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Kehle

Prosa-Definition

Eine Kehle ist eine Dachkante, die als Schnittkante zweier benachbarter Dachflächen auf der Schnittgerade ihrer Trägerebenen liegt, gegenüber der Horizontalen geneigt verläuft (also nicht näherungsweise horizontal ist) und an einer einspringenden Innenecke des Daches die beiden anliegenden Dachflächen so zusammenführt, dass ihre äußeren Normalen in einen gemeinsamen oberen Halbraum weisen (konkave Konfiguration), wodurch in der Kehle das von beiden Dachflächen abfließende Niederschlagswasser zusammenläuft.

Mathematische Definition

Sei

  • D_i = (E_i, P_i, n_{a,i}) und D_j = (E_j, P_j, n_{a,j}) zwei verschiedene Dachflächen im Sinne von dachflaeche mit i ≠ j,
  • E_i und E_j nicht parallel, also E_i ∩ E_j eine Gerade g_{ij} ⊂ ℝ³ (Schnittgerade der Trägerebenen),
  • F(P_i) ⊂ E_i und F(P_j) ⊂ E_j die berandeten abgeschlossenen Flächenstücke,
  • s_{ij} := F(P_i) ∩ F(P_j) die gemeinsame Schnittstrecke (vgl. first),
  • e_z = (0, 0, 1)ᵀ die vertikale Achse,
  • ε_W := Toleranzen.WINKEL_EPS die Winkeltoleranz,
  • ε_L := Toleranzen.LAENGE_EPS die Längentoleranz.

Sei ℓ(s_{ij}) > ε_L und t_hat der Einheits-Tangentenvektor von s_{ij}, mit der Konvention ⟨t_hat, e_z⟩ > 0 (Tangente nach oben orientiert; vgl. grat).

Eine Schnittstrecke s_{ij} heißt geneigt, wenn

|⟨t_hat, e_z⟩| > ε_W                                            (1)

(d. h. t_hat ist nicht näherungsweise horizontal — diese Bedingung grenzt Kehle und Grat gemeinsam vom First ab).

Eine geneigte Schnittstrecke s_{ij} heißt konkav (einspringend), wenn das gemischte Spatprodukt der äußeren Normalen mit der aufwärts gerichteten Tangente das negative Zeichen liefert. Mit derselben kanonischen Vorzeichenwahl σ(i, j) wie in hg_grat.md (Konvention: positives Spatprodukt = konvex/Grat) verlangen wir

⟨ n_hat_{a,i} × n_hat_{a,j}, t_hat ⟩  ·  σ(i, j)  <  −ε_W.            (2)

Äquivalente, vorzeichen-symmetrische Schreibweise:

sign( ⟨ n_hat_{a,i} × n_hat_{a,j}, t_hat ⟩ )_kanonisch  =  −                (2')

Anschaulich gleichwertig ist die Bedingung, dass die Winkelhalbierende beider äußerer Normalen unterhalb der durch g_{ij} und t_hat aufgespannten Ebene liegt, also nach innen-unten zeigt.

Eine Schnittstrecke s_{ij} heißt Kehle der Dachflächenfamilie 𝒟 genau dann, wenn

  1. ℓ(s_{ij}) > ε_L (nicht-entartet),
  2. s_{ij} ist geneigt im Sinne von (1),
  3. s_{ij} ist konkav im Sinne von (2),
  4. beide äußeren Normalen weisen in die obere Halbkugel: ⟨n_hat_{a,i}, e_z⟩ > 0 und ⟨n_hat_{a,j}, e_z⟩ > 0 (Ausschluss senkrechter Wände).

Die Vereinigung aller so identifizierten Schnittstrecken bildet, falls sie über gemeinsame Eckpunkte zusammenhängt, die Kehllinie als Streckenzug; im Regelfall (Verschneidung Hauptdach × Gaube, Verschneidung zweier Sattel­dächer mit T-Grundriss) besteht sie aus einer oder zwei Strecken pro einspringender Ecke.

Wohldefiniertheit

  • Existenz der Tangente: Wegen ℓ(s_{ij}) > ε_L ist t_hat wohldefiniert. Die Konvention ⟨t_hat, e_z⟩ > 0 ist wegen (1) erfüllbar und legt die Orientierung eindeutig fest.
  • Unabhängigkeit von der Indexreihenfolge: Beim Vertauschen i ↔ j wechseln sowohl n_hat_{a,i} × n_hat_{a,j} als auch σ(i, j) ihr Vorzeichen; das Produkt in (2) bleibt invariant.
  • Unabhängigkeit von der Punktwahl: t_hat ist auf der ganzen Strecke konstant; die Bedingungen (1) und (2) sind punktunabhängig.
  • Disjunktheit zu First: First verlangt |⟨t_hat, e_z⟩| ≤ ε_W; Kehle verlangt |⟨t_hat, e_z⟩| > ε_W.
  • Disjunktheit zu Grat: Grat verlangt das Spatprodukt

    +ε_W (konvex), Kehle verlangt < −ε_W (konkav). Dazwischen liegt das Toleranzband [−ε_W, +ε_W], das als Entartung klassifiziert wird (Entartet.NichtIdentifizierbar).

