Querschnitt

Prosa-Definition¶

Ein Querschnitt ist ein abstrakter Oberbegriff für die Schnittfigur eines Stabbauteils mit einer Ebene im rechten Winkel zur Bauteilachse, charakterisiert als ebene, beschränkte, zusammen- hängende Punktmenge zusammen mit ihrem Flächenschwerpunkt, der den Bezug zur Bauteilachse herstellt, und der in einer der konkreten Subklassen (Rechteck-, Rund-, I-Profil-, …) instanziiert wird.

Mathematische Definition¶

Sei

E ⊂ ℝ³ eine Ebene (siehe ebene) mit Normalenvektor n_hat ∈ S²,
Q ⊂ E eine ebene, beschränkte, zusammenhängende, abgeschlossene Punktmenge mit nicht-leerem Inneren (Lebesgue-Mass 𝓛²(Q) > 0),
z ∈ Q ⊂ E der Flächenschwerpunkt (Centroid) von Q, definiert als

z := (1 / 𝓛²(Q)) · ∫_Q x dx,

wobei das Integral koordinatenweise über das ebene Lebesgue-Mass in E genommen ist.

Dann ist ein Querschnitt das Tupel

QS := (form, ebene, flaechenschwerpunkt)

mit den Pflichtkomponenten

form ∈ 𝓠 := { RECHTECK, RUND, I_PROFIL, T_PROFIL, L_PROFIL, BELIEBIG_POLYGONAL, … } (bestimmt das Pflichtfeld-Profil der konkreten Subklasse; aktuell nur RECHTECK implementiert),
ebene = E (die Ebene, in der die Punktmenge Q liegt),
flaechenschwerpunkt = z ∈ E.

Der Querschnitt ist abstrakt: Querschnitt selbst ist nicht instanziierbar, sondern bezeichnet die Vereinigung der konkreten Subklassen-Mengen

𝓠𝓢 := 𝓡𝓠 ⊎ ⟨weitere Subklassen, Folgearbeit⟩

mit

𝓡𝓠 = Menge der Rechteck-Querschnitte (siehe rechteck_querschnitt),
weitere Subklassen sind Folgearbeit.

Lokales Querschnittssystem: Jeder Querschnitt definiert in seiner Ebene E ein lokales 2D-Koordinatensystem (u, v) mit Ursprung im Flächenschwerpunkt z und einer rechtshändigen Orthonormalbasis (u_hat, v_hat) ⊂ E. Die konkrete Wahl von (u_hat, v_hat) ist Subklassen-Aufgabe (z. B. u_hat parallel zur Breitenkante, v_hat parallel zur Höhenkante beim Rechteck-Querschnitt).

Bezug zur Bauteilachse: Für ein Stabbauteil B mit Bauteilachse A(B) (siehe bauteilachse) und Querschnitt QS(s) an der Stelle s gelten die Beziehungen

flaechenschwerpunkt(QS(s)) = z(s) ∈ A(B),
normale(ebene(QS(s)))      = ±d_hat(s),

wobei z(s) der Punkt der Bauteilachse an der Stelle s und d_hat(s) die lokale Tangentenrichtung der Bauteilachse ist. Die Querschnittsebene steht also per Konstruktion rechtwinklig zur Bauteilachse, und der Flächenschwerpunkt liegt auf der Bauteilachse.

