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Prosa-Definition

Eine Gerade ist ein eindimensionaler affiner Unterraum von ℝ³, gegeben als die Menge aller Punkte, die von einem festen Stützpunkt p₀ aus durch ganzzahlige reelle Vielfache eines Nicht-Nullvektors v (Richtungsvektor) erreicht werden; sie ist beidseitig unbegrenzt und richtungslos in dem Sinne, dass eine Gerade durch (p₀, v) und durch (p₀, −v) dieselbe Punktmenge bezeichnet.

Mathematische Definition

Sei

  • p₀ ∈ ℝ³ ein Stützpunkt,
  • v ∈ ℝ³ \ {0} ein Richtungsvektor.

Dann ist die durch (p₀, v) definierte Gerade g ⊂ ℝ³ die Menge

g(p₀, v) := { p₀ + t · v ∈ ℝ³ | t ∈ ℝ }.

Die Abbildung

γ : ℝ → ℝ³,   γ(t) := p₀ + t · v

heißt Parametrisierung der Geraden. Sie ist injektiv (wegen v ≠ 0) und surjektiv auf g.

Wesentliche abgeleitete Größen für x ∈ ℝ³:

  • Einheits-Richtung: v_hat := v / ‖v‖ ∈ S² (bis auf Vorzeichen).
  • Vorzeichenbehafteter Parameter von x ∈ g bezüglich (p₀, v_hat): t(x) := ⟨x − p₀, v_hat⟩, in mm.
  • Orthogonale Projektion auf g: π_g(x) := p₀ + ⟨x − p₀, v_hat⟩ · v_hat.
  • Abstand Punkt–Gerade: d_g(x) := ‖x − π_g(x)‖, in mm.

Wohldefiniertheit

Die Definition g(p₀, v) ist als Punktmenge invariant unter den folgenden Repräsentantenwechseln, die also dieselbe Gerade bezeichnen:

  1. Skalierung des Richtungsvektors: Für jedes λ ∈ ℝ \ {0} gilt g(p₀, λ·v) = g(p₀, v), denn { p₀ + t·(λv) | t ∈ ℝ } = { p₀ + (λt)·v | t ∈ ℝ } = { p₀ + s·v | s ∈ ℝ }. Insbesondere gilt g(p₀, v) = g(p₀, −v): die Gerade ist ungerichtet.
  2. Verschiebung des Stützpunkts entlang v: Für jedes s ∈ ℝ und p₀' := p₀ + s·v gilt g(p₀', v) = g(p₀, v), denn { p₀' + t·v | t ∈ ℝ } = { p₀ + (s + t)·v | t ∈ ℝ } = g(p₀, v).
  3. Allgemeine Stützpunktwahl: Für jedes p₀' ∈ g(p₀, v) gilt g(p₀', v) = g(p₀, v), denn p₀' − p₀ ∈ ℝ·v (Folge von 2).

Identitätsrelation der Geraden als Punktmengen: Zwei Datentyp- Repräsentanten (p₀, v) und (p₀', v') beschreiben dieselbe Gerade genau dann, wenn

v × v' = 0   (Kollinearität)   und   (p₀' − p₀) × v = 0   (Inzidenz),

beide Tests numerisch mit Toleranzen.KOLLINEAR_EPS auf normierten Vektoren auszuführen.

Existenz: Für jedes (p₀, v) mit v ≠ 0 ist g nicht-leer (p₀ ∈ g) und enthält tatsächlich überabzählbar viele Punkte.

Nicht-Zirkularität: Die Definition stützt sich nur auf Punkt, Vektor, Skalar- und Kreuzprodukt sowie auf das Toleranzkonzept aus hg_toleranzen.md.

