Schnittgerade¶

Eine Schnittgerade ist die gerade Linie, die entsteht, wo zwei flache Flächen aufeinandertreffen — wie die Kante, an der zwei Dachflächen am First zusammenstossen.

Prosa-Definition¶

Eine Schnittgerade ist eine Gerade, die als Schnittmenge zweier Ebenen E₁ und E₂ entsteht und damit zugleich in beiden Ebenen liegt; sie existiert genau dann, wenn die Normalen der beiden Ebenen linear unabhängig sind, das heißt wenn die Ebenen weder identisch noch parallel disjunkt sind.

Mathematische Definition¶

Sei

E₁ = (p₁, n_hat₁) und E₂ = (p₂, n_hat₂) zwei Ebenen im Sinne von ebene in Hesse-Normalform, also mit normierten Normalen ‖n_hat₁‖ = ‖n_hat₂‖ = 1 und vorzeichenbehafteten Ursprungsabständen d₁:= ⟨n_hat₁, p₁⟩ und d₂:= ⟨n_hat₂, p₂⟩ (in mm),
ε_K:= Toleranzen.KOLLINEAR_EPS die Kollinearitätstoleranz,
ε_L:= Toleranzen.LAENGE_EPS die Längentoleranz.

Existenzbedingung. Die Schnittgerade existiert genau dann, wenn

‖ n_hat₁ × n_hat₂ ‖ > ε_K                                             (E)

(Normalen nicht kollinear).

Richtungsvektor. Unter Bedingung (E) ist

v:= n_hat₁ × n_hat₂ ∈ ℝ³ \ {0},
t_hat:= v / ‖v‖    ∈ S².

Stützpunkt. Unter Bedingung (E) ist

x₀:= (d₁ · (n_hat₂ × t_hat)  +  d₂ · (t_hat × n_hat₁)) / ‖v‖             (S)

ein Punkt mit ⟨n_hat₁, x₀⟩ = d₁ und ⟨n_hat₂, x₀⟩ = d₂, also x₀ ∈ E₁ ∩ E₂.

Schnittgerade. Die durch (E₁, E₂) erzeugte Schnittgerade g(E₁, E₂) ⊂ ℝ³ ist die Punktmenge

g(E₁, E₂):= E₁ ∩ E₂ = { x₀ + t · t_hat ∈ ℝ³ | t ∈ ℝ },

also die Gerade im Sinne von gerade mit Stützpunkt x₀ und Richtungsvektor t_hat.

Anwendung als Funktion. Damit ist die Operation

Ebene × Ebene  ⟶  Gerade ∪ {Entartet.ParalleleEbenen,
                            Entartet.IdentischeEbenen}

mit

schnittGerade(E₁, E₂):=
  Entartet.IdentischeEbenen,    falls ‖n_hat₁ × n_hat₂‖ ≤ ε_K  und
                                       |⟨n_hat₁, p₂ − p₁⟩| ≤ ε_L
  Entartet.ParalleleEbenen,     falls ‖n_hat₁ × n_hat₂‖ ≤ ε_K  und
                                       |⟨n_hat₁, p₂ − p₁⟩| > ε_L
  g(E₁, E₂),                    sonst.