Wohldefiniertheit¶

Existenz: Für jede ebene, beschränkte, zusammenhängende Punktmenge Q ⊂ E mit positivem Flächenmass 𝓛²(Q) > 0 ist der Flächenschwerpunkt z als Lebesgue-Integral wohldefiniert (klassisches Resultat der Mass- und Integrationstheorie; Bronstein Kap. 4).
Eindeutigkeit des Flächenschwerpunkts: z ist als gewichtetes Mittel über Q eindeutig durch Q bestimmt, unabhängig von der Wahl der Parametrisierung von E.
Lage des Flächenschwerpunkts: Bei konvexen Querschnitten (Rechteck, Rund, regelmässige Polygone) ist z ∈ Q garantiert. Bei nicht-konvexen Querschnitten (z. B. L-Profil, U-Profil) kann z ausserhalb von Q liegen; die Definition fordert nur z ∈ E, nicht z ∈ Q.
Abstrakt, nicht instanziierbar: Querschnitt selbst hat in der Domänen-Schicht keine Konstruktoren (Kotlin: sealed interface). Jede Instanz ist notwendigerweise einer der konkreten Subklassen zugeordnet.
Disjunktheit der Subklassen: 𝓡𝓠 und die weiteren Subklassen- Mengen sind durch das Diskriminator-Feld form paarweise disjunkt. Ein konkreter Querschnitt fällt in genau eine Subklasse.
Wohldefiniertheit der Bauteilachsen-Beziehung: Die Forderung „Querschnittsebene rechtwinklig zur Bauteilachse" wird per Konstruktion erfüllt (siehe hg_bauteilachse.md, Wohldefiniertheits- Abschnitt zur Querschnitts-Rechtwinkligkeit), nicht durch nachträgliche Prüfung.
Nicht-Zirkularität: Die Definition stützt sich auf punkt, vektor, ebene, polygon, bauteilachse und toleranzen. Sie verweist nicht auf Subklassen in ihrer eigenen Definition, sondern grenzt sich nur extensional zu deren Vereinigung 𝓠𝓢 ab. Der Verweis auf bauteilachse ist nicht zirkulär: bauteilachse setzt „Querschnitt" begrifflich voraus und verweist auf den vorliegenden Eintrag (vgl. hg_bauteilachse.md, Mathematische Definition, Verweis „siehe querschnitt" sowie voraussetzungen- Listung); der vorliegende Eintrag löst diese Voraussetzung auf, ohne dass bauteilachse neu definiert werden muss.

Erläuterung (nicht normativ)¶

Querschnitt im Holzbau¶

Im Holzbau ist der Querschnitt das zentrale geometrische Klassifikationsmerkmal eines Stabbauteils. Er bestimmt zusammen mit der Bauteillänge die Geometrie des Bauteils und ist Eingabe für sämtliche Bemessungsnachweise:

Querschnittsfläche A für Normalkraftnachweise.
Flächenträgheitsmomente I_y, I_z für Biegesteifigkeit.
Widerstandsmomente W_y, W_z für Biegespannungs-Nachweise.
Polartraegheitsmoment I_p für Torsionsnachweise.
Schubflächen A_v für Querkraftnachweise.

Diese Querschnittseigenschaften sind Funktionen der Quer- schnittsgeometrie und werden in einem eigenen Folge-Eintrag (querschnittseigenschaften) geführt; sie sind nicht Bestandteil des Querschnitts selbst, sondern aus ihm berechnet.

Subtyp-Spektrum¶

Im Holzbau dominieren wenige Querschnittsformen:

Subklasse	Anwendung	Anteil im Holzbau
Rechteck	Sparren, Pfette, Stütze, Strebe (Vollholz, KVH, BSH)	> 95 %
Rund	Rundholzstütze, Rundholzbinder	< 3 %
I-Profil	Steg-Träger (TJI, OSB-Steg), seltener BSH-I-Profile	< 2 %
T-Profil	Schalungsträger (Doka H20, Peri T-Träger)	Schalungsbau
beliebig-polygonal	abgebundene Sonderbauteile (Drempel, Auswechslungen)	Sonderfall

Daher wird in der App zunächst nur der rechteckige Querschnitt implementiert (siehe hg_rechteck_querschnitt.md); weitere Subklassen folgen trigger-basiert.

Querschnitt vs. Bauteilachse¶

Querschnitt und Bauteilachse sind dual:

die Bauteilachse ist der geometrische Ort der Querschnittsschwerpunkte entlang der Bauteillänge (1D),
der Querschnitt ist die Schnittfigur rechtwinklig zur Bauteilachse an einer Stelle s (2D).

Beide zusammen rekonstruieren die volle 3D-Geometrie eines Stabbauteils als Extrusion (im prismatischen Fall) oder Sweep (im allgemeinen Fall) des Querschnitts entlang der Bauteilachse.

Konstanter Querschnitt vs. veränderlicher Querschnitt¶

Ein prismatisches Stabbauteil hat einen konstanten Querschnitt entlang der Bauteilachse: QS(s) = QS₀ für alle s ∈ [0, L]. Das ist der Standardfall im Holzbau (Sparren, Pfetten, Stützen aus Vollholz, KVH, BSH).

Ein Stabbauteil mit veränderlichem Querschnitt (Satteldach- Binder mit BSH-Verjüngung, Pultdach-Binder, abgeschrägte Stütze) trägt eine Querschnittsfunktion s ↦ QS(s). Dieser Fall ist Folgearbeit und wird in der App zunächst nicht modelliert.

In der D8a-Implementierung trägt jedes Stabbauteil zunächst nur einen Querschnitt als Pflichtfeld, der implizit als konstant über die Bauteillänge angenommen wird.

