Hankinson-Winkel

Prosa-Definition¶

Der Hankinson-Winkel α ist die Operation, die einem Kraftvektor F im Welt-Koordinatensystem (mit ‖F‖ > 0) und einer Faserrichtung f_hat ∈ S² genau einen Winkel α ∈ [0°, 90°] als den Betrags-Winkel zwischen der Kraftrichtung und der Faserachse zuordnet, der als geometrische Eingangsgröße der Hankinson-Formel zur Bestimmung der charakteristischen Festigkeit f_α unter beliebigem Faserwinkel nach DIN EN 1995-1-1 (Gl. 6.16, 8.31, 8.32) und SIA 265 (Anhang A) dient.

Mathematische Definition¶

Sei

F ∈ ℝ³ \ {0} ein Kraftvektor (siehe vektor),
f_hat ∈ S² ⊂ ℝ³ ein Einheitsvektor in der Rolle Faserachse (siehe einheitsvektor, faserrichtung).

Dann ist der Hankinson-Winkel α definiert als die Funktion

α : (ℝ³ \ {0}) × S² → [0, π/2],
α(F, f_hat) := arccos( |⟨F, f_hat⟩| / ‖F‖ ).

Der Betrag |⟨F, f_hat⟩| sichert, dass α ∈ [0, π/2] und dass α invariant unter Vorzeichenwechsel von f_hat ist (die Faserachse ist physikalisch ungerichtet; siehe faserrichtung Wohldefiniertheit).

Spezialisierung mit normiertem Kraftvektor: Für F_hat := F / ‖F‖ ∈ S² vereinfacht sich die Formel zu

α(F_hat, f_hat) = arccos( |⟨F_hat, f_hat⟩| ).

Lagenweise Auswertung bei Mehrlagenholz: Sei B ein Bauteil mit Werkstoff w ∈ 𝓜𝓛 (Mehrlagenholz, siehe mehrlagenholz) und Lagenstruktur L = (ℓ₀, …, ℓ_{n−1}) (siehe lagenstruktur). Dann ist der Hankinson-Winkel pro Lage

α_i(F) := α(F, ℓ_i.faserrichtung)     für i ∈ {0, …, n−1},

ein Tupel von n Winkeln. Eine einzelne „Bauteil-α" gibt es bei Mehrlagenholz nicht.

Werkstoff-Modus-spezifische Bezugsachse:

Modus	Bezugsachse für α
HART	f_hat = Werkstoff-Faserrichtung (siehe `axiales_holz`)
STRUKTURIERT	(f_hat_0, …, f_hat_{n−1}) = lagenweise Faserrichtungen (siehe `lage`)
SCHWACH	f_hat = Plattenlängsrichtung (siehe `plattenlaengsrichtung`)
KEINE	nicht definiert (kein α-Begriff in der Plattenebene)

Hankinson-Formel (nicht definitorisch, nur Erläuterung; siehe unten): Die charakteristische Festigkeit unter Faserwinkel α ist

f_α = (f_0 · f_90) / (f_0 · sin²α + f_90 · cos²α),

mit f_0 = Festigkeit parallel zur Faser (α = 0), f_90 = Festigkeit rechtwinklig zur Faser (α = π/2). Die Formel ist abgeleiteter Satz der Bemessungs-Schicht; die Definition gehört in EN 1995-1-1 / SIA 265, nicht in dieses Glossar.