Wohldefiniertheit¶

Existenz unter (E): Aus ‖n_hat₁ × n_hat₂‖ > ε_K folgt v ≠ 0 und damit t_hat ∈ S². Der durch (S) konstruierte Punkt x₀ erfüllt ⟨n_hat₁, x₀⟩ = d₁ und ⟨n_hat₂, x₀⟩ = d₂; das ist eine direkte Konsequenz der Identitäten
```
⟨n_hat₁, n_hat₂ × t_hat⟩ = ⟨t_hat, n_hat₁ × n_hat₂⟩ = ‖v‖,
⟨n_hat₁, t_hat × n_hat₁⟩ = 0,
⟨n_hat₂, n_hat₂ × t_hat⟩ = 0,
⟨n_hat₂, t_hat × n_hat₁⟩ = ⟨t_hat, n_hat₁ × n_hat₂⟩ · (−1)·(−1) = ‖v‖,
```
d. h. ⟨n_hat₁, x₀⟩ = (d₁ · ‖v‖ + d₂ · 0) / ‖v‖ = d₁ und analog für n_hat₂. Also liegt x₀ in beiden Ebenen, und g(E₁, E₂) ist nicht-leer.
Eindeutigkeit als Punktmenge: Da n_hat₁ und n_hat₂ linear unabhängig sind, ist E₁ ∩ E₂ ein eindimensionaler affiner Unterraum von ℝ³. Aus zwei verschiedenen, durch (E₁, E₂) konstruierten Repräsentanten (x₀, t_hat) und (x₀′, t_hat′) folgt deshalb g(x₀, t_hat) = g(x₀′, t_hat′) als Punktmenge — siehe Identitätsrelation in hg_gerade.md.
Vorzeichen der Richtung / Reihenfolge der Ebenen: Beim Vertauschen von E₁ und E₂ wechselt v = n_hat₁ × n_hat₂ ↦ −v sein Vorzeichen, t_hat ↦ −t_hat. Die durch (S) konstruierte Position x₀ ist jedoch invariant: das Produkt d₁ · (n_hat₂ × t_hat) wird zu d₂ · (n_hat₁ × (−t_hat)) = d₂ · (t_hat × n_hat₁) und entsprechend; insgesamt bleibt x₀ unverändert. Als Gerade im Sinne von gerade gilt zudem g(p₀, v) = g(p₀, −v), so dass
```
g(E₁, E₂) = g(E₂, E₁)   als Punktmenge.
```
Die Schnittgerade ist als geometrisches Objekt in der Reihenfolge der beiden erzeugenden Ebenen symmetrisch. Wo eine Tangentenorientierung benötigt wird, muss der Aufrufer eine Reihenfolge fixieren (siehe hg_grat.md, hg_kehle.md).
Disjunktheit der Entartungen: Die Bedingung ‖n_hat₁ × n_hat₂‖ ≤ ε_K ist äquivalent zu „n_hat₁ und n_hat₂ kollinear (parallel oder antiparallel)". In diesem Fall sind die Trägerebenen entweder identisch (gleiche Hesse-Distanz, geprüft durch |⟨n_hat₁, p₂ − p₁⟩| ≤ ε_L) oder echt parallel und disjunkt. Beide Fälle sind disjunkt; die Fallunterscheidung in schnittGerade ist erschöpfend.
Konsistenz mit gerade: Unter (E) erfüllt (x₀, t_hat) die Invarianten von gerade (t_hat ist Einheitsvektor, alle Komponenten finit). Die Schnittgerade ist damit eine Gerade im Sinne des Glossareintrags gerade.
Nicht-Zirkularität: Die Definition stützt sich nur auf gerade, ebene, vektor, einheitsvektor, punkt und toleranzen; alle diese Begriffe sind zuvor definiert.

Erläuterung (nicht normativ)¶

Die Schnittgerade ist das geometrische Standardobjekt für jede Verschneidung zweier ebener Bauteilflächen oder Bezugsebenen. Im Holzbau tritt sie als geometrischer Träger in mindestens drei zentralen Rollen auf:

als geometrischer Träger des Firsts (first): Schnittgerade zweier Dachflächen-Trägerebenen, deren Schnittstrecke näherungsweise horizontal in der höchsten gemeinsamen Lage liegt;
als geometrischer Träger des Grats (grat): Schnittgerade zweier Dachflächen-Trägerebenen, deren Schnittstrecke geneigt und konvex (ausspringend) verläuft;
als geometrischer Träger der Kehle (kehle): Schnittgerade zweier Dachflächen-Trägerebenen, deren Schnittstrecke geneigt und konkav (einspringend) verläuft.

Allgemein ist die Schnittgerade die Trägergerade jeder Verschneidung zweier ebener Bauteilflächen — Wand zu Dach (Anschnitt am Wandkopf), Wand zu Wand (Innen- oder Außenecke), Dachfläche zu Schalung etc. Das tatsächliche Bauteil-Resultat ist in jedem Fall ein endliches Streckenstück auf dieser Schnittgerade, beschnitten auf den gemeinsamen Polygonbereich der beiden anliegenden Flächen.