  • Konsistenz mit dachkante: Eine Kehle ist nach Konstruktion eine Schnittkante zweier Dachflächen, also eine Dachkante (Fall „Schnittkante").
  • Nicht-Zirkularität: Die Definition stützt sich nur auf strecke, dachflaeche, polygon, ebene, vektor, toleranzen und den Oberbegriff dachkante.

Erläuterung (nicht normativ)

Die Kehle ist die geneigte „Innenkante" zweier Dachflächen an einem einspringenden Eck. Sie tritt typischerweise dort auf, wo zwei Dachvolumina sich verschneiden — etwa beim T-förmigen Anbau eines Satteldachs an ein anderes Satteldach, oder bei der Verschneidung einer Satteldachgaube mit einer Hauptdachfläche. An solchen Stellen fließt das Wasser beider Dachflächen in der Kehlinie zusammen; sie ist daher konstruktiv besonders relevant.

Konstruktiv liegt in der Kehle üblicherweise ein Kehlblech (metallene Kehlrinne, von der Eindeckung überdeckt) oder eine Kehlbohle (Holzbohle als Unterkonstruktion); unter der Kehlinie verläuft im Tragwerk häufig ein Kehlsparren. Diese Bauteile sind nicht Bestandteil der geometrischen Kehlkante.

Anschauliche Konkavitätsprüfung: Die beiden äußeren Normalen n_hat_{a,i} und n_hat_{a,j} weisen an einer Kehle gewissermaßen gegeneinander (beide in Richtung der jeweils anderen Dachfläche „über" der Kehlinie); ihre Winkelhalbierende zeigt nach oben-zentral und die Geometrie öffnet sich nach oben wie eine Rinne. An einem Grat hingegen weisen die Normalen voneinander weg, und die Geometrie öffnet sich nach unten.

Regional ist die Bezeichnung „Ixe" (auch „Ix") in der Schweiz und Süddeutschland für die Kehlinie geläufig und insbesondere bei der Aufrissdarstellung des Dachs gebräuchlich.

Beziehungen

  • Oberbegriff: dachkante, Spezialfall „Schnittkante" mit zusätzlichen Lagebedingungen (geneigt, konkav, beide Normalen mit positiver z-Komponente).
  • Geschwister-Begriffe (andere Spezialisierungen von dachkante): traufe, first, ortgang, grat, pultkante.
  • Bestandteile (partitiv): Anfangspunkt und Endpunkt der Kehllinien-Strecke; im Regelfall ist der untere Endpunkt zugleich Eckpunkt zweier Trauflinien (Trauf-Innenecke) und der obere Endpunkt zugleich Eckpunkt einer Firstlinie oder eines Grats.
  • Abgrenzung:
  • First (first): horizontale Schnittkante zweier nach oben zusammenlaufender Dachflächen. Kehle ist im Gegensatz dazu geneigt (Bedingung (1)).
  • Grat (grat): geneigte konvexe Schnittkante. Kehle ist konkav; Vorzeichen in (2) umgekehrt zum Grat.
  • Ortgang (ortgang): geneigte Randkante einer einzelnen Dachfläche entlang ihrer Falllinie. Kehle ist Schnittkante zweier Dachflächen.
  • Traufe (traufe): horizontale, untere Randkante.
  • Pultkante (pultkante): obere Randkante einer einzelnen Pultdachfläche.
  • Kehlblech / Kehlrinne: Eindeckungs-Bauteil zur Wasserführung in der Kehle; nicht die Kante selbst. Hier nicht definiert.
  • Kehlbohle: Holz-Bauteil als Unterlage des Kehlblechs; Bauteil, nicht Kante. Hier nicht definiert.
  • Kehlsparren (kehlsparren, bereits angelegt): Tragwerksbalken unter der Kehlkante; Bauteil, nicht Kante.

