parallel-versetzt bzw. mit Profilrelief über der Dachfläche. Die Dachhaut ist niemals identisch mit der Dachfläche, außer im Grenzfall ρ ≡ 0.
Nicht-Zirkularität: Die Definition verwendet die Primitive Punkt, Vektor, Halbgerade, Supremum sowie die bereits definierten Begriffe dachflaeche, polygon, ebene. Sie verweist auf eindeckung und dachabdichtung nur erläuternd, nicht definitorisch — die Punktwolke M wird unabhängig von der Materialklassifikation spezifiziert.

Erläuterung (nicht normativ)¶

Die Dachhaut ist nach dieser Festlegung kein materielles Bauteil, sondern eine fiktive Fläche, die das Dach geometrisch nach außen abschließt. Die Dachdecker-Tradition erfasst die Dachhaut genau so: als die Fläche, die man berührt, wenn man auf das fertige Dach faßt — über die Pfannenkämme der Ziegel, über die obersten Falze der Blechdeckung, über die Oberkante der Bitumenbahn.

Diese Modellierung hat drei Konsequenzen:

Dachhaut ist geometrisch, nicht materiell. Welche Schichten konkret unter ihr liegen, regelt der dachaufbau. Die Dachhaut selbst ist eine Hüllfläche.
Dachhaut ist abgeleitet, nicht primitiv. Sie wird aus der Dachflächengeometrie und der Eindeckungs-Punktwolke berechnet — nicht direkt eingegeben.
Dachhaut ist eindeutig. Zu einem gegebenen Dach mit gegebener Eindeckung gibt es genau eine Dachhaut.

Bei geneigten Dächern entsteht durch das Profil der Eindeckung (Ziegelprofil, Blechfalz, Wellenstruktur) eine sichtbare Reliefstruktur in H, die aber im Modell oft glättend approximiert wird (mittlere Hüllfläche im Abstand der mittleren Profilhöhe von der Dachfläche). Bei Flachdächern ist H typischerweise sehr nahe an einer parallelen Verschiebung der Dachfläche um die Abdichtungsdicke nach außen.

Die Synonyme Dachdeckung und Dacheindeckung sind für geneigte Dächer gebräuchlich. Bei Flachdächern wird die wettertrennende Schicht meist Abdichtung oder Dachabdichtung genannt; die Dachhaut als Hüllfläche existiert in beiden Fällen, das darunter liegende Material wechselt.

Beziehungen¶

Oberbegriff: derzeit null. Künftig hueltflaeche bzw. flaeche (geometrisches Hüllobjekt, oberer Verband im Sinne der Computational Geometry). Eintrag wird angelegt, sobald weitere Hüllflächen-Begriffe (Wandhülle, Geländehülle) hinzukommen.
Verwendung:
Geometrisches Außen-Merkmal eines dach.
Außenschicht-Repräsentant des dachaufbau (die Dachhaut ist die obere Hüllfläche der äußersten Schicht des Dachaufbaus).
Abgrenzung:
Dachfläche (dachflaeche): rein geometrische, zweidimensionale Bezugsebene, dickenlos. Die Dachhaut liegt über der Dachfläche im Halbraum der äußeren Normalen, im allgemeinen mit Abstand > 0. Bei leerer Eindeckung fallen beide zusammen.
Dach (dach): das Bauteil-Aggregat aus Tragwerk, Dachflächen und Dachaufbau. Die Dachhaut ist eine abgeleitete geometrische Größe des Daches, kein eigenständiges Bauteil.
Dachaufbau (dachaufbau): die materielle Schichtfolge zwischen Tragwerk und Dachhaut (Dampfbremse, Dämmung, Unterdach, Konterlattung, Traglattung, Eindeckung). Im Sprachgebrauch oft fälschlich „Dachhaut" genannt — siehe Quellenkonflikt. In diesem Glossar streng getrennt: Dachhaut ist Geometrie, Dachaufbau ist Materialfolge.
Eindeckung (eindeckung, bereits angelegt): die äußerste materielle Schicht eines geneigten Daches (Ziegel, Schindeln, Blech). Die Dachhaut ist die Hüllfläche über der Eindeckung; Dachhaut und Eindeckung sind nicht identisch, aber die Hüllfläche wird aus der Eindeckungs- Oberseitenpunktwolke konstruiert.
Dachabdichtung (eigener Eintrag folgt, falls relevant): die wassertragende Schicht eines Flachdaches (Bitumenbahn, Folie, Flüssigkunststoff). Bei Flachdächern wird die Dachhaut aus der Abdichtungs-Oberseitenpunktwolke konstruiert. Begrifflich abzugrenzen, weil bei Flachdächern „Dachhaut" und „Abdichtung" im Alltagssprachgebrauch oft vertauscht werden.
Unterdach (unterdach, bereits angelegt): die zweite, unter der Eindeckung liegende wasserführende Ebene. Nicht Bestandteil der Dachhaut, sondern des Dachaufbaus.