Wohldefiniertheit¶

Existenz und Eindeutigkeit: Für F ∈ ℝ³ \ {0} und f_hat ∈ S² ist ⟨F, f_hat⟩ wohldefiniert; |⟨F, f_hat⟩| / ‖F‖ ∈ [0, 1] (Cauchy-Schwarz mit ‖f_hat‖ = 1); arccos: [0, 1] → [0, π/2] ist stetig und bijektiv. Damit ist α(F, f_hat) eindeutig in [0, π/2].
Wertebereich [0, π/2]: Die Reduktion erfolgt durch den Betrag |⟨F, f_hat⟩|, der den Winkel zur ungerichteten Faserachse misst. EN 1995-1-1 und SIA 265 verwenden α ∈ [0°, 90°].
Vorzeicheninvarianz von α gegen f_hat: α(F, f_hat) = α(F, −f_hat), weil |⟨F, −f_hat⟩| = |⟨F, f_hat⟩|. Dies ist Voraussetzung für die Wohldefiniertheit, weil die Faserrichtung physikalisch ungerichtet ist (siehe faserrichtung).
Vorzeicheninvarianz von α gegen F: α(F, f_hat) = α(−F, f_hat), weil |⟨−F, f_hat⟩| = |⟨F, f_hat⟩|. Damit ist α unabhängig von der Kraftrichtungs-Vorzeichenwahl (relevant für reine Beanspruchungsklassen Druck/Zug).
Numerische Wohldefiniertheit: arccos auf [0, 1] ist gut konditioniert. Für F_hat ∈ S² (normiert) wird |⟨F_hat, f_hat⟩| in [0, 1] durch coerceIn(0.0, 1.0) gegen Rundungsüberschreitung gesichert.
Edge Case ‖F‖ ≈ 0: nicht zulässig (Operation auf ℝ³ \ {0}); Aufrufer muss ‖F‖ > 0 sicherstellen (Entartet.HankinsonWinkelKraftIstNullvektor).
Norm-Invariante: f_hat erbt | ‖f_hat‖² − 1 | ≤ NORM_EPS aus einheitsvektor; die Wohldefiniertheit von α ist auf die Norm-Invariante angewiesen (sonst |⟨F, f_hat⟩| / ‖F‖ ∉ [0, 1]).
Lagenweise Wohldefiniertheit: α_i ist für jede Lage ℓ_i separat wohldefiniert, weil ℓ_i.faserrichtung ∈ S² (Lagen- Invariante, siehe lage).
Nicht-Zirkularität: Die Definition stützt sich auf vektor, einheitsvektor, faserrichtung, lage, lagenstruktur, toleranzen. Sie kommt nicht in ihrer eigenen Definition vor.

Erläuterung (nicht normativ)¶

Hankinson-Formel¶

Die Hankinson-Formel (Hankinson 1921) interpoliert die charakteristische Festigkeit von Holz unter beliebigem Faserwinkel α zwischen den beiden Grenzwerten:

f_α = (f_0 · f_90) / (f_0 · sin²α + f_90 · cos²α)

mit f_0 = Festigkeit parallel zur Faser (α = 0°), f_90 = Festigkeit rechtwinklig zur Faser (α = 90°).

α	sin²α	cos²α	f_α
0°	0	1	f_0
30°	0,25	0,75	f_0·f_90 / (0,25 f_0 + 0,75 f_90)
45°	0,5	0,5	2 · f_0 · f_90 / (f_0 + f_90)
60°	0,75	0,25	f_0·f_90 / (0,75 f_0 + 0,25 f_90)
90°	1	0	f_90

Für Fichte-Vollholz C24: f_c,0,k ≈ 21 N/mm², f_c,90,k ≈ 2,5 N/mm²; f_c,45 ≈ 4,5 N/mm² (Faktor 5 zur Faser-parallelen Festigkeit).

Anwendung in EC5¶

EC5-Stelle	Bemessungssituation
Gl. 6.16	Druck schräg zur Faser σ_c,α,d
Gl. 8.31	Lochleibungsfestigkeit f_h,α,k bei Bolzen, Stabdübel (D ≤ 30 mm)
Gl. 8.32	Lochleibungsfestigkeit Sonderfall (Nadelholz mit D > 8 mm)

Bei Schraubenverbindungen mit Vollgewindeschrauben (DIN EN 14592) geht α ebenfalls in die Lochleibungs- und Ausziehfestigkeiten ein.

Lagenweise Auswertung bei Mehrlagenholz (Blaß/Flaig 2012)¶

Bei Brettsperrholz ist die Hankinson-Formel auf Bauteilebene nicht direkt anwendbar, weil die Faserrichtung pro Lage variiert. Blass/Flaig 2012 (KIT, DOI 10.5445/KSP/1000030362) zeigen, dass für stabförmige BSP-Bauteile die Bemessung pro Lage erfolgen muss:

Für jede Lage ℓ_i den Winkel α_i = α(F, ℓ_i.faserrichtung) berechnen.
Lagenweise Festigkeit f_α_i mit Hankinson auswerten.
Lagenbeitrag mit Lagenfläche und Lagensteifigkeit gewichten (γ-Verfahren EN 1995-1-1 Anhang B oder Schickhofer-Methodik).