Implementierungshinweis

Datentyp (Domänen-Schicht, Kotlin, Schicht domain.bauteil):

sealed class Kehle : Dachkante() {

    data class Regulaer(
        override val polylinie: Streckenzug,
        val dachflaecheA: Dachflaeche,
        val dachflaecheB: Dachflaeche
    ) : Kehle()

    sealed class Entartet : Kehle() {
        object Nullkante : Entartet()
        object NichtIdentifizierbar : Entartet()
    }
}

Klassifikations-Prädikat in DachkanteOps.kt:

fun istKehle(
    s: Strecke,
    dA: Dachflaeche,
    dB: Dachflaeche,
    eps_W: Double = Toleranzen.WINKEL_EPS,
    eps_L: Double = Toleranzen.LAENGE_EPS
): Boolean {
    // 1. Schnittkante: s liegt im gemeinsamen Polygonbereich von dA und dB
    if (!liegtImSchnitt(s, dA, dB, eps_L)) return false
    if (s.laenge() <= eps_L) return false
    // 2. Tangente, nach oben orientiert
    var tHat = s.einheitsRichtung().werteOder { return false }
    if ((tHat dot Vektor.E_Z) < 0.0) tHat = -tHat
    // 3. Geneigt (nicht horizontal): grenzt Grat/Kehle gegen First ab
    if (abs(tHat dot Vektor.E_Z) <= eps_W) return false
    // 4. Beide Normalen in oberer Halbkugel
    val nA = dA.aeussereNormale.normiert().werteOder { return false }
    val nB = dB.aeussereNormale.normiert().werteOder { return false }
    if ((nA dot Vektor.E_Z) <= 0.0) return false
    if ((nB dot Vektor.E_Z) <= 0.0) return false
    // 5. Konkavitätsbedingung: Spatprodukt < -eps_W
    //    (Vorzeichen-Konvention: dieselbe wie in istGrat; konsistente Wahl
    //    der Reihenfolge (A, B) durch die Polygon-Umlaufrichtung der
    //    ersten Dachfläche.)
    val spat = (nA cross nB) dot tHat
    return spat < -eps_W
}
  • Einheit: alle Koordinaten in mm (Double), Längen in mm.
  • Invarianten (in Factory prüfen, niemals Exception):
  • ℓ(polylinie) > Toleranzen.LAENGE_EPS — sonst Entartet.Nullkante.
  • Jede Teilstrecke der Polylinie liegt im Schnittbereich F(P_A) ∩ F(P_B) der beiden anliegenden Dachflächen.
  • Jede Teilstrecke ist geneigt: |t_hat · e_z| > Toleranzen.WINKEL_EPS.
  • Beide äußeren Normalen weisen mit positiver z-Komponente nach oben.
  • Konkavitätsbedingung (2) erfüllt.
  • Edge Cases:
  • Nullkante: ℓ ≤ Toleranzen.LAENGE_EPS → Entartet.Nullkante.
  • NichtIdentifizierbar: Spatprodukt im Toleranzband [−ε_W, +ε_W] → die beiden Trägerebenen sind näherungsweise koplanar oder die Kante liegt im Grenzfall zwischen Grat und Kehle → Entartet.NichtIdentifizierbar.
  • Parallele Trägerebenen: keine Schnittgerade → Entartet.NichtIdentifizierbar.
  • Horizontale Tangente: Bedingung (1) verletzt → die Kante ist ein First, keine Kehle.
  • Geknickte Kehlinie (z. B. bei polygonal abgeknickten Verschneidungen): zulässig durch Streckenzug-Modellierung; jede Teilstrecke wird einzeln klassifiziert.
  • Abgeleitete Operationen:
  • fun kehllaenge(): Double (mm) = ℓ(polylinie).
  • fun kehllinie(): Streckenzug = polylinie.
  • fun kehlneigung(): Double = arcsin(|t_hat · e_z|) (Winkel der Kehllinie gegen die Horizontale; Bezugsmaß für die Bemessung von Kehlsparren und Kehlblech-Längen).

Quellen

Primär (normativ):

  • SIA 232/1:2020, „Geneigte Dächer", Schweizerischer Ingenieur- und Architektenverein, Abschnitt 1.
  • DIN 1356-1:1995-02, „Bauzeichnungen – Teil 1: Arten, Inhalte und Grundregeln der Darstellung", Abschnitt 5.
  • DIN 18338:2019-09, „VOB Teil C: Dachdeckungs- und Dachabdichtungsarbeiten", Abschnitt 0.

Sekundär:

  • Mönck, W.; Rug, W.: Holzbau – Bemessung und Konstruktion.
  • Auflage, Beuth Verlag 2015.
  • Gerner, M.: Fachwerk – Instandsetzung, Sanierung, Neubau. DVA,
  • Auflage 2007.
  • Lignum (Hrsg.): Lignatec — Geneigte Dächer in Holzbauweise. Lignum, Zürich, aktuelle Auflage.

Korpus (nicht autoritativ):

  • Wikipedia, Lemma „Dachkehle" (abgerufen 2026-05-08).

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