Rechteck-Querschnitt

Prosa-Definition¶

Ein Rechteck-Querschnitt ist ein Querschnitt der Form RECHTECK, der in einem lokalen 2D-Koordinatensystem (u, v) seiner Quer- schnittsebene mit Ursprung im Flächenschwerpunkt durch die abgeschlossene rechteckige Punktmenge [−b/2, b/2] × [−h/2, h/2] gegeben ist, mit den Pflichtparametern Breite b > 0 und Höhe h > 0 (in mm).

Mathematische Definition¶

Sei

𝓠𝓢 die Menge der Querschnitte (siehe querschnitt),
E ⊂ ℝ³ die Querschnittsebene (siehe ebene) mit lokalem rechtshändigem Orthonormalsystem (u_hat, v_hat) ⊂ E im Flächenschwerpunkt z ∈ E als Ursprung,
b > 0 die Breite in mm,
h > 0 die Höhe in mm.

Dann ist ein Rechteck-Querschnitt das Tupel

RQ := (form, ebene, flaechenschwerpunkt, breite, hoehe)
     = (RECHTECK, E, z, b, h)

mit der Punktmenge in lokalen (u, v)-Koordinaten

Q_lokal(b, h) := { (u, v) ∈ ℝ² | −b/2 ≤ u ≤ b/2  ∧  −h/2 ≤ v ≤ h/2 }
              = [−b/2, b/2] × [−h/2, h/2]

und der zugehörigen Punktmenge in W

Q(RQ) := { z + u·u_hat + v·v_hat ∈ ℝ³ | (u, v) ∈ Q_lokal(b, h) }.

Es ist 𝓡𝓠 ⊂ 𝓠𝓢, d. h. die Menge der Rechteck-Querschnitte ist eine disjunkte Teilmenge der Querschnitts-Menge mit form = RECHTECK.

Eckpunkte in lokalen (u, v)-Koordinaten (zyklisch gegen den Uhrzeigersinn, beginnend mit dem Eckpunkt im Quadranten (+u, +v)):

v₁ = ( +b/2, +h/2 )
v₂ = ( −b/2, +h/2 )
v₃ = ( −b/2, −h/2 )
v₄ = ( +b/2, −h/2 )

In W-Koordinaten:

v_i^W = z + u_i · u_hat + v_i · v_hat   für i = 1, …, 4.

Flächenschwerpunkt: per Konstruktion im Ursprung des lokalen (u, v)-Systems, da

z_lokal = (1 / (b·h)) · ∫∫_{Q_lokal} (u, v) du dv
        = ( (1/b) · ∫_{-b/2}^{+b/2} u du,  (1/h) · ∫_{-h/2}^{+h/2} v dv )
        = ( 0, 0 ).

Damit gilt z = z + 0·u_hat + 0·v_hat, d. h. der Flächenschwerpunkt in W stimmt mit dem Ursprung des lokalen Querschnittssystems überein.

Querschnittsfläche:

A := 𝓛²(Q(RQ)) = b · h   (in mm²).

Wohldefiniertheit¶

Existenz: Für b > 0 und h > 0 ist Q_lokal(b, h) eine nicht-leere, abgeschlossene, beschränkte, zusammenhängende, konvexe Punktmenge in ℝ² mit positivem Lebesgue-Mass b·h > 0. Die Einbettung in ℝ³ über die affine Abbildung (u, v) ↦ z + u·u_hat + v·v_hat ist eine Isometrie und überträgt diese Eigenschaften.
Eindeutigkeit der Punktmenge: Q_lokal(b, h) ist durch (b, h) eindeutig festgelegt; Q(RQ) ist durch (E, z, u_hat, v_hat, b, h) eindeutig festgelegt.
Wohldefiniertheit des Flächenschwerpunkts: Der Flächenschwerpunkt liegt per Symmetrie im Schnittpunkt der Diagonalen, d. h. im Ursprung des lokalen (u, v)-Systems. Die Definition ist daher konsistent mit der Forderung aus hg_querschnitt.md, dass der Flächenschwerpunkt z ∈ E ein Pflichtfeld des Querschnitts ist.
Wohldefiniertheit des lokalen Systems (u_hat, v_hat): Die Wahl von (u_hat, v_hat) als rechtshändiges Orthonormalsystem in E bestimmt die Orientierung der Breiten- und Höhenkanten in W. Diese Wahl ist Festlegung des Bauteils, nicht des Querschnitts (siehe Implementierungshinweis unten und hg_bauteil.md); auf der Ebene des Querschnitts wird (u_hat, v_hat) als gegeben vorausgesetzt. Die Punktmenge Q(RQ) hängt von dieser Wahl ab; alternative rechtshändige Orthonormalsysteme (z. B. Drehung um 90°) ergeben andere Punktmengen, aber dieselbe Querschnittsfläche und dieselben intrinsischen Querschnittseigenschaften (modulo Vertauschung von I_y und I_z).
Eckpunkte: Die vier Eckpunkte v₁ … v₄ sind paarweise verschieden (b > 0 ∧ h > 0), liegen in E und bilden ein einfaches, konvexes Polygon (Polygon im Sinne von polygon).
Klassen-Invariante: form = RECHTECK ist konstant für diese Subklasse.
Disjunktheit zu anderen Subklassen: Ein Rechteck-Querschnitt ist ausgeschlossen von der Menge der Rund-, I-, T-, polygonal- Querschnitte durch das Diskriminator-Feld form.
Nicht-Zirkularität: Die Definition stützt sich auf querschnitt, punkt, vektor, ebene und toleranzen. Sie verweist nicht auf andere Querschnitt-Subklassen in ihrer eigenen Definition.

Erläuterung (nicht normativ)¶

Standardquerschnitte im Holzbau¶

Der rechteckige Querschnitt ist im Holzbau der dominierende Querschnittstyp:

Vollholz / KVH (DIN EN 14081-1, DIN EN 15497): Standardgrössen nach Lignum HBT bzw. DIN 4070, z. B. 60×120, 80×160, 100×200, 120×240, 140×240, 160×240 mm.
Brettschichtholz / BSH (DIN EN 14080): Standardbreiten 80, 100, 120, 140, 160, 200, 240 mm; Höhen frei wählbar in 40-mm-Stufen.
Balkenschichtholz / BSc (DIN EN 14080): rechteckig, kleinere Standardquerschnitte.
Furnierschichtholz / LVL (DIN EN 14374): rechteckig, breite Stege bis 1800 mm.

Im Sparrendach-Standardfall (Memory project_grobplan_erstes_tool) ist der Sparren ein Vollholz- oder KVH-Bauteil mit Rechteck- Querschnitt, typisch 80×160 oder 100×200 mm. Daher ist der Rechteck-Querschnitt der Default-Subtyp für die D8a-Bauteilklasse.

Geometrische Eigenschaften¶

Für einen Rechteck-Querschnitt mit Breite b und Höhe h gelten die klassischen geschlossenen Formeln:

A    = b · h                        (Querschnittsflaeche)
I_y  = b · h³ / 12                  (Flächentraegheitsmoment um y)
I_z  = h · b³ / 12                  (Flächentraegheitsmoment um z)
W_y  = b · h² / 6                   (Widerstandsmoment um y)
W_z  = h · b² / 6                   (Widerstandsmoment um z)
i_y  = h / sqrt(12)                 (Tragheitsradius um y)
i_z  = b / sqrt(12)                 (Tragheitsradius um z)
I_T  ≈ k(b/h) · b³ · h              (Torsions-Flaechenmoment, naeherungsweise)

mit y-Achse parallel zur Breitenkante b und z-Achse parallel zur Höhenkante h (siehe oben). Diese Formeln werden im Folge-Eintrag querschnittseigenschaften aus der Querschnittsdefinition hergeleitet und nicht hier als Definitionen geführt (Konservativität, vgl. CLAUDE.md / Glossar-Methodik).

„Starke" und „schwache" Biegeachse¶

Bei einem Rechteck-Querschnitt mit h > b (hochkant verlegt) ist die y-Achse die „starke" Biegeachse (I_y > I_z) und die z-Achse die „schwache". Sparren werden konventionell hochkant verlegt (h = Sparrenhöhe entlang der Falllinie projizierter Komponente, b = Sparrenbreite); die starke Biegeachse liegt damit horizontal in der Dachebene, was bei Schneelast die maximale Tragfähigkeit ergibt.

Die Klasse RechteckQuerschnitt erzwingt keine Ordnung b ≤ h. Ein flach verlegter Riegel (h < b, „flachkant") ist erlaubt; die Bemessungsschicht erkennt die starke/schwache Achse über die Querschnittseigenschaften.

Lokales 2D-System und Bauteil-Einbettung¶

Die Trennung „lokal in der Querschnittsebene" vs. „Einbettung in W" ist konsistent mit IFC und BTLx:

IFC: IfcRectangleProfileDef(XDim = b, YDim = h, Position = IfcAxis2Placement2D(Location = Schwerpunkt, RefDirection = u_hat)); die Einbettung in W erfolgt über IfcExtrudedAreaSolid und IfcAxis2Placement3D.
BTLx: Part-Element trägt Width = b, Height = h; Lage und Orientierung über RefSide und RefEdge.

Die Klasse RechteckQuerschnitt enthält daher nur b und h, nicht die Einbettungs-Information; letztere lebt im Bauteil.

Beziehungen¶

Oberbegriff: querschnitt (Form-Diskriminator RECHTECK).
Subklassen: keine. Rechteck-Querschnitt ist Blatt der Hierarchie. (Eine eventuelle weitere Spezialisierung „Quadrat- Querschnitt" als b = h ist als Werte-Spezialfall zu behandeln, nicht als eigene Klasse.)
Pflichtfelder über querschnitt hinaus:
Breite b > 0 (in mm; Pflicht): Ausdehnung entlang der lokalen u_hat-Achse (Bauteil-y).
Höhe h > 0 (in mm; Pflicht): Ausdehnung entlang der lokalen v_hat-Achse (Bauteil-z).
Verwendung:
Bauteil (bauteil): jedes Stabbauteil trägt typisch einen Rechteck-Querschnitt als Pflichtfeld (D8a; siehe Memory project_grobplan_erstes_tool); im Standardfall Vollholz/KVH/BSH.
Sparren (sparren): Standardfall, 80×160 oder 100×200 mm.
Pfette (pfette): Standardfall, 120×160 oder 140×200 mm.
Stütze (Folgearbeit): Standardfall, 120×120 oder 140×140 mm.
Strebe (Folgearbeit): Standardfall, 80×120 mm.
Abgrenzung:
Querschnitt (querschnitt): abstrakter Oberbegriff; Rechteck-Querschnitt ist eine konkrete Subklasse, charakterisiert durch form = RECHTECK und die rechteckige Punktmenge.
Polygon (polygon): die Berandung eines Rechteck-Querschnitts ist ein einfaches, konvexes Polygon mit 4 Eckpunkten; der Rechteck-Querschnitt ist aber keine Polygon-Instanz, weil er zusätzlich die Klassen-Invariante form = RECHTECK und die Pflichtparameter (b, h) trägt. Polygonale Querschnitte mit beliebiger Eckenzahl gehören in die Folgearbeit-Klasse polygonaler_querschnitt.
Ebene (ebene): die Querschnittsebene ist eine Ebene; der Rechteck-Querschnitt ist eine beschränkte Teilmenge dieser Ebene mit fester rechteckiger Form.
Bauteilachse (bauteilachse): die Querschnittsebene steht per Konstruktion rechtwinklig zur Bauteilachsen-Tangente, und der Schwerpunkt des Rechteck-Querschnitts liegt auf der Bauteilachse.
Bauteil (bauteil): Rechteck-Querschnitt ist Eigenschaft eines Stabbauteils, nicht das Bauteil selbst.

Implementierungshinweis¶

Datentyp (Domänen-Schicht, Kotlin, Schicht zimmermann.domain.bauteil.querschnitt):

package zimmermann.domain.bauteil.querschnitt

import zimmermann.domain.geometrie.Toleranzen
import zimmermann.domain.fehler.EntartetGeometrie
import zimmermann.domain.fehler.Resultat

/**
 * Rechteck-Querschnitt: Querschnitt-Subklasse mit rechteckiger
 * Schnittfigur in der Querschnittsebene.
 * Glossar: hg_rechteck_querschnitt.md
 *
 * Pflichtfelder: breite b > 0, hoehe h > 0 (in mm).
 * Form: konstant RECHTECK.
 *
 * Lokales 2D-System: Ursprung im Flaechenschwerpunkt, lokale
 * u-Achse parallel zur Breitenkante (Bauteil-y), lokale v-Achse
 * parallel zur Hoehenkante (Bauteil-z). Punktmenge:
 * [-b/2, b/2] x [-h/2, h/2].
 *
 * Die Einbettung der Querschnittsebene in W (Lage des Schwerpunkts,
 * Orientierung der lokalen Achsen) ist Sache des Bauteils, nicht
 * des Querschnitts. RechteckQuerschnitt ist daher eine Werteklasse,
 * die fuer mehrere Bauteile geteilt werden kann.
 *
 * Validierung: Konstruktion ausschliesslich ueber Factory
 * `RechteckQuerschnitt.aus(breite, hoehe): Resultat<RechteckQuerschnitt,
 * EntartetGeometrie>`. Konstruktor ist `internal`. Vorbild:
 * `LokalePlatzierung.aus(...)`.
 */
@ConsistentCopyVisibility
public data class RechteckQuerschnitt internal constructor(
    public val breite: Double,
    public val hoehe: Double,
) : Querschnitt {
    public override val form: QuerschnittsForm = QuerschnittsForm.RECHTECK

    public override val flaeche: Double get() = breite * hoehe

    public companion object {
        public fun aus(
            breite: Double,
            hoehe: Double,
        ): Resultat<RechteckQuerschnitt, EntartetGeometrie> {
            // 1. Endlich.
            // 2. breite > Toleranzen.NORM_EPS, hoehe > Toleranzen.NORM_EPS.
            // 3. konkrete Pruefung in Factory; bei Verletzung
            //    Resultat.Fehler(EntartetGeometrie.NullQuerschnitt).
            TODO("D8a-Implementierung")
        }
    }
}