Erläuterung (nicht normativ)

Eine Gerade ist die einfachste eindimensionale geometrische Figur mit unendlicher Ausdehnung in beide Richtungen. Im Holzbau treten Geraden konzeptionell auf als

  • Trägergeraden von Bauteilachsen (eine Sparrenachse als endlicher Bauteilbestandteil ist eine Strecke, ihre unbegrenzte Verlängerung eine Gerade),
  • Schnittlinien zweier Ebenen (z. B. Gratlinie als Schnitt zweier Dachebenen, geometrisch eine Gerade; das tatsächliche Bauteil „Grat" ist davon ein endliches Stück),
  • Wirkungslinien von Kräften (in der Statik),
  • Anrisslinien als gedachte unbegrenzte Träger einer Markierung.

Der konzeptionelle Unterschied zur Strecke und zur Halbgeraden ist die zweiseitige Unbegrenztheit. Der Unterschied zum Vektor ist die Ortsbindung: ein Richtungsvektor v allein ist keine Gerade; erst zusammen mit einem Stützpunkt p₀ definiert er eine.

Beziehungen

  • Oberbegriff: eindimensionaler affiner Unterraum von ℝ³ (formal). Im Glossar Primitiv.
  • Teilbegriffe / Rollen:
  • Achse eines Stabbauteils: eine Gerade in spezialisierter Rolle (wenn unbegrenzt gemeint) bzw. eine Strecke (wenn auf das Bauteil eingeschränkt). Eigener Eintrag in Folgearbeit.
  • Schnittgerade zweier Ebenen: rollenbezogene Verwendung; eigener Eintrag.
  • Bestandteile (partitiv): jede Gerade enthält überabzählbar viele Punkte; eine Gerade hat keine eigenen ausgezeichneten Bestandteile (Anfangs- oder Endpunkt existieren nicht).
  • Abgrenzung:
  • Strecke (strecke): endlicher Ausschnitt einer Geraden mit zwei Endpunkten. Formal: zu jeder Strecke [a, b] mit a ≠ b existiert eine eindeutige Trägergerade g(a, b − a), aber nicht umgekehrt — auf einer Geraden liegen unendlich viele Strecken.
  • Halbgerade (halbgerade): einseitig begrenzter Ausschnitt einer Geraden { p₀ + t·v | t ∈ [0, ∞) }. Eine Gerade lässt sich durch jeden ihrer Punkte in genau zwei Halbgeraden zerlegen, deren Schnitt der Trennpunkt ist.
  • Ebene (ebene): zweidimensionaler affiner Unterraum; höhere Dimension. Eine Gerade liegt entweder vollständig in einer Ebene oder schneidet sie in höchstens einem Punkt.
  • Vektor (vektor): ortsfreie gerichtete Verschiebung. Der Richtungsvektor v einer Geraden ist ein Vektor, die Gerade selbst ist es nicht.

Implementierungshinweis

Datentyp (Domänen-Schicht, Kotlin, Schicht domain.geometrie):