Beziehungen¶

Oberbegriff: keiner. Querschnitt ist die Wurzel der Querschnitts-Hierarchie.
Subklassen (eigene Einträge):
Rechteck-Querschnitt (rechteck_querschnitt): rechteckige Schnittfigur mit Breite b und Höhe h. Standardfall im Holzbau.
Rund-Querschnitt (rund_querschnitt, Folgearbeit): kreis- förmige Schnittfigur mit Durchmesser d. Trigger: erste Rundholz-Stütze.
I-Profil-Querschnitt (i_profil_querschnitt, Folgearbeit): I-förmige Schnittfigur (TJI, OSB-Steg-Träger). Trigger: erstes I-Profil-Bauteil.
T-Profil-Querschnitt (t_profil_querschnitt, Folgearbeit): T-förmige Schnittfigur (Schalungsträger). Trigger: erste Schalung mit T-Träger.
Beliebig-polygonaler Querschnitt (polygonaler_querschnitt, Folgearbeit): beliebige polygonale Schnittfigur als Polygon (siehe polygon). Trigger: erstes abgebundenes Sonderbauteil mit nicht-standardisiertem Querschnitt.
Bestandteile (partitiv) eines Querschnitts:
Form-Diskriminator (form): Aufzählungstyp; bestimmt die Subklasse.
Ebene (ebene): die Trägerebene des Querschnitts; ihre Normale stimmt bis auf Vorzeichen mit der Bauteilachsen- Tangente überein.
Flächenschwerpunkt (Punkt in der Ebene): liegt auf der Bauteilachse.
Eigenschaften (Folgearbeit):
Querschnittseigenschaften (querschnittseigenschaften): A, I_y, I_z, W_y, W_z, I_p, A_v als abgeleitete Grössen.
Verwendung:
Bauteil (bauteil): jedes Stabbauteil trägt genau einen Querschnitt als Pflichtfeld (D8a; siehe Memory project_grobplan_erstes_tool). Plattenbauteile und Volumenbauteile tragen keinen Querschnitt im Sinne dieses Eintrags.
Bauteilachse (bauteilachse): die Verbindungslinie der Querschnittsschwerpunkte; ist ohne Querschnitt nicht konstruierbar (siehe Hinweis im Wohldefiniertheits-Abschnitt von hg_bauteilachse.md).
Sparren, Pfette, Stütze, Strebe (eigene Einträge): tragen typisch einen Rechteck-Querschnitt.
Abgrenzung:
Polygon (polygon): Polygon ist eine ebene, polygonal berandete Punktmenge; Querschnitt ist eine ebene Punktmenge mit Flächenschwerpunkt und Bauteilrolle. Ein polygonaler Querschnitt enthält ein Polygon als Berandung, ist aber nicht damit identisch.
Ebene (ebene): die Trägerebene eines Querschnitts ist eine Ebene; der Querschnitt selbst ist eine beschränkte Teilmenge dieser Ebene mit Flächenschwerpunkt.
Bauteilachse (bauteilachse): geometrische 1D-Längsachse; Querschnitt ist die dazu duale 2D-Schnittfigur. Bauteilachse sammelt Querschnittsschwerpunkte; Querschnitt sitzt auf einem Punkt der Bauteilachse.
Bauteil (bauteil): Querschnitt ist Eigenschaft eines Stabbauteils, nicht das Bauteil selbst. Querschnitt trägt keine Lage in W (lokal in der Querschnittsebene definiert); Bauteil trägt Lage in W plus einen Querschnitt.
Dachfläche (dachflaeche): Dachfläche ist eine ebene, polygonal berandete Punktmenge in W mit Bezug zum Dach; Querschnitt ist eine ebene, beschränkte Punktmenge mit Bezug zur Bauteilachse. Beide sind „ebene Punktmenge", haben aber verschiedene Rollen.
Polyeder (polyeder): Polyeder ist die volle 3D-Geometrie eines Bauteils; Querschnitt ist die 2D-Schnittfigur. Bei prismatischen Stabbauteilen ist der Polyeder die Extrusion des Querschnitts entlang der Bauteilachse.