Einheit: Breite und Höhe in mm (Double); Fläche in mm²; Form-Diskriminator dimensionslos (Aufzählung).
Identität: Rechteck-Querschnitt trägt keine UUID. Werteklasse (data class); zwei Rechteck-Querschnitte mit identischen (b, h) sind structurally equal und dürfen geteilt werden (z. B. ein Standardquerschnitt 80×160 für alle Sparren eines Daches).
Lokales 2D-System (Konvention): u_hat = Bauteil-y (Breitenrichtung, parallel zu b), v_hat = Bauteil-z (Höhenrichtung, parallel zu h). Diese Konvention wird im Bauteil bei der Einbettung der Querschnittsebene in W realisiert; der Querschnitt selbst trägt nur (b, h).
Invarianten (in Factory RechteckQuerschnitt.aus(...) prüfen, bei Verletzung Resultat.Fehler(EntartetGeometrie.NullQuerschnitt) zurückgeben; kein init+require, keine Exception):
form == QuerschnittsForm.RECHTECK (Klassen-Invariante).
breite.isFinite() && hoehe.isFinite().
breite > Toleranzen.NORM_EPS && hoehe > Toleranzen.NORM_EPS (positives Flächenmass A = b·h > 0).
Keine Forderung b ≤ h (flachkant ist erlaubt).
Standardgrössen (Lignum HBT, Memory reference_richtpreise_holzbau, als Konstanten in RechteckQuerschnitt.Standardgroessen zu führen, Folgearbeit):
Vollholz / KVH: 60×120, 80×160, 100×200, 120×240, 140×240, 160×240.
BSH: Breite ∈ {80, 100, 120, 140, 160, 200, 240}, Höhe in 40-mm-Stufen.
IFC-Mapping:
IfcRectangleProfileDef.XDim ← breite.
IfcRectangleProfileDef.YDim ← hoehe.
IfcRectangleProfileDef.Position ← IfcAxis2Placement2D mit Location im Schwerpunkt (lokal Origin) und RefDirection als u_hat.
BTLx-Mapping: Part-Element mit Width = breite, Height = hoehe.
Edge Cases:
Quadrat-Querschnitt (b == h): erlaubt; keine eigene Klasse, sondern Wertspezialisierung. Stützenquerschnitt 120×120 ist typischer Anwendungsfall.
Sehr schmaler Querschnitt (b ≪ h, z. B. 24×240): erlaubt; Plattenstreifen oder Lattung. Bemessungsschicht prüft Kipp- stabilität.
Negative oder Null-Werte: nicht erlaubt; Factory liefert Resultat.Fehler.
Nicht-finite Werte (NaN, ±∞): nicht erlaubt; Factory liefert Resultat.Fehler.
Sehr grosse Werte (b · h > 10⁹ mm² ≈ 1 m² Querschnitt): erlaubt, aber in der Praxis unüblich; keine harte Obergrenze.
Bezeichner-Konvention (CLAUDE.md): Domänen-Klasse heisst RechteckQuerschnitt (deutsch, Glossarbegriff zusammengesetzt aus Subtyp + Oberbegriff).

Quellen¶

Primär (normativ):

DIN EN 1995-1-1:2010-12, „Eurocode 5: Bemessung und Konstruktion von Holzbauten – Teil 1-1".
SIA 265:2021, „Holzbau", Schweizerischer Ingenieur- und Architektenverein, Zürich.
DIN EN 14081-1:2019-10, „Holzbauwerke – Nach Festigkeit sortiertes Bauholz mit rechteckigem Querschnitt – Teil 1: Allgemeine Anforderungen".
DIN EN 14080:2013-09, „Holzbauwerke – Brettschichtholz und Balkenschichtholz – Anforderungen".
DIN EN 15497:2014-07, „Keilgezinktes Vollholz für tragende Zwecke".
ISO 16739-1:2024, „Industry Foundation Classes (IFC)", IfcRectangleProfileDef.

Sekundär:

Lignum (Hrsg.): Holzbautabellen HBT. Lignum, Zürich, aktuelle Auflage.
Mönck, W.; Rug, W.: Holzbau – Bemessung und Konstruktion.
Auflage, Beuth, Berlin 2015.
Blass, H. J.; Sandhaas, C.: Ingenieurholzbau – Grundlagen der Bemessung. KIT Scientific Publishing, Karlsruhe 2016.
Natterer, J.; Herzog, T.; Volz, M.: Holzbau-Atlas. 4. Auflage, Birkhäuser, Basel 2003.
Bronstein, I. N. et al.: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, aktuelle Auflage.

Korpus (nicht autoritativ):

Holzbau Deutschland, Merkblatt „Begriffe und Klassifizierungen für den Holzbau" (abgerufen 2026-05-09).
Wikipedia, Lemma „Rechteckquerschnitt" (abgerufen 2026-05-09).

Quelle herunterladen¶

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