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Dachfläche

Prosa-Definition

Eine Dachfläche ist ein zusammenhängender, ebener und polygonal begrenzter Teil einer Ebene im Raum, der als Außenfläche eines Dachtragwerks die Begrenzung des umbauten Raumes nach oben geometrisch vertritt und dessen Stützgerade entweder horizontal liegt (Flachdachfläche) oder gegenüber der Horizontalebene um einen Winkel α ∈ (0, π/2) geneigt ist (geneigte Dachfläche).

Mathematische Definition

Sei

  • E ⊂ ℝ³ eine Ebene mit Stützpunkt p₀ ∈ ℝ³ und Einheits-Normalenvektor n ∈ S² (also E = { x ∈ ℝ³ | ⟨n, x − p₀⟩ = 0 }),
  • P = (v₁, v₂, …, v_k) ein einfaches, geschlossenes Polygon mit Eckpunkten v_i ∈ E und k ≥ 3,
  • F(P) ⊂ E das von P berandete, abgeschlossene Flächenstück (innerer Bereich vereinigt mit Rand),
  • α := arccos(⟨n, e_z⟩) der Winkel zwischen n und der vertikalen Achse e_z = (0, 0, 1)ᵀ.

Dann heißt das Tripel

D := (E, P, n_a)

mit n_a ∈ {+n, −n} als der nach außen weisenden Wahl der Normalen (die nach außen weisende Halbraumseite ist die nicht vom Bauwerk belegte) eine Dachfläche genau dann, wenn

  1. F(P) ist nicht-degeneriert: Flächeninhalt(F(P)) > 0.
  2. ⟨n_a, e_z⟩ ≥ 0 (die äußere Normale weist in die obere Halbkugel oder in die Horizontale, niemals nach unten).
  3. Die Dachneigung α erfüllt α ∈ [0, π/2). Für α = 0 spricht man von einer horizontalen Dachfläche (Flachdach), für α ∈ (0, π/2) von einer geneigten Dachfläche.

Der Träger der Dachfläche ist E, der Umriss ist P, die äußere Normale ist n_a, die Dachneigung ist α.

Wohldefiniertheit

  • Eindeutigkeit von α: Für jedes n ∈ S² mit ⟨n, e_z⟩ ≥ 0 ist α = arccos(⟨n, e_z⟩) ∈ [0, π/2] eindeutig bestimmt. Da n_a aus den beiden Vorzeichen ±n durch Bedingung 2 eindeutig festgelegt wird (außer im Grenzfall ⟨n, e_z⟩ = 0, der nach Bedingung 3 mit α < π/2 ausgeschlossen ist), ist α wohldefiniert.
  • Unabhängigkeit vom Stützpunkt p₀: Die Ebene E hängt nicht von der Wahl von p₀ ab, solange p₀ ∈ E gilt; die Definition ist also invariant unter Wahl eines anderen Repräsentanten.
  • Nicht-Zirkularität: Die Definition verwendet ausschließlich die Primitive Punkt, Ebene, Vektor, Polygon, Strecke, Winkel sowie das globale Koordinatensystem (e_z). Sie verweist auf keine anderen Bauteilbegriffe.

Erläuterung (nicht normativ)

Die Dachfläche ist die geometrische Außenseite eines Daches, abstrahiert von Material und Aufbau. Bei einem Satteldach besteht das Dach aus genau zwei Dachflächen, die sich am First schneiden; bei einem Walmdach kommen Walmflächen als zusätzliche Dachflächen hinzu; bei einem Pultdach existiert nur eine einzige Dachfläche.

Die Begrenzungskanten einer Dachfläche tragen je nach räumlicher Lage eigene Namen: die untere, näherungsweise horizontale Kante heißt Traufe, die obere ist entweder First (Schnittkante mit einer benachbarten Dachfläche) oder Pultkante, die seitlichen Kanten heißen Ortgang (an einer Giebelwand) oder Grat bzw. Kehle (Schnittkante mit einer benachbarten Dachfläche bei einspringendem oder ausspringendem Eck).