Implementierungshinweis¶

Datentyp (Domänen-Schicht, Kotlin, Schicht zimmermann.domain.bauteil.querschnitt):

package zimmermann.domain.bauteil.querschnitt

import zimmermann.domain.geometrie.Ebene
import zimmermann.domain.geometrie.Punkt

/**
 * Form-Diskriminator eines Querschnitts.
 * Glossar: hg_querschnitt.md
 *
 * Bestimmt die Querschnitt-Subklasse:
 *   RECHTECK             -> RechteckQuerschnitt (b, h)
 *   RUND                 -> RundQuerschnitt (d), Folgearbeit
 *   I_PROFIL             -> IProfilQuerschnitt, Folgearbeit
 *   T_PROFIL             -> TProfilQuerschnitt, Folgearbeit
 *   BELIEBIG_POLYGONAL   -> PolygonalerQuerschnitt, Folgearbeit
 */
enum class QuerschnittsForm {
    RECHTECK,
    RUND,
    I_PROFIL,
    T_PROFIL,
    BELIEBIG_POLYGONAL,
}

/**
 * Wurzel der App-Querschnitts-Hierarchie für Stabbauteile.
 * Glossar: hg_querschnitt.md
 *
 * Abstrakt, nicht direkt instanziierbar. Konkrete Subklasse aktuell:
 *   - RechteckQuerschnitt (hg_rechteck_querschnitt.md)
 *
 * Weitere Subklassen (Rund, I-Profil, T-Profil, polygonal) sind
 * Folgearbeit, getrieben durch erste Anwendungsfaelle.
 *
 * Pflichtfelder: form (Diskriminator), zusaetzlich subklassen-
 * spezifische Geometriefelder (b, h beim Rechteck etc.).
 *
 * Lokales 2D-Koordinatensystem: Querschnitt ist intern in einem
 * lokalen (u, v)-System mit Ursprung im Flaechenschwerpunkt
 * definiert. Die Einbettung in W erfolgt erst durch das Bauteil
 * (Querschnittsebene + Querschnittsorientierung), nicht durch den
 * Querschnitt selbst. Damit ist ein Querschnitt eine reine
 * Werteklasse (data class), die fuer mehrere Bauteile geteilt
 * werden kann (z. B. Standardgroesse 80x160 KVH).
 *
 * Validierung: konkrete Subklassen stellen Konstruktoren auf
 * `internal` und exponieren ausschliesslich Factory-Methoden
 * `aus(...): Resultat<KonkreterQuerschnitt>`. Vorbild: `Werkstoff`
 * und `LokalePlatzierung.aus(...)`.
 */
sealed interface Querschnitt {
    /** Form-Diskriminator; je Subklasse fest. */
    val form: QuerschnittsForm

    /**
     * Querschnittsflaeche A in mm^2. Subklassen-Implementierung.
     * Folgearbeit: voller Querschnittseigenschaften-Eintrag
     * (querschnittseigenschaften.md).
     */
    val flaeche: Double
}

Einheit: Form dimensionslos (Aufzählung); Querschnitts- geometrie in mm; Flächenmasse in mm² (Folgearbeit querschnittseigenschaften für I in mm⁴, W in mm³).
Identität: Querschnitt trägt keine UUID. Querschnitt ist eine Werteklasse (value class / data class), nicht ein identifiziertes Objekt. Identität wird auf der Bauteil-Ebene geführt; mehrere Bauteile dürfen denselben Querschnitt-Wert teilen (z. B. alle Sparren eines Daches mit Standardquerschnitt 80 mm × 160 mm).
Lokales vs. globales System: Querschnitt ist intern lokal in einem 2D-System (u, v) ⊂ Querschnittsebene mit Ursprung im Flächenschwerpunkt definiert. Die Einbettung in W (Lage und Orientierung der Querschnittsebene in W) ist Sache des Bauteils, das Querschnitt + Bauteilachse + lokale Orientierung zusammenführt. Diese Trennung ist konsistent mit IFC (IfcProfileDef ist 2D, Einbettung über IfcExtrudedAreaSolid und IfcAxis2Placement3D).
Subklassenpflicht: Querschnitt ist sealed; jede Instanz ist notwendigerweise einer der konkreten Subklassen zugeordnet. Die Subklassen prüfen je eigene Invarianten (siehe ihre Implementierungshinweise).
Invarianten (ausschliesslich in Factory-Methoden KonkreterQuerschnitt.aus(...): Resultat<KonkreterQuerschnitt> prüfen; bei Verletzung Resultat.Fehler zurückgeben. Kein init+require und keine Exception. Vorbild: Werkstoff-Hierarchie und LokalePlatzierung.aus(...)):
form ist gesetzt und konsistent zur konkreten Subklasse.
flaeche > Toleranzen.NORM_EPS (positives Flächenmass).
Subklassen-spezifische Geometrieinvarianten (b, h > 0 beim Rechteck etc.).
IFC-Mapping (Persistenzschicht):
IfcProfileDef ← Querschnitt (abstrakte Wurzel).
IfcRectangleProfileDef ← RechteckQuerschnitt.
IfcCircleProfileDef ← RundQuerschnitt (Folgearbeit).
IfcIShapeProfileDef ← IProfilQuerschnitt (Folgearbeit).
Profile-Position (IfcAxis2Placement2D): Ursprung im Flächenschwerpunkt, RefDirection als u_hat-Achse.
BTLx-Mapping: BTLx Part-Element trägt Breite/Höhe direkt; Mapping aus RechteckQuerschnitt.breite/hoehe ist 1:1.
Edge Cases:
Querschnitt ohne Form-Diskriminator: nicht erlaubt; Validierungsfehler bei Konstruktion (sealed-Subklasse setzt ihn konstant).
Entarteter Querschnitt (Fläche 0, z. B. Linie oder Punkt): nicht erlaubt; Factory liefert Resultat.Fehler.
Veränderlicher Querschnitt (s ↦ QS(s)): nicht durch diese Hierarchie abgedeckt; Folgearbeit (Trigger: erstes Bauteil mit Verjüngung).
Querschnitt für Plattenbauteile: nicht durch diese Hierarchie abgedeckt; Plattenbauteile tragen Plattendicke und Plattengeometrie statt Querschnitt. Eventuelle Erweiterung ist Folgearbeit.
Bezeichner-Konvention (CLAUDE.md): Domänen-Klasse heisst Querschnitt (deutsch, Glossarbegriff); Subklassen heissen RechteckQuerschnitt, RundQuerschnitt, IProfilQuerschnitt, TProfilQuerschnitt, PolygonalerQuerschnitt.