Anschauliche Konstruktion (S): Der Term n_hat₂ × t_hat steht in E₁ orthogonal zur Schnittgerade (da er auf t_hat und auf n_hat₂ orthogonal steht und t_hat in E₁ liegt); analog steht t_hat × n_hat₁ in E₂ orthogonal zur Schnittgerade. Die Linearkombination mit den Koeffizienten d₁ und d₂ (skaliert mit 1/‖v‖) liefert genau jenen Punkt auf der Schnittgerade, dessen Stützung in der durch n_hat₁ und n_hat₂ aufgespannten Ebene liegt — geometrisch der Lotfußpunkt vom Ursprung auf die Schnittgerade.

Beziehungen¶

Oberbegriff: gerade. Jede Schnittgerade IST eine Gerade (eindimensionaler affiner Unterraum von ℝ³). Die Schnittgerade trägt zusätzlich die Information ihrer beiden Erzeuger-Ebenen, die für die Klassifikation nachgelagerter Bauteilrollen (First, Grat, Kehle) gebraucht wird.
Erzeuger (Komponenten der Erzeugung): zwei Ebenen E₁, E₂ im Sinne von ebene mit linear unabhängigen Normalen.
Spezialisierungen / Rollen: Die geometrischen Träger von first, grat und kehle sind jeweils Schnittgeraden zweier Dachflächen-Trägerebenen, die durch zusätzliche Lagebedingungen (Neigung, Konvexität, Höhenmaximum) zu Dachkanten klassifiziert werden.
Abgrenzung:
Gerade (gerade): allgemein. Jede Schnittgerade ist eine Gerade, aber nicht jede Gerade ist eine Schnittgerade einer konkret gegebenen Ebenenpaarung. Eine als Schnittgerade klassifizierte Gerade trägt die Erzeuger-Information mit sich.
Strecke (strecke): endlicher Ausschnitt einer Geraden zwischen zwei Endpunkten. Im Holzbau wird die Schnittgerade typischerweise auf den gemeinsamen Polygonbereich zweier Dachflächen beschnitten; das Ergebnis ist eine Strecke (oder ein Streckenzug), nicht die ganze Schnittgerade.
Schnittpunkt: Schnitt einer Geraden mit einer Ebene oder dreier Ebenen — nulldimensionales Ergebnis, keine Gerade. Eigener Folge-Eintrag möglich.
Verschneidung (Operation): allgemeiner Begriff für jede Schnittoperation zwischen geometrischen Objekten. Die Schnittgerade ist eine spezielle Verschneidung (Ebene ∩ Ebene → Gerade). Andere Verschneidungen (Polygon ∩ Polygon, Strecke ∩ Ebene) liefern andere Ergebnistypen.
Halbgerade (halbgerade): einseitig begrenzter Ausschnitt einer Geraden. Die Schnittmenge zweier Ebenen ist niemals eine Halbgerade, sondern stets unbegrenzt zweiseitig.

Quellen¶

Primär (normativ):

DIN ISO 80000-2:2022-08, „Größen und Einheiten – Teil 2: Mathematik", Abschnitt 2.

Sekundär:

Bronstein, I. N.; Semendjajew, K. A.; Musiol, G.; Mühlig, H.: Taschenbuch der Mathematik. Edition Harri Deutsch, aktuelle Auflage, Kap. 3.5.2.
Bär, C.: Elementargeometrie. Springer Spektrum, Kap. 5.
Fischer, G.: Lineare Algebra. 19. Aufl., Springer Spektrum 2020.
de Berg, M.; Cheong, O.; van Kreveld, M.; Overmars, M.: Computational Geometry – Algorithms and Applications. 3. Aufl., Springer 2008.

Korpus (nicht autoritativ):

Wikipedia, Lemma „Schnittgerade" (abgerufen 2026-05-08).

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