Prosa-Definition¶

Ein Vektor ist ein Element des dreidimensionalen reellen Vektorraumes ℝ³, das eine gerichtete Verschiebung im Raum repräsentiert und durch ein geordnetes Tripel reeller Komponenten (v_x, v_y, v_z) bezüglich der kanonischen Basis des Weltkoordinatensystems dargestellt wird; im Längenkontext sind die Komponenten in Millimeter zu interpretieren.

Mathematische Definition¶

Sei

ℝ³ der dreidimensionale reelle Vektorraum,
(e_x, e_y, e_z) die kanonische rechtshändige Orthonormalbasis aus CLAUDE.md (e_z vertikal nach oben).

Dann ist ein Vektor v ∈ ℝ³ eindeutig charakterisiert durch sein Komponententripel

v = v_x · e_x + v_y · e_y + v_z · e_z   mit   (v_x, v_y, v_z) ∈ ℝ³.

Die euklidische Norm (Länge) ist

‖v‖ := √(v_x² + v_y² + v_z²).

Ein Vektor heißt Einheitsvektor, wenn ‖v‖ = 1, und Nullvektor, wenn v = (0, 0, 0)ᵀ. Die Sphäre der Einheitsvektoren wird mit S² := { v ∈ ℝ³ | ‖v‖ = 1 } bezeichnet.

Wohldefiniertheit¶

Eindeutigkeit der Komponenten: Bei festgelegter Basis ist die Darstellung v ↔ (v_x, v_y, v_z) eine Bijektion zwischen ℝ³ und Komponententripeln.
Wohldefiniertheit der Norm: ‖·‖ ist die durch das kanonische Skalarprodukt induzierte Norm; positiv-definit, homogen, dreiecks- ungleich.
Nicht-Zirkularität: Die Definition verwendet ausschließlich reelle Zahlen, die Basis (e_x, e_y, e_z) und die Wurzelfunktion.

Erläuterung (nicht normativ)¶

Ein Vektor ist die Abstraktion einer Verschiebung: er hat Richtung und Länge, aber keinen festen Anfangspunkt. In der Holzkonstruktion treten Vektoren auf als

Faserrichtung eines Bauteils (Einheitsvektor),
Normalenvektor einer Ebene (z. B. Dachfläche),
Differenz zweier Punkte (z. B. Sparrenachse als Endpunkt − Anfangspunkt),
Translationsvektoren bei Verschiebungen.

Der zentrale konzeptionelle Unterschied zum Punkt ist die fehlende Ortsbindung. „Punkt + Vektor → Punkt" und „Punkt − Punkt → Vektor" sind die zulässigen Mischoperationen.

Beziehungen¶

Oberbegriff: keiner; Vektor ist mathematisches Primitiv.
Teilbegriffe (Spezialisierungen):
Einheitsvektor: Vektor mit Norm 1.
Nullvektor: eindeutiger Vektor mit Norm 0.
Faserrichtung: holzbauspezifische Rolle eines Einheitsvektors, der die Richtung des Holzwuchses am Bauteil angibt (eigener Eintrag in Folgearbeit).
Abgrenzung:
Punkt (eigener Eintrag): hat eine Stelle, aber keine Richtung; ein Vektor hat eine Richtung, aber keine Stelle.
Strecke (eigener Eintrag): konkrete, ortsgebundene Verbindung zweier Punkte; ein Vektor ist die ortsfreie Differenz dieser Punkte.
Gerade: ein eindimensionaler affiner Unterraum, definiert durch Punkt + Richtungsvektor; nicht identisch mit dem Richtungsvektor selbst.

Implementierungshinweis¶

Datentyp (Domänen-Schicht, Kotlin, Schicht domain.geometrie):

data class Vektor(
    val x: Double,   // mm (oder dimensionslos für Einheitsvektoren)
    val y: Double,
    val z: Double
)