data class Gerade(
    val stuetzpunkt: Punkt,   // p₀
    val richtung: Vektor      // v, ‖richtung‖² > Toleranzen.NORM_EPS
) {
    init {
        // ‖richtung‖² > Toleranzen.NORM_EPS, sonst Entartet.Nullrichtung
    }
}
  • Einheit: Stützpunkt-Koordinaten und Komponenten der Richtung in mm (Double). Die Richtung ist in der Standard-Repräsentation nicht zwingend normiert; abgeleitete Operationen normieren intern.
  • Invarianten (in init bzw. Factory prüfen, bei Verletzung Entartet-Variante zurückgeben, niemals Exception):
  • ‖richtung‖² > Toleranzen.NORM_EPS (sonst keine Gerade definierbar).
  • Alle Komponenten von stuetzpunkt und richtung finit (kein NaN, kein ±∞).
  • Konstruktoren:
  • Gerade.ausStuetzpunktUndRichtung(p0, v): Resultat<Gerade, EntartetGeometrie>
  • Gerade.ausZweiPunkten(a, b): Resultat<Gerade, EntartetGeometrie> mit Failure-Variante Entartet.Nullrichtung, falls ‖b − a‖² ≤ Toleranzen.NORM_EPS.
  • Gerade.ausStrecke(s: Strecke): Gerade (Trägergerade einer Strecke; durch die Invariante der Strecke garantiert nicht entartet).
  • Edge Cases / Entartet-Varianten:
  • Nullrichtung (‖v‖² ≤ Toleranzen.NORM_EPS): Entartet.Nullrichtung. Keine Gerade definierbar (entartete „Punktgerade").
  • Nicht-finite Koordinaten in stuetzpunkt oder richtung: Entartet.NichtFinit.
  • Zwei-Punkt-Konstruktion mit fast gleichen Punkten (‖b − a‖ knapp über Toleranz): zulässig, aber numerisch sensibel; Hinweis im Domain-Test.
  • Identität / Gleichheit:
  • fun istGleich(other: Gerade, eps: Double = Toleranzen.KOLLINEAR_EPS): Boolean (Synonym istIdentischZu(other, eps)) prüft (i) Kollinearität von richtung und other.richtung über das Kreuzprodukt der normierten Vektoren und (ii) Inzidenz von other.stuetzpunkt mit this (siehe enthaelt).
  • Direkter ==-Vergleich auf der Datenklasse vergleicht nur Repräsentanten, nicht Geraden als Punktmengen, und ist daher für geometrische Identität ungeeignet.
  • Abgeleitete Operationen (GeradeOps.kt):
  • fun einheitsRichtung(): Vektor = richtung.normiert().werteOder { error("Invariante 1 verletzt") } (durch Invariante 1 zur Laufzeit nie betroffen).
  • fun punktAuf(t: Double): Punkt = stuetzpunkt + t · richtung.
  • fun parameterVon(p: Punkt): Double = ⟨p − stuetzpunkt, einheitsRichtung()⟩ (in mm; nur sinnvoll, wenn enthaelt(p) gilt, sonst Projektion).
  • fun projizieren(p: Punkt): Punkt = stuetzpunkt + ⟨p − stuetzpunkt, einheitsRichtung()⟩ · einheitsRichtung().
  • fun abstand(p: Punkt): Double = ‖p − projizieren(p)‖, in mm.
  • fun enthaelt(p: Punkt, eps: Double = Toleranzen.LAENGE_EPS): Boolean = abstand(p) ≤ eps.
  • fun umkehrenRichtung(): Gerade = Gerade(stuetzpunkt, −richtung) (gleiche Punktmenge, entgegengesetzter Richtungsrepräsentant).

Quellen

Primär (normativ):

  • DIN ISO 80000-2:2022-08, „Größen und Einheiten – Teil 2: Mathematik".
  • ISO 80000-2:2019, „Quantities and units – Part 2: Mathematics".

Sekundär:

  • Bronstein, I. N.; Semendjajew, K. A.; Musiol, G.; Mühlig, H.: Taschenbuch der Mathematik. Edition Harri Deutsch, aktuelle Auflage, Kap. 3.5.1.
  • Fischer, G.: Lineare Algebra. 19. Aufl., Springer Spektrum 2020.
  • Bär, C.: Elementargeometrie. Springer Spektrum.

Korpus (nicht autoritativ):

  • Wikipedia, Lemma „Gerade" (abgerufen 2026-05-07).

Didaktische Hülle (Subglossar)

Gerade (Subglossar)

Brücke vom normativen Hauptglossar (hauptglossar/00_ressourcen/hg_gerade.md) zu den stufenweisen Theorie-Inhalten. Hier liegt die didaktische Aufbereitung: berufssprachliche Verankerung über die Rollen, in denen Geraden im Holzbau tatsächlich auftreten, Pflicht-Skizze der Schnittgerade zweier Dachflächen am Walmgrat, Negativ-Abgrenzung zu Strecke, Halbgerade, Achse und „Linie" sowie die etymologische Brücke vom Adjektiv „gerade" zur substantivierten „Geraden" des 18. Jahrhunderts.

