Ortgang

Prosa-Definition

Ein Ortgang ist eine Dachkante, die vollständig im Rand des Polygons einer geneigten Dachfläche liegt, in der Trägerebene dieser Dachfläche entlang der Falllinie verläuft (also in Richtung des größten Gefälles bzw. dazu antiparallel) und an einer Giebelseite des Gebäudes den seitlichen Abschluss der Dachfläche bildet.

Mathematische Definition

Sei

• D = (E, P, n_a) eine geneigte Dachfläche im Sinne von dachflaeche mit Trägerebene E, Umrisspolygon P = (v₁, …, v_k), äußerer Normale n_a und Dachneigung α ∈ (0, π/2),
• (e₁, …, e_k) die zyklische Folge der Polygonrandkanten,
• e_z = (0, 0, 1)ᵀ die vertikale Achse,
• ε_W := Toleranzen.WINKEL_EPS die Winkeltoleranz.

Die Falllinie der Dachfläche D im Sinne von hg_falllinie.md ist der eindeutige in E liegende Einheitsvektor mit minimaler z-Komponente; mit der dort fixierten Vorzeichenkonvention gilt ⟨e_hat_fall, e_z⟩ ≤ 0 (Falllinie zeigt nach unten, geometrische Bergab-Richtung). Operational liefert die Projektionsform aus hg_falllinie.md Gleichung (vgl. dortige Symbol-Konvention)

e_hat_fall := −(e_z − ⟨e_z, n_a⟩ · n_a) / ‖e_z − ⟨e_z, n_a⟩ · n_a‖.

Lesart des Minus-Zeichens: Der Term v := e_z − ⟨e_z, n_a⟩·n_a ist die orthogonale Projektion von e_z in den Richtungsraum von E und zeigt entlang der steilsten Richtung in E nach oben; das vorangestellte Minus dreht die Richtung gemäß der Vorzeichenkonvention in die Bergab-Richtung. e_hat_fall ist wohldefiniert für α > 0 (denn dann ist e_z nicht parallel zu n_a und der Nenner positiv); siehe hg_falllinie.md für die vollständige Wohldefiniertheits-Argumentation.

Eine Polygonrandkante e_i = [v_i, v_{i+1}] heißt entlang der Falllinie verlaufend, wenn ihr Einheits-Richtungsvektor

e_hat_i := (v_{i+1} − v_i) / ‖v_{i+1} − v_i‖

mit e_hat_fall kollinear ist:

‖e_hat_i × e_hat_fall‖ ≤ ε_W,    äquivalent  |⟨e_hat_i, e_hat_fall⟩| ≥ 1 − ε_W²/2.

Eine Strecke o ⊂ ℝ³ heißt Ortgang der Dachfläche D genau dann, wenn

1. Randkante: o ⊂ ∂F(P) — o liegt vollständig im Polygonrand von D.
2. Falllinien-Lage: o verläuft entlang der Falllinie: ‖e_hat(o) × e_hat_fall‖ ≤ ε_W.
3. Geneigt: ⟨e_hat(o), e_z⟩ ≠ 0 (genauer: |⟨e_hat(o), e_z⟩| > ε_W); damit ist o im Gegensatz zur Traufe nicht horizontal. Diese Bedingung folgt automatisch aus 2 zusammen mit α > 0.

Die Vereinigung aller so identifizierten Strecken bildet, falls sie über gemeinsame Eckpunkte zusammenhängt, die Ortganglinie als Streckenzug; im Regelfall (Sattel-, Pult-, Krüppelwalmdach) besteht sie aus genau einer Strecke pro Giebelseite.