Einheit: Im Längen-Kontext (Differenzvektor zweier Punkte) in mm. Im Richtungs-Kontext (Normalenvektor, Faserrichtung) dimensionslos und auf Norm 1 normiert. Die Domänen-Schicht unterscheidet beides typkonsistent über Wrapper bzw. Konvention, niemals durch implizite Reinterpretation.
Invarianten: keine auf Vektor selbst. Für Einheitsvektoren wird die Bedingung ‖v‖ ∈ 1 ± Toleranzen.NORM_EPS in den Klassen geprüft, die einen Einheitsvektor erwarten (z. B. Ebene.normale).
Edge Cases:
Nullvektor (‖v‖ = 0): zulässig als Wert, aber nicht als Richtung. Versuche, einen Nullvektor zu normieren, liefern Resultat.Fehler bzw. EntartetGeometrie.Nullrichtung.
NaN/±∞ in einer Komponente: EntartetGeometrie.NichtFinit.
Sehr kleine, aber nicht-null Vektoren (‖v‖ < Toleranzen.NORM_EPS): werden als entartet behandelt; Normierung würde numerisch instabil.
Abgeleitete Operationen:
operator fun plus(w: Vektor): Vektor
operator fun minus(w: Vektor): Vektor
operator fun times(s: Double): Vektor (Skalarmultiplikation)
infix fun dot(w: Vektor): Double (Skalarprodukt)
infix fun cross(w: Vektor): Vektor (Kreuzprodukt)
val norm: Double = √(x² + y² + z²)
fun normiert(): Resultat<Vektor, EntartetGeometrie> (liefert Resultat.Fehler bei Nullvektor)

Quellen¶

Primär (normativ):

DIN ISO 80000-2:2022-08, „Größen und Einheiten – Teil 2: Mathematik".
ISO 80000-2:2019.

Sekundär:

Bronstein, I. N.; Semendjajew, K. A.; Musiol, G.; Mühlig, H.: Taschenbuch der Mathematik.
Fischer, G.: Lineare Algebra. 19. Aufl., Springer Spektrum 2020.
Bär, C.: Elementare Differentialgeometrie. 2. Aufl., de Gruyter 2010.

Korpus (nicht autoritativ):

Wikipedia, Lemma „Vektor" (abgerufen 2026-05-07).

Didaktische Hülle (Subglossar)¶

Vektor (Subglossar)¶

Brücke vom normativen Hauptglossar (hauptglossar/00_ressourcen/hg_vektor.md) zu den stufenweisen Theorie-Inhalten. Hier liegt die didaktische Aufbereitung: der Vektor lebt im DACH-Holzbau nur in Rollen-Komposita — Kraftvektor, Richtungsvektor, Normalenvektor —, nicht als nacktes Werkstatt-Wort. Schwerpunkt liegt auf der Meister-Stufe; die unteren Stufen bleiben ehrlich leer, weil dem Vektor jeder zimmermannssprachlich gewachsene Wortstamm fehlt (SG_KONVENTIONEN.md §7).

Was der Vektor im Holzbau ist¶

Ein Vektor ist eine gerichtete Verschiebung mit Länge, ohne festen Anfangspunkt — eine ortsfreie Größe, die Richtung und Betrag trägt, aber keine Stelle in der Welt. Anders als der Punkt, der genau eine Lage benennt, und anders als die Strecke, die zwei konkrete Endpunkte am Bauteil verbindet, darf ein Vektor parallel verschoben werden: zwei Pfeile gleicher Richtung und gleicher Länge an verschiedenen Stellen sind derselbe Vektor.

Im DACH-Holzbau-Korpus tritt das nackte Wort „Vektor" nicht im Werkstattgespräch auf. Es lebt durchgängig in Rollen-Komposita aus dem Statik- und CAD-Register: Kraftvektor in der Tragwerksstatik, Richtungsvektor an der Bauteilachse, Normalenvektor an der Dachfläche, Ortsvektor vom Welt-Ursprung zu einem Bauwerkspunkt. Wo der Zimmermann etwas Vektor-Artiges meint, sagt er ein Werkzeug-Wort (Lot, Senkel, Schmiege) oder ein Tätigkeits-Wort (Schub, Auszug, Versatz) — alles Wörter, die im Hauptglossar eigene Begriffe sind oder als abgelehnte Benennungen geführt werden. Der Vektor ist damit, schärfer noch als die Gerade, ein mathematischer Importbegriff: er kommt über die Ingenieur-Statik (Eurocode-Generation) und die CAD-Verbreitung (Cadwork, SEMA) ins Holzbau-Feld, nicht aus dem Werkstatt-Korpus heraus gewachsen.

Die Wortwurzel selbst trägt diese Lesart treffend: lateinisch vector „Träger, Fahrer", zum Verb vehere „tragen, fahren" — ein Vektor trägt einen Punkt von A nach B, das ist genau die Verschiebungs-Bedeutung. In der Mathematik wurde der Begriff im 19. Jahrhundert durch William Rowan Hamilton geprägt; in den Holzbau gelangt er erst mit der modernen Statik und CAD.

Welt-Einheitsvektoren e_hat_h und e_hat_v am Welt-Ursprung¶

In allen bisherigen P1-Skizzen (sg_punkt, sg_strecke, sg_gerade, sg_ebene, sg_kerve) sitzt rechts unten als kleines Inset ein Paar Pfeile: ein horizontaler e_hat_h und ein welt-vertikaler e_hat_v am Welt-Ursprung. Diese Pfeile sind Einheitsvektoren — Vektoren mit Länge 1 — und orientieren das Welt-Koordinatensystem, in dem alle Bauteil-Punkte liegen. Sie sind das einfachste Vektor-Bild dieses Subglossars und liefern den Anschluss an die übrigen P1-Einträge.

O (Welt-Ursprung)

e_hat_h horizontal, Länge 1

e_hat_v welt-vertikal, Länge 1

parallel verschobene Geist-Kopie von e_hat_h — derselbe Vektor, andere Stelle

Welt-Einheitsvektoren e_hat_h und e_hat_v am Welt-Ursprung

Beide Pfeile am Welt-Ursprung haben Länge 1 und sind paarweise rechtwinklig. Der e_hat_h liegt in der horizontalen Welt-Ebene, der e_hat_v zeigt welt-vertikal nach oben — entgegen der Schwerkraft, in der Richtung, in die das Senkel-Schnurende zeigt, wenn das Senkel-Gewicht losgelassen ist. Die graue, gestrichelte Kopie rechts oben hat dieselbe Richtung und dieselbe Länge wie e_hat_h, sitzt aber an einer anderen Stelle: sie ist derselbe Vektor. Die Ortsfreiheit ist die zentrale Eigenschaft, die den Vektor von der Strecke trennt — eine Strecke darf man nicht parallel verschieben, ohne dass sie zu einer anderen Strecke wird.

Drei Vektor-Rollen im Holzbau¶

Im Holzbau-Korpus treten drei Rollen klar trennbar auf, in denen der Vektor tatsächlich vorkommt. Sie sind keine geometrischen Subtypen — ein Vektor ist ein Vektor —, sondern unterschiedliche Funktionen im Tragwerksplan oder im CAD-Modell.

Rolle	Wo sie auftritt	Was sie trägt
Kraftvektor	Tragwerksstatik: Lasten (Eigengewicht, Schnee, Wind), Auflagerreaktionen, Stab-Schnittkräfte (Normalkraft, Querkraft)	Betrag in kN, Richtung im Raum, Angriffspunkt am Bauteil. Am starren Körper darf der Kraftvektor entlang seiner Wirkungslinie verschoben werden, ohne dass sich die Wirkung am Tragwerk ändert — er ist dort linienflüchtig.
Richtungsvektor an Bauteilachse / Sparrenachse	CAD-Datenmodell (Cadwork, SEMA): das Bauteil wird intern durch einen Achs-Punkt plus Richtungsvektor (oder durch zwei Endpunkte, deren Differenz den Richtungsvektor liefert) beschrieben	reine Richtungs- und Längen-Information der Bauteilachse. Im Werkstatt-Gespräch heißt die Information Achse oder Schmiege (für die Winkel-Seite bei der Schiftung), nicht „Richtungsvektor".
Normalenvektor an Dachfläche	Dachebene mit ausgezeichnetem, rechtwinklig auf der Fläche stehendem Einheitsvektor; Hintergrund für Schiftung und Dachausmittlung	rechtwinklige Richtung der Dachfläche. Im Werkstatt-Korpus wird die Information nicht als Normalenvektor benannt — sie lebt implizit in den Schmiegen, Auszugs-Maßen und der Schiftungs-Tafel.

Alle drei Rollen teilen ein Muster: der Vektor lebt als Hintergrund-Begriff in der Statik- und CAD-Schicht, ohne dass das Wort selbst im Werkstattgespräch fällt. Die Werkstatt spricht von Schub, Auszug, Schmiege, Achse; das CAD rechnet im Hintergrund mit Vektoren.

Kraftvektor am Sparren — die Last in zwei Komponenten zerlegt¶

Die didaktisch tragende Vektor-Anwendung im Holzbau ist die Zerlegung des Last-Kraftvektors am geneigten Sparren in eine Komponente parallel zur Sparrenachse (Schub-Komponente) und eine Komponente rechtwinklig zur Sparrenachse (Druck-Komponente). Diese Zerlegung ist die Grund-Operation der Sparren-Statik und nutzt die volle Vektor-Algebra (Komponentenzerlegung).