Was die Gerade im Holzbau ist

Eine Gerade ist eine beidseitig unbegrenzte, eindimensionale Punktmenge im Raum — die gedachte zweiseitige Verlängerung jeder Strecke ohne Anfang und Ende. Im DACH-Holzbau-Korpus tritt sie fast nie als nacktes Substantiv auf; der Zimmermann redet nicht von „der Geraden", sondern von Sparrenachse, Pfettenachse, Grat, Kehle, First, Wirkungslinie oder Anriss — alles Rollen-Komposita, in denen das Geraden-Konzept stillschweigend mitläuft. Dieselbe Beobachtung wie beim Punkt: die Gerade lebt im Holzbau als Gerade von etwas.

Das Wort selbst ist eine Substantivierung des Adjektivs „gerade". Die ältere Phrase „gerade Linie" wurde nach DWDS seit Anfang des 18. Jahrhunderts in der Geometrie zur „Geraden" verkürzt — die nackte „Gerade" ist also ein mathematischer Importbegriff, kein zimmermannssprachlich gewachsener. Das erklärt, warum der Werkplan fast immer das Kompositum trägt, nicht das nackte Wort.

Geraden im Werkstatt- und Tragwerksbild

Die folgende kleine Eröffnungs-Skizze (Sparren im Profil) zeigt die Begriffsbrücke vom Strecke-Anriss am Bauteil zur gedanklichen Geraden-Verlängerung: der Anriss ist als kurze rote Strecke auf der Sparrenoberseite markiert, beidseitig gepunktet weitergeführt über die Sparrenränder hinaus — die Trägergerade, an der das Anrissmaß hängt.

Sparrenachse

Anriss (Strecke am Bauteil)

Trägergerade (gedankliche Verlängerung)

Welt: e_hat_h e_hat_v

Die kräftige rote Strecke ist das, was am Bauteil tatsächlich materialisiert ist — Bleistift- oder Reissnadelspur über die Sparrenbreite. Die beidseitig gepunktete Fortsetzung ist die zugehörige Trägergerade: unbegrenzt nach oben und nach unten, ohne Anfang und Ende. Wo der Meister sagt, „die Anrisslinie geht über den Sparren hinaus weiter" — etwa beim Schiften, wenn die gedachte Verlängerung über das Sparrenende ins Nichts hinein einen Schnittpunkt mit der Trauflinien-Geraden trifft — meint er genau diese Trägergerade.

Geraden-Rollen im Holzbau — Pflicht-Skizze

Die zentrale Geraden-Anwendung im Dach ist die Schnittgerade zweier Dachflächen. Sie materialisiert sich als Bauteil — als Grat, Kehle oder First —, ist geometrisch aber die Trägergerade einer beidseitig unbegrenzten Schnittlinie zweier Ebenen. Die folgende Skizze zeigt einen Walmdach-Eckraum mit zwei geneigten Dachflächen, deren Schnittgerade als Walmgrat hervorgehoben ist, beidseitig gepunktet als unbegrenzter Träger über die Dachflächen hinaus fortgesetzt.

Walmgrat als Schnittgerade zweier Dachflächen am Walmdach-Eckraum Axonometrischer Schrägriss eines Walmdach-Eckraums. Eine Hauptdachfläche und eine Walmfläche treffen sich am Walmgrat, der als rote durchgezogene Strecke zwischen P_T (Trauf-Walmecke) und P_F (First-Walmecke) hervorgehoben ist und beidseitig durch gepunktete Verlängerungen über die Bauteil-Enden hinaus als unbegrenzte Trägergerade fortgesetzt wird.

First

Traufe (Hauptdach) Traufe (Walm)

Hauptdachfläche Walmfläche

P_T Trauf-Walmecke

P_F First-Walmecke

P_R First-Innenecke

Walmgrat (Bauteil = Strecke)

Verlängerung (Gerade) Verlängerung (Gerade)

Walmgrat als Schnittgerade zweier Dachflächen Bauteil ist ein endliches Stück; die Trägergerade läuft beidseitig unbegrenzt weiter

Welt: e_hat_h e_hat_v

Die rote durchgezogene Strecke zwischen G_1 (Trauf-Walmecke) und G_2 (First-Walmecke) ist der Walmgrat als Bauteil — ein endlich langes Stück Holz, das der Zimmermann zuschneidet und einbaut. Die beidseitig gepunktete Fortsetzung ist die Schnittgerade der beiden Dachebenen: unbegrenzt nach unten ins Bodenniveau und unbegrenzt nach oben in die Luft hinein. Der Grat selbst ist nur ein Ausschnitt dieser Geraden.

Dasselbe Verhältnis gilt für Kehle (Schnittgerade zweier gegeneinander geneigter Dachflächen mit konkaver Knickkante) und First (Schnittgerade zweier zueinander gegenüberliegender Dachflächen am höchsten Punkt): in allen drei Fällen ist das Bauteil eine Strecke, die zugrunde liegende Schnittlinie der Dachebenen eine Gerade.

Wo Geraden auftreten — drei Rollen

Im Holzbau-Korpus lassen sich drei klar trennbare Rollen unterscheiden, in denen die Gerade tatsächlich vorkommt. Sie sind keine geometrischen Subtypen — eine Gerade ist eine Gerade —, sondern unterschiedliche Funktionen im Werk- oder Tragwerksplan.

Rolle Wo sie auftritt Verhältnis zum Bauteil
Trägergerade einer Achse Sparrenachse, Pfettenachse, Stuhlsäulenachse — die Bauteilhauptachse eines Stab-Bauteils Das Bauteil selbst ist eine Strecke zwischen den Bauteil-Enden; ihre beidseitig unbegrenzte Verlängerung ist die Trägergerade. Wird bei der Schiftung gebraucht, wo Trauflinien-Gerade und Sparrenachsen-Gerade ihren Schnittpunkt am Sparrenfuss bekommen.
Wirkungslinie einer Kraft Statik — Linie, längs derer eine Kraft am starren Körper wirkt Einziger Korpus-Begriff mit expliziter Geraden-Definition. Die Statik nutzt die Linienflüchtigkeit der Kraft am starren Körper: eine Kraft darf entlang ihrer Wirkungslinie verschoben werden, ohne dass sich ihre Wirkung am Tragwerk ändert. Damit ist die Wirkungslinie geometrisch eine Gerade, nicht eine Strecke.
Schnittgerade zweier Ebenen Grat-, Kehl- und Firstlinie als Schnitt benachbarter Dachflächen Das Bauteil (Gratsparren, Kehlsparren, Firstpfette) ist die Strecke; die geometrische Schnittgerade läuft beidseitig unbegrenzt über die Bauteil-Enden hinaus. In der Dachausmittlung wird diese Geraden-Eigenschaft ausgenutzt, um Schmiegen und Anschlusswinkel an der Walmecke konstruktiv zu finden.

Die drei Rollen teilen sich ein gemeinsames Muster: am Bauteil materialisiert eine endliche Strecke, in der Konstruktion lebt die unbegrenzte Trägergerade als gedanklicher Verlängerer. Wo der Werkplan misst und der Sägeschnitt liegt, ist es Strecke; wo geschnitten, geschiftet oder verlängert wird, wird sie zur Geraden gedacht.

Was eine Gerade nicht ist — Strecke, Halbgerade, Achse, Linie

Vier Begriffe stehen im Holzbau in unmittelbarer Nähe zur Geraden und werden gern mit ihr verwechselt. Die Abgrenzung ist didaktisch wichtig, weil sie zugleich die Werkstatt-Wirklichkeit von der geometrischen Idealisierung trennt.

Strecke. Im realen Bauteil ist eine Sparrenachse, eine Anrisslinie oder ein Grat immer eine Strecke — endlich, mit zwei Endpunkten. Die Gerade ist die zweiseitige Verlängerung. Zu jeder Strecke gibt es genau eine Trägergerade; auf einer Geraden liegen dagegen unendlich viele Strecken. Praxis-Faustregel: wo am Bauteil gemessen, gezeichnet oder gesägt wird, ist es Strecke. Wo über das Bauteil hinaus verlängert, projiziert oder geschnitten wird, wird sie zur Geraden gedacht.

Halbgerade. Eine Halbgerade ist einseitig begrenzt — sie hat einen Anfangspunkt, läuft aber nur in eine Richtung unbegrenzt weiter. Im Holzbau ist sie didaktisch fast bedeutungslos; das einzige konstruierte Beispiel ist die gerichtete Wirkungslinie einer einseitig wirkenden Last, und auch dort wird in der Praxis mit der Geraden plus separatem Vorzeichen gearbeitet. Ein Satz reicht zur Abgrenzung: Gerade beidseitig unbegrenzt, Halbgerade einseitig.

Achse. Eine Achse ist im Holzbau eine Gerade mit Rolle — Sparrenachse, Bauachse, Symmetrieachse, Drehachse, Bezugsachse. Die Achse ist also kein Synonym für Gerade, sondern eine Spezialisierung: jede Achse ist eine Gerade in einer bestimmten konstruktiven Funktion, aber nicht jede Gerade ist eine Achse. Wenn der Korpus „Sparrenachse" sagt, meint er die Bauteilhauptachse — geometrisch die Trägergerade der Sparren-Strecke, mit der Rolle „Bauteilhauptachse" annotiert.

„Linie". Das Wort „Linie" ist im DACH-Korpus das Allerwelts-Wort, das alles abdeckt von Strecke (Trauflinie, Anrisslinie) über Kurve (Wölbung einer Sparrendecke) bis Gerade (Wirkungslinie, Schnittlinie). Wegen dieser Mehrdeutigkeit ist „Linie" als nackter Begriff für die Gerade ungeeignet. Zwei besonders trügerische Komposita lohnen den Hinweis: die Falllinie trägt das Wort „Linie" im Namen, ist geometrisch aber ein Einheitsvektor (die Richtung des größten Gefälles in einer geneigten Ebene) und nicht eine Gerade im Sinne dieses Eintrags. Die Höhenlinie auf einer Dachfläche ist im Korpus die Schnittlinie der Dachfläche mit einer horizontalen Hilfsebene — am Bauteil eine Strecke, geometrisch trägt sie eine Gerade, der Begriff selbst meint aber das Schnittobjekt, nicht die Trägergerade.

Verweise

Diese Subglossar-Datei stützt sich auf die folgenden Hauptglossar- Begriffe; bei Detailfragen ist dort die normative Definition zu finden:

  • hauptglossar/00_ressourcen/hg_gerade.md — das normative Hauptglossar zur Geraden, mit mathematischer Definition als eindimensionaler affiner Unterraum, Wohldefiniertheit, Implementierungshinweis und Quellenliste.
  • hauptglossar/00_ressourcen/hg_strecke.md — der endliche Ausschnitt einer Geraden mit zwei Endpunkten; die im Bauteil tatsächlich materialisierte Form.
  • hauptglossar/00_ressourcen/hg_halbgerade.md — der einseitig begrenzte Ausschnitt; im Holzbau am Rand didaktisch.
  • hauptglossar/00_ressourcen/hg_achse.md — die Gerade mit Rolle; spezialisierte Verwendung als Bauteil-, Symmetrie-, Bezugsachse.
  • hauptglossar/00_ressourcen/hg_schnittgerade.md — die Schnittgerade zweier Ebenen, geometrische Grundlage von Grat, Kehle und First.
  • hauptglossar/00_ressourcen/hg_bauteilachse.md — die Bauteilhauptachse als konstruktive Spezialisierung der Achse.
  • hauptglossar/00_ressourcen/hg_falllinie.md — der gleichnamige „Linien"-Begriff, der trotz Wortbestandteil keine Gerade ist, sondern ein Einheitsvektor.
  • hauptglossar/00_ressourcen/hg_punkt.md, hauptglossar/00_ressourcen/hg_vektor.md — die begrifflichen Voraussetzungen der Geraden.

Verwandte Subglossar-Einträge (Folgearbeit): sg_strecke, sg_achse, sg_schnittgerade, sg_wirkungslinie.

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