Folgearbeit (trigger-basiert):

querschnittseigenschaften-Eintrag und -Klasse: A, I_y, I_z, W_y, W_z, I_p, A_v als abgeleitete Grössen mit geschlossenen Formeln je Subklasse. Trigger: erste Bemessungs-Operation.
rund_querschnitt-Eintrag und -Klasse: kreisförmiger Querschnitt mit Durchmesser d. Trigger: erste Rundholz-Stütze.
i_profil_querschnitt-Eintrag und -Klasse: I-Profil- Querschnitt mit Steg- und Flanschmassen. Trigger: erstes TJI- / OSB-Steg-Bauteil.
polygonaler_querschnitt-Eintrag und -Klasse: beliebiger polygonaler Querschnitt als Polygon. Trigger: erstes abgebundenes Sonderbauteil mit nicht-standardisiertem Querschnitt.
Veränderlicher Querschnitt (Querschnittsfunktion s ↦ QS(s)): Trigger: erster BSH-Binder mit Verjüngung.
Querschnitt für Plattenbauteile: Trigger: erstes Plattenbauteil mit Querschnitts-Bezug (z. B. Kantenprofil bei CLT-Element).

Quellen¶

Primär (normativ):

DIN EN 1995-1-1:2010-12, „Eurocode 5: Bemessung und Konstruktion von Holzbauten – Teil 1-1: Allgemeines – Allgemeine Regeln und Regeln für den Hochbau".
SIA 265:2021, „Holzbau", Schweizerischer Ingenieur- und Architektenverein, Zürich.
DIN EN 14081-1:2019-10, „Holzbauwerke – Nach Festigkeit sortiertes Bauholz mit rechteckigem Querschnitt – Teil 1: Allgemeine Anforderungen".
DIN 1052:2008-12, „Entwurf, Berechnung und Bemessung von Holzbauwerken".
ISO 16739-1:2024, „Industry Foundation Classes (IFC) for data sharing in the construction and facility management industries — Part 1: Data schema".

Sekundär:

Lignum (Hrsg.): Holzbautabellen HBT. Lignum, Zürich, aktuelle Auflage.
Mönck, W.; Rug, W.: Holzbau – Bemessung und Konstruktion.
Auflage, Beuth, Berlin 2015.
Blass, H. J.; Sandhaas, C.: Ingenieurholzbau – Grundlagen der Bemessung. KIT Scientific Publishing, Karlsruhe 2016.
Natterer, J.; Herzog, T.; Volz, M.: Holzbau-Atlas. 4. Auflage, Birkhäuser, Basel 2003.
Bronstein, I. N. et al.: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, aktuelle Auflage.

Korpus (nicht autoritativ):

Holzbau Deutschland, Merkblatt „Begriffe und Klassifizierungen für den Holzbau" (abgerufen 2026-05-09).
Wikipedia, Lemma „Querschnitt (Bauwesen)" (abgerufen 2026-05-09).

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