Sparrenachse

Sparrenfusspunkt Firstpunkt

P_M Angriffspunkt

F Last-Kraftvektor (welt-vertikal)

F_parallel Schub (parallel zur Achse)

F_normal Druck (rechtwinklig zur Achse)

Last-Kraftvektor F am Sparren, zerlegt in Schub- und Druckkomponente F = F_parallel + F_normal (Vektor-Summe) Welt: e_hat_h e_hat_v

Drei Pfeile setzen am gemeinsamen Angriffspunkt P_M an der Sparrenoberseite an: die durchgezogene Last-Kraft F zeigt welt-vertikal nach unten (Eigengewicht plus Schneelast), die gestrichelte F_parallel läuft bergab längs der Sparrenachse, die gestrichelte F_normal steht rechtwinklig auf der Sparrenachse und drückt auf den Sparren. Die Vektor-Summe F_parallel + F_normal ist wieder F — geometrisch sind die zwei Komponenten zwei Kanten eines rechtwinkligen Parallelogramms, dessen Diagonale F ist.

Diese Zerlegung trägt zwei Hinweise auf die Statik-Feinheit, die im Hauptglossar nur in der Erläuterung anklingt. Erstens: Eine Kraft ist nicht „nur" ein Vektor wie in der Schul-Mathematik, sondern eine gerichtete Größe mit physikalischer Einheit (kN) plus Angriffspunkt am Bauteil — drei Angaben, nicht zwei. Zweitens: Am starren Tragwerk darf der Kraftvektor entlang seiner Wirkungslinie verschoben werden (linienflüchtige Lesart); am verformten Bauteil zählt der Angriffspunkt mit (gebundene Lesart). Im Holzbau-Alltag wird die Last typischerweise als linienflüchtig modelliert — der Sparren ist im Bemessungsmodell ein Stab.

Was ein Vektor nicht ist — Strecke, Punkt, Pfeil, Tupel¶

Vier Begriffe stehen dem Vektor unmittelbar nah und werden gern mit ihm verwechselt. Die Abgrenzungen sind didaktisch wichtig, weil sie die Werkstatt-Wirklichkeit (Bauteil, Werkplan) von der ortsfreien Mathematik trennen.

Strecke. Die Strecke ist ortsgebunden — sie hat zwei konkrete Endpunkte am Bauteil und liegt fest in der Welt. Der Vektor ist ortsfrei — er trägt Richtung und Länge ohne Stelle. Dieselbe Pfeil-Form am Werkplan kann je nach Lesart entweder eine Strecke (Sparrenkante, Anriss, Maßlinie) oder einen Vektor (parallel verschiebbare Verschiebungs-Information) bezeichnen. Faustregel: wo zwei Endpunkte fest am Bauteil sitzen, ist es Strecke; wo der Pfeil ohne Bedeutungsverlust parallel verschoben werden darf, ist er Vektor.

Punkt. Ein Punkt benennt eine Lage im Raum (drei Koordinaten); ein Vektor benennt eine Verschiebung (drei Komponenten ohne Stelle). Die zulässigen Mischoperationen sind „Punkt + Vektor → Punkt" (Verschiebung trägt einen Punkt zu einem anderen) und „Punkt − Punkt → Vektor" (die Differenz zweier Lagen ist eine ortsfreie Verschiebung). „Vektor + Vektor → Vektor" ist erlaubt; „Punkt + Punkt" ist es nicht.

Pfeil. Der Pfeil ist die Darstellungsform des Vektors auf dem Papier oder am Bildschirm, nicht der Vektor selbst. Alle Pfeile gleicher Länge, gleicher Richtung und gleicher Orientierung repräsentieren denselben Vektor — ein Vektor ist die Äquivalenzklasse paralleler, gleich langer, gleich orientierter Pfeile. Genau das zeigt die gestrichelte Geist-Kopie in der Eröffnungs-Skizze. Das Hauptglossar führt „Pfeil" deshalb als abgelehnte Benennung für den Vektor.

Tupel / Koordinaten. Das geordnete Zahlentripel (v_x, v_y, v_z) ist die Zahlendarstellung eines Vektors bezüglich einer Basis. Wechselt die Basis — etwa von den Welt-Koordinaten zu einem lokalen, an der Sparrenachse orientierten Bauteilkoordinaten- system —, ändern sich die Zahlen, der Vektor bleibt derselbe. Dieselbe Trennung wie bei Pfeil und Vektor, eine Schicht höher: die Zahlen sind eine Repräsentation, nicht der Vektor selbst.

Kraft. Eine Kraft ist Vektor plus physikalische Einheit Newton (oder Kilonewton) plus Wirkungslinie bzw. Angriffspunkt. Der nackte Vektor des Hauptglossars trägt Längen-Komponenten (mm) im Differenz-Kontext oder ist dimensionslos im Einheitsvektor-Kontext — keine Kraft-Einheit. Im Alltag fallen die beiden Begriffe oft zusammen („Kräfte sind Vektoren"), fachlich liegt eine Einheits- und Anwendungs-Schicht dazwischen.

Falsche Freunde aus dem Holzbau-Korpus¶

Drei Komposita oder Stichworte tauchen in Briefings und Werk-Korpora auf, in denen man sie zunächst dem Vektor zuordnen möchte — die genauere fachliche Lesart läuft aber an anderer Stelle des Hauptglossars.

„Falllinie". Die Falllinie auf einer geneigten Dachfläche ist die Richtung des grössten Gefälles — die Richtung, in die das Wasser abläuft. Sie trägt im Namen das Wort „Linie", ist aber geometrisch weder Strecke noch Vektor im engeren Sinn, sondern ein Einheitsvektor (Vektor mit Länge 1) in der Dachebene. Das Hauptglossar führt sie unter oberbegriff: einheitsvektor. Die Falllinie ist also eine reine Richtungsangabe mit Norm 1 — und gehört didaktisch zum Einheitsvektor-Eintrag, nicht in den allgemeinen Vektor-Eintrag.

„Schwerkraft-Vektor". Die welt-vertikale Wirkung der Schwerkraft auf ein Bauteil wird im Volksmund gern „Schwerkraft-Vektor" genannt. Fachlich ist sie ein Kraftvektor in der welt-vertikalen Richtung, mit Einheit Newton (Eigengewicht × Erdbeschleunigung) und der Wirkungslinie längs des Senkels — nicht ein nackter Vektor im Sinne des Hauptglossars. Im Werkstatt-Korpus heißt die Sache schlicht „Eigengewicht" oder „Schwerkraft"; das Kompositum „Schwerkraft-Vektor" ist eine Schul-Mathematik-Übertragung, kein Zimmermanns-Wort.

„Versatz-Vektor am Werkplan". Das Differenz-Maß zwischen zwei Werkplan-Punkten — etwa „Bauachsen-Abstand 4'250 mm" oder „Pfettenhöhe ab Bodenplatte 3'120 mm" — ist mathematisch der Betrag eines Vektors (Punkt minus Punkt liefert einen Vektor), und die Bemaßungs-Linie steht für seine Richtung. Im Werkstatt-Gespräch wird das aber nie so gesagt; man sagt schlicht „Maß" oder „Differenz". „Versatz-Vektor" als Korpus-Begriff am Werkplan ist nicht zimmermannssprachlich verfestigt — er bleibt eine didaktische Brücke zwischen Werkplan und CAD-Datenmodell.

Verweise¶

Diese Subglossar-Datei stützt sich auf die folgenden Hauptglossar- Begriffe; bei Detailfragen ist dort die normative Definition zu finden:

hauptglossar/00_ressourcen/hg_vektor.md — das normative Hauptglossar zum Vektor, mit mathematischer Definition als Element des Vektorraums ℝ³, Wohldefiniertheit, Implementierungshinweis und Quellenliste.
hauptglossar/00_ressourcen/hg_punkt.md — die ortsgebundene Schwester-Figur: Lage ohne Richtung. „Punkt + Vektor → Punkt" und „Punkt − Punkt → Vektor" sind die zulässigen Mischoperationen.
hauptglossar/00_ressourcen/hg_strecke.md — der ortsgebundene Geschwister-Begriff: konkrete Verbindung zweier Punkte am Bauteil. Ein Vektor ist die ortsfreie Differenz dieser zwei Punkte.
hauptglossar/00_ressourcen/hg_einheitsvektor.md — der Vektor mit Länge 1; reine Richtungs-Information. Faserrichtung, Falllinie und Dachflächen-Normale sind Einheitsvektoren.
hauptglossar/00_ressourcen/hg_falllinie.md — der gleichnamige „Linien"-Begriff, der trotz Wortbestandteil kein allgemeiner Vektor ist, sondern ein Einheitsvektor in der Dachebene.
hauptglossar/00_ressourcen/hg_koordinatensystem.md — das Bezugssystem, in dem die Komponenten eines Vektors als Zahlentripel dargestellt werden; bei Basiswechsel ändern sich die Zahlen, der Vektor bleibt derselbe.
hauptglossar/00_ressourcen/hg_ebene.md — Trägerbegriff der Dachfläche; die rechtwinklig auf der Ebene stehende Richtung ist der Normalenvektor.

Verwandte Subglossar-Einträge (Folgearbeit): sg_einheitsvektor, sg_faserrichtung, sg_kraftvektor, sg_wirkungslinie.

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