Beziehungen

  • Oberbegriff: Ebene mit polygonaler Berandung (geometrisches Primitiv ebene zusammen mit polygon).
  • Teilbegriffe (Spezialisierungen):
  • Hauptdachfläche
  • Walmfläche
  • Pultdachfläche
  • Schleppdachfläche
  • Krüppelwalmfläche
  • Bestandteile (partitiv):
  • Begrenzungskanten: Traufe, First, Ortgang, Grat, Kehle, Pultkante.
  • Abgrenzung:
  • Dach (eigener Eintrag): das gesamte Bauteil-Aggregat aus Tragwerk, Dachflächen und Dachhaut. Eine Dachfläche ist ein geometrischer Bestandteil eines Daches, nicht das Dach selbst.
  • Dachhaut (eigener Eintrag): die materielle, schichtweise aufgebaute Außendeckung (Ziegel, Folie, Blech). Die Dachhaut liegt auf der Dachfläche auf, ist aber nicht mit ihr identisch. Die Dachfläche ist Geometrie, die Dachhaut ist Material.
  • Dachschräge (umgangssprachlich): meint im Innenausbau die von unten sichtbare Untersicht der geneigten Dachkonstruktion. Geometrisch ist sie eine zur Dachfläche parallele, um die Sparrenhöhe nach innen versetzte Ebene. Wird in diesem Glossar als eigenständiger Begriff dachschraege_innen geführt und ist nicht synonym zur Dachfläche.
  • Dachseite (eigener Eintrag): keine bloße sprachliche Variante, sondern eine Spezialisierung der Dachfläche mit zusätzlicher Orientierungs-Annotation (Wetterseite, Sonnenseite, Himmelsrichtung) und damit bemessungsrelevant für Wind- und Solarlasten. Eine Dachseite ist eine Dachfläche mit zusätzlicher Orientierungs-Annotation (vgl. hg_dachseite.md).
  • Dachneigungswinkel α: ein Merkmal der Dachfläche, kein eigenständiges Bauteil.

Implementierungshinweis

Datentyp (Domänen-Schicht, Kotlin, Schicht domain.bauteil bzw. domain.geometrie):

data class Dachflaeche(
    val traeger: Ebene,        // E
    val umriss: Polygon,       // P, Eckpunkte ∈ traeger
    val aeussereNormale: Vektor // n_a, ‖n_a‖ = 1, n_a · e_z ≥ 0
)
  • Einheit: Eckpunkt-Koordinaten in mm (Double); α intern in Radiant.
  • Invarianten (in init-Block prüfen, bei Verletzung Resultat.Fehler bzw. Entartet-Variante zurückgeben, niemals Exception werfen):
  • Alle v_i ∈ traeger, getestet mit |⟨n, v_i − p₀⟩| ≤ Toleranzen.LAENGE_EPS (Standardwert 1e-3 mm = 1 µm, bezogen auf normalisiertes n; siehe hg_toleranzen.md für die kanonischen Default-Werte).
  • Polygon-Flächeninhalt > Toleranzen.FLAECHE_EPS.
  • ‖n_a‖ ∈ 1 ± Toleranzen.NORM_EPS.
  • n_a · e_z ≥ −Toleranzen.WINKEL_EPS (kleine numerische Unterschreitung wird als 0 toleriert).
  • Edge Cases:
  • α = 0: zulässig (Flachdach). Bei α = 0 ist die Wahl der äußeren Normalen durch die Bedingung n_a · e_z = 1 (statt ≥ 0) zu erzwingen; n_a = −e_z ist verboten (Kellerdecke wäre kein Dach).
  • α → π/2: degeneriert zur senkrechten Wand. Gemäß Definition ausgeschlossen (α < π/2). Die Domänen-Klasse liefert in diesem Fall Entartet.Senkrecht.
  • Nicht-planarer Polygonzug: numerische Punkte, die nicht exakt in E liegen, werden bis Toleranzen.LAENGE_EPS akzeptiert; darüber hinaus Entartet.NichtPlanar.
  • Nicht-einfaches Polygon (Selbstschnitt): Entartet.Selbstschnitt.
  • Abgeleitete Eigenschaften (als Funktionen, keine Felder):
  • dachneigung(): Radiant = arccos(aeussereNormale · e_z).
  • flaecheninhalt(): Double (mm²) aus dem Umriss-Polygon.
  • traufe(): Strecke?, first(): Strecke?, ortgang(): List<Strecke> werden in Folge-Einträgen der genannten Kantenbegriffe definiert und greifen auf die Klassifikation der Polygonkanten nach Lage und Nachbarschaft zurück.

Quellen

Primär (normativ):

  • DIN 18531-1:2017-07, „Abdichtung von Dächern sowie von Balkonen, Loggien und Laubengängen – Teil 1: Nicht genutzte und genutzte Dächer – Anforderungen, Planungs- und Ausführungsgrundsätze", Abschnitt 3.
  • SIA 232/1:2020, „Geneigte Dächer", Schweizerischer Ingenieur- und Architektenverein, Abschnitt 1.

Sekundär:

  • Mönck, W.: Schäden an Holzkonstruktionen. 4. Auflage, Verlag Bauwesen, Berlin 2000.
  • Gerner, M.: Fachwerk – Instandsetzung, Sanierung, Neubau. DVA,
  • Auflage 2007.
  • Lignum (Hrsg.): Holzbautabellen HBT. Lignum, Zürich, aktuelle Auflage.

Korpus (nicht autoritativ, nur zur Belegung des Sprachgebrauchs):

  • Wikipedia, Lemmata „Dach" und „Dachhaut" (abgerufen 2026-05-07).
  • Sanier.de: „Fachbegriffe rund ums Dach".

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