Implementierungshinweis¶

Datentyp (Domänen-Schicht, Kotlin, Schicht domain.bauteil):

data class Dachhaut(
    val dachflaechen: List<Dachflaeche>,         // 𝒟, Trägerbereich F = ⋃ F(P_i)
    val hoehenfunktion: (Punkt, Int) -> Double  // ρ_i(q) für i = Index der Dachfläche
) {
    init {
        // 1. dachflaechen.isNotEmpty()                  → sonst Entartet.LeerTraeger
        // 2. hoehenfunktion liefert Werte ≥ 0           → ansonsten Entartet.NegativeHoehe
    }

    fun punktAuf(q: Punkt, i: Int): Punkt =
        q + dachflaechen[i].aeussereNormale * hoehenfunktion(q, i)

    fun mittlereDicke(): Double = /* numerische Integration über F(P_i) */
}

Einheit: Längen und Höhenfunktionswerte in mm (Double).
Repräsentation: Die Dachhaut wird selten direkt eingegeben. Sie wird typischerweise aus dem dachaufbau und der konkreten Eindeckung abgeleitet — entweder analytisch (für Flachdächer mit konstanter Abdichtungsdicke ρ ≡ const) oder numerisch (für Profilziegel als obere Hüllfläche der Pfannenkämme).
Invarianten (in init prüfen, bei Verletzung Resultat.Fehler oder Entartet-Variante zurückgeben, niemals Exception werfen):
dachflaechen.isNotEmpty() ⇒ sonst Entartet.LeerTraeger.
hoehenfunktion liefert für jedes (q, i) einen Wert ≥ −Toleranzen.LAENGE_EPS ⇒ sonst Entartet.NegativeHoehe.
hoehenfunktion ist beschränkt durch eine plausible Maximalhöhe (z. B. < 200 mm für übliche Eindeckungen); Verletzung als Warnung, nicht als harter Fehler.
Edge Cases:
Rohbau ohne Eindeckung: ρ ≡ 0, Dachhaut = Dachfläche. Zulässig.
Flachdach mit homogener Folienabdichtung: ρ = const, Dachhaut ist parallele Verschiebung der Dachfläche.
Profilziegel (z. B. Doppelmuldenfalzziegel): ρ schwankt periodisch über der Fläche; in der App typischerweise als mittlere Hüllfläche dargestellt.
Knicke an First/Grat: Dachhaut ist nicht glatt, sondern knickbehaftet; entspricht der Realität (Firstabdeckung).
Abgeleitete Eigenschaften (als Funktionen, keine Felder):
mittlereDicke(): Double (mm) = mittlerer Wert von ρ über F.
gesamtflaeche(): Double (mm²) = Flächeninhalt von H, leicht größer als der Flächeninhalt von F (Schrägstellung durch ρ-Variation).
liegtAussen(p: Punkt, eps): Boolean = Test, ob Punkt p in der nach außen weisenden Halbraumseite von H liegt.

Quellen¶

Primär (normativ):

Musterbauordnung (MBO) 2002, zuletzt geändert 2016, § 32.
SIA 232/1:2020, „Geneigte Dächer", Schweizerischer Ingenieur- und Architektenverein, Abschnitt 1 und 2.
SIA 271:2007, „Abdichtungen von Hochbauten", Schweizerischer Ingenieur- und Architektenverein, Abschnitt 1.
DIN 18531-1:2017-07, „Abdichtung von Dächern sowie von Balkonen, Loggien und Laubengängen – Teil 1", Abschnitt 3.
DIN 18338:2019-09, „VOB Teil C: Dachdeckungs- und Dachabdichtungsarbeiten", Abschnitt 0.

Sekundär:

Lignum (Hrsg.): Lignatec — Geneigte Dächer in Holzbauweise. Lignum, Zürich, aktuelle Auflage.
Mönck, W.; Rug, W.: Holzbau – Bemessung und Konstruktion.
Auflage, Beuth Verlag 2015.
Gerner, M.: Fachwerk – Instandsetzung, Sanierung, Neubau. DVA, 7. Auflage 2007.

Korpus (nicht autoritativ):

Wikipedia, Lemma „Dachhaut" (abgerufen 2026-05-08).

Quelle herunterladen¶

Markdown Plain Text BibTeX