Konsequenz für die App: Die Schnittwinkel-Visualisierung muss bei Mehrlagenholz alle Lagen mit ihren α_i darstellen, nicht ein einzelnes α auf Bauteilebene.

Anwendung bei OSB (Modus SCHWACH)¶

Bei OSB ist die Faserrichtung im strengen Sinn nicht definiert; die Bezugsachse für α ist die plattenlaengsrichtung. EC5 / EN 12369-1 führt für OSB diskrete f_m,0 (parallel) und f_m,90 (rechtwinklig); die Hankinson-Interpolation ist abgeschwächt zulässig (großes Streumaß durch Strand-Streuung).

Modus KEINE: kein Hankinson-Winkel¶

Bei Spanplatte, MDF, HDF, harten Faserplatten ist die Festigkeit in der Plattenebene richtungsunabhängig (DIN EN 12369-1: eine einzige Festigkeit pro Beanspruchungsart). Der Hankinson-Winkel ist hier nicht definiert; α-Anfragen liefern „nicht zutreffend".

Beziehungen¶

Oberbegriff: keiner. Hankinson-Winkel ist eine Operation (Funktion).
Eingaben:
Vektor (Kraftvektor F ∈ ℝ³ \ {0}).
Einheitsvektor (Faserachse f_hat ∈ S²) bzw. Faserrichtung.
Bei Mehrlagenholz: Lagenstruktur zur lagenweisen Auswertung.
Ausgabe:
Bei axiales_holz und gerichteter_plattenwerkstoff: skalarer Winkel α ∈ [0, π/2] (Radiant; Anzeige in Grad).
Bei mehrlagenholz: Tupel (α_0, …, α_{n−1}) ∈ [0, π/2]^n.
Bei isotroper_plattenwerkstoff: nicht zutreffend.
Verwendung:
Hankinson-Formel f_α (Bemessungs-Schicht): Eingangsgröße.
Schnittwinkel-Visualisierung (Kernfunktion der App): Anzeige des Faserwinkels bei einem Schnitt.
Lochleibungsfestigkeit f_h,α,k (EN 1995-1-1 Gl. 8.31, 8.32): bei stiftförmigen Verbindungsmitteln.
Abgrenzung:
faserrichtung: Einheitsvektor in der Rolle „Material- hauptachse"; Eingabe der α-Operation, nicht synonym dazu.
faserneigung (DIN 4074-1): Tangens des Winkels zwischen Faser und Bauteillängsachse; Sortier-Merkmal für die Festigkeitsklassen-Zuordnung. Hankinson-Winkel ist Winkel zwischen Kraft und Faser, Faserneigung ist Winkel zwischen Faser und Bauteilachse — beides Winkel, aber an unterschiedlichen Geometrieobjekten.
plattenlaengsrichtung: bei OSB (Modus SCHWACH) Bezugsachse für α statt Faserrichtung.
haupttragrichtung: bei Mehrlagenholz nicht Bezugsachse für α (das wäre eine Mittelung); pro Lage wird ℓ_i.faserrichtung verwendet.

Implementierungshinweis¶

Datentyp (Domänen-Schicht, Kotlin, Package zimmermann.domain.geometrie):

package zimmermann.domain.geometrie

import zimmermann.domain.Resultat
import kotlin.math.abs
import kotlin.math.acos

/**
 * Hankinson-Winkel α zwischen Kraftrichtung und Faserachse.
 * Glossar: hg_hankinson_winkel.md
 *
 * Wertebereich: [0, π/2] Radiant. Vorzeicheninvariant gegen
 * F und n_hat (Faserachse ungerichtet, Kraftrichtungs-Vorzeichen
 * irrelevant für Faserwinkel).
 */
public object HankinsonWinkel {

    /** Vektor-Variante: F kann Nullvektor / nicht-finit sein. */
    public fun von(
        kraft: Vektor,
        faserrichtung: Einheitsvektor,
    ): Resultat<Double, EntartetGeometrie> {
        if (!kraft.istFinit()) return Resultat.Fehler(EntartetGeometrie.NichtFinit)
        if (kraft.istNullvektor()) return Resultat.Fehler(EntartetGeometrie.Nullrichtung)
        val cosAbs = (abs(faserrichtung dot kraft) / kraft.norm).coerceIn(0.0, 1.0)
        return Resultat.Erfolg(acos(cosAbs))
    }