Wohldefiniertheit

• Existenz von e_hat_fall: Für jede geneigte Dachfläche (α ∈ (0, π/2)) ist e_z − ⟨e_z, n_a⟩ · n_a ≠ 0, denn sonst wäre e_z parallel zu n_a, also α = 0. Damit ist e_hat_fall eindeutig bestimmt. Bei einer horizontalen Dachfläche (α = 0) ist e_hat_fall nicht definiert; in diesem Fall existiert auch geometrisch kein Ortgang (siehe Entartet.NichtIdentifizierbar).
• Existenz des Ortgangs: Bei einer geneigten Dachfläche, deren Polygonrand mindestens eine Kante entlang der Falllinie enthält (Regelfall im Holzbau bei orthogonalen Grundrissen), ist die Menge der Ortgangs-Kandidaten nicht leer.
• Eindeutigkeit: Bei einem Sattel- oder Pultdach mit rechteckigem Grundriss hat jede Dachfläche genau zwei Ortgänge (links und rechts); die Definition liefert beide gleichberechtigt. Bei Walmdächern hat die Hauptdachfläche keinen Ortgang (statt dessen Grat-Schnittkanten); die Definition liefert dann die leere Menge — ebenfalls baulich korrekt.
• Symmetrie: Die Bedingung 2 ist symmetrisch unter der Vertauschung e_hat(o) ↔ −e_hat(o), denn ‖−v × w‖ = ‖v × w‖. Sie ist unabhängig von der Orientierung der Strecke.
• Konsistenz mit dachkante: Ein Ortgang ist nach Bedingung 1 eine Randkante der Dachfläche, also eine Dachkante im Sinne von dachkante (Fall „Randkante").
• Nicht-Zirkularität: Die Definition stützt sich nur auf strecke, dachflaeche, polygon, vektor, toleranzen und den bereits definierten Oberbegriff dachkante.

Erläuterung (nicht normativ)

Der Ortgang ist die seitliche, geneigte Begrenzung einer Dachfläche an einem Giebel. Bei einem Satteldach mit rechteckigem Grundriss hat jede der beiden Dachflächen zwei Ortgänge: einen am linken und einen am rechten Giebel. Sie verlaufen parallel zur Falllinie der Dachfläche, also in Richtung des größten Gefälles, und schließen oben am First, unten an der Traufe an.

Bei abgewalmten Dächern (Walmdach, Krüppelwalmdach) entfällt der Ortgang an den Walmseiten — dort bilden die Walmflächen zusätzliche Dachflächen, und die Schnittkanten zwischen Hauptdach und Walm sind Grate, keine Ortgänge.

Konstruktiv liegt am Ortgang häufig ein Ortbrett (auch „Windbrett") als sichtbarer seitlicher Eindeckungsabschluss; das ist ein Bauteil, kein Bestandteil der geometrischen Ortgangkante selbst.

Bei geneigten Giebeln (Sondertopologien, etwa bei in den Grundriss einspringenden oder ausspringenden Giebeln) bleibt die Falllinien- Bedingung das definierende Merkmal — der Ortgang ist und bleibt diejenige Polygonrandkante, die in der Dachflächen-Ebene das Gefälle abläuft.

Beziehungen

• Oberbegriff: dachkante, Spezialfall „Randkante" mit zusätzlicher Lagebedingung (Verlauf entlang der Falllinie der zugehörigen Dachfläche).
• Geschwister-Begriffe (andere Spezialisierungen von dachkante): traufe, first, grat, kehle, pultkante.
• Bestandteile (partitiv): Anfangspunkt und Endpunkt der Ortgangs-Strecke; im Regelfall ist der untere Endpunkt zugleich Eckpunkt der Trauflinie und der obere Endpunkt zugleich Eckpunkt der Firstlinie (oder einer Pultkante, oder eines Grats).
• Abgrenzung:
• Traufe (traufe): untere, näherungsweise horizontale Polygonrandkante; verläuft rechtwinklig zur Falllinie.
• First (first): obere, näherungsweise horizontale Schnittkante; verläuft rechtwinklig zur Falllinie.
• Grat (eigener Eintrag folgt): geneigte Schnittkante zweier Dachflächen an einem ausspringenden Eck (Walmdach-Ecke); geometrisch in einer einzelnen Dachfläche nicht entlang der Falllinie, sondern entlang der Schnittgeraden zweier Dachflächen-Ebenen — daher Schnittkante, nicht Randkante.
• Kehle (eigener Eintrag folgt): geneigte Schnittkante zweier Dachflächen an einem einspringenden Eck.
• Pultkante (eigener Eintrag folgt): obere Polygonrandkante einer Pultdachfläche; horizontal, nicht entlang der Falllinie.
• Ortbrett / Windbrett: konstruktives Bauteil am Ortgang; nicht Bestandteil der geometrischen Kante. Hier nicht definiert.
• Giebel / Giebelseite: jene Wand des Gebäudes, an die der Ortgang anschließt; ist Eigenschaft der Wand, nicht der Dachfläche. Hier nicht definiert.
• Falllinie: die Richtung des größten Gefälles auf der Dachfläche; ist eine Richtung, keine Kante. Wird im Eintrag als Hilfsgröße eingeführt; eigener Glossareintrag folgt bei Bedarf.

Implementierungshinweis

Datentyp (Domänen-Schicht, Kotlin, Schicht domain.bauteil):

sealed class Ortgang : Dachkante() {

    data class Regulaer(
        override val polylinie: Streckenzug,
        val dachflaeche: Dachflaeche
    ) : Ortgang()

    sealed class Entartet : Ortgang() {
        object Nullkante : Entartet()
        object NichtIdentifizierbar : Entartet()
    }
}

Klassifikations-Prädikat in DachkanteOps.kt:

fun istOrtgang(
    e: Strecke,
    d: Dachflaeche,
    eps_W: Double = Toleranzen.WINKEL_EPS,
    eps_L: Double = Toleranzen.LAENGE_EPS
): Boolean {
    // 0. Dachfläche muss geneigt sein, sonst keine Falllinie
    val nA = d.aeussereNormale
    val nzZ = nA dot Vektor.E_Z
    if (1.0 - nzZ <= eps_W) return false   // α ≈ 0 (Flachdach)
    // 1. e ist Polygonrandkante von d
    if (!d.umriss.enthaeltKante(e, eps_L)) return false
    // 2. e verläuft entlang der Falllinie
    val eHat = e.einheitsRichtung().werteOder { return false }
    val fallrichtung = (-(Vektor.E_Z - nA * nzZ)).normiert().werteOder { return false }
    val kreuz = (eHat cross fallrichtung).norm
    if (kreuz > eps_W) return false
    // 3. e ist nicht horizontal (folgt aus 0+2, hier nur Sicherheit)
    if (abs(eHat dot Vektor.E_Z) <= eps_W) return false
    return true
}

• Einheit: alle Koordinaten in mm (Double), Längen in mm.
• Invarianten (in Factory prüfen, niemals Exception):
• ℓ(polylinie) > Toleranzen.LAENGE_EPS — sonst Entartet.Nullkante.
• Jede Teilstrecke der Polylinie ist Polygonrandkante der übergebenen Dachfläche.
• Die Dachfläche ist geneigt (α > Toleranzen.WINKEL_EPS), sonst Entartet.NichtIdentifizierbar.
• Jede Teilstrecke verläuft entlang der Falllinie der Dachfläche (Kollinearität mit e_hat_fall, geprüft mit Kreuzprodukt- Toleranz Toleranzen.WINKEL_EPS).
• Edge Cases:
• Nullkante: ℓ ≤ Toleranzen.LAENGE_EPS → Entartet.Nullkante.
• Flachdach (α = 0): keine Falllinie definierbar → Entartet.NichtIdentifizierbar.
• NichtIdentifizierbar: Polygonrand enthält keine entlang der Falllinie verlaufende Kante (z. B. bei einer rein dreieckigen Walmfläche, deren beide nicht-horizontalen Kanten Grate sind) → Entartet.NichtIdentifizierbar.
• Geknickter Ortgang (z. B. bei Mansarddach mit gestuftem Giebel): zulässig durch Streckenzug-Modellierung; jede Teilstrecke wird einzeln klassifiziert.
• Abgeleitete Operationen:
• fun ortganglaenge(): Double (mm) = ℓ(polylinie).
• fun ortganglinie(): Streckenzug = polylinie.
• fun gefaelle(): Double = ⟨−e_hat(polylinie), e_z⟩ (sin der Dachneigung; korrespondiert zu α der Dachfläche).

Quellen

Primär (normativ):

• SIA 232/1:2020, „Geneigte Dächer", Schweizerischer Ingenieur- und Architektenverein, Abschnitt 1.
• DIN 1356-1:1995-02, „Bauzeichnungen – Teil 1: Arten, Inhalte und Grundregeln der Darstellung", Abschnitt 5.
• DIN 18338:2019-09, „VOB Teil C: Dachdeckungs- und Dachabdichtungsarbeiten", Abschnitt 0.

Sekundär:

• Mönck, W.; Rug, W.: Holzbau – Bemessung und Konstruktion.
• Auflage, Beuth Verlag 2015.
• Gerner, M.: Fachwerk – Instandsetzung, Sanierung, Neubau. DVA,
• Auflage 2007.
• Lignum (Hrsg.): Lignatec — Geneigte Dächer in Holzbauweise. Lignum, Zürich, aktuelle Auflage.

Korpus (nicht autoritativ):

• Wikipedia, Lemma „Ortgang" (abgerufen 2026-05-08).

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