    /** Einheitsvektor-Variante: strukturell nicht fehlschlagbar. */
    public fun von(
        kraftrichtung: Einheitsvektor,
        faserrichtung: Einheitsvektor,
    ): Double = acos(abs(kraftrichtung dot faserrichtung).coerceIn(0.0, 1.0))
}

Einheit: α intern in Radiant (Double). Anzeige in Grad (CLAUDE.md-Konvention).
Wertebereich: [0, π/2] = [0°, 90°].
Methodenname: von(...) (deutsch, „Hankinson-Winkel von F und n_hat") gemäß project_kotlin_konventionen.md (deutsche Bezeichner für Glossarbegriffe).
Toleranzen: arccos-Argument auf [0, 1] geklemmt (coerceIn); Eingaben müssen Einheitsvektor-Norm-Invariante erfüllen (NORM_EPS-Toleranz geerbt).
Identität: keine; reine Funktion / object.
Fehlerbehandlung: kein throw für entartete Eingaben (CLAUDE.md, project_kotlin_konventionen.md). Stattdessen Resultat<Double, EntartetGeometrie> mit den vorhandenen Varianten:
‖F‖² ≤ NORM_EPS: Resultat.Fehler(EntartetGeometrie.Nullrichtung).
F enthält NaN / ±∞: Resultat.Fehler(EntartetGeometrie.NichtFinit).
Die Einheitsvektor-Variante kann strukturell nicht fehlschlagen (Norm-Invariante per Typ; coerceIn fängt Float-Rundung).
Edge Cases:
Faserrichtung antiparallel zur Kraft: α = 0 (nicht π); der Betrag im Skalarprodukt sichert dies.
Faserrichtung rechtwinklig zur Kraft: α = π/2.
Werkstoff Modus KEINE: α nicht zutreffend; Aufrufer muss Modus prüfen, bevor er α anfragt. Eine eigene Klassifikations- schicht (Werkstoff-Modus → α-Verfügbarkeit) ist Folgearbeit.
Folgearbeit (YAGNI-ausgelagert):
alphaProLage(...) für Mehrlagenholz (Blass/Flaig 2012): sobald Lagenstruktur modelliert ist, einen Iterator über die Lagen anbieten, der von(F, ℓ_i.faserrichtung) je Lage aufruft. Trigger: erstmaliges Anlegen von domain/holzbau/.
Hankinson-Formel f_α = f_0·f_90 / (f_0·sin²α + f_90·cos²α): Bemessungs-Schicht (DIN EN 1995-1-1, SIA 265). Trigger: erstmalige Bemessungs-Tools.
OSB-Bezugsachse auf plattenlaengsrichtung umstellen: sobald Plattenwerkstoff-Werkstoffklasse modelliert ist, Faktor aus werkstoff.faserrichtungsModus ableiten.
Verwendungsregel: Bemessungsfunktionen (f_α, f_h,α,k) in der späteren Bemessungs-Schicht nehmen HankinsonWinkel.von(...) als Eingangsgröße. Die Geometrie-Schicht stellt α; die Bemessungs-Schicht setzt es in EC5-Formeln ein.

Quellen¶

Primär (normativ und originär):

Hankinson, R. L.: „Investigation of Crushing Strength of Spruce at Varying Angles of Grain". Air Service Information Circular Vol. III, No. 259, U.S. Air Service, 1921.
DIN EN 1995-1-1:2010-12, „Eurocode 5: Bemessung und Konstruktion von Holzbauten – Teil 1-1", Gleichungen 6.16, 8.31, 8.32.
SIA 265:2021, „Holzbau", Anhang A.

Sekundär:

Blass, H. J.; Sandhaas, C.: Ingenieurholzbau – Grundlagen der Bemessung. KIT Scientific Publishing, Karlsruhe 2016.
Blaß, H. J.; Flaig, M.: Stabförmige Bauteile aus Brettsperrholz. KIT Scientific Publishing, Karlsruhe 2012, DOI 10.5445/KSP/1000030362.
Forest Products Laboratory: Wood Handbook FPL-GTR-282. USDA, Madison WI 2021.
Niemz, P.; Sonderegger, W.: Physik des Holzes und der Holzwerkstoffe. Hanser, München 2017.
Mönck, W.; Rug, W.: Holzbau – Bemessung und Konstruktion.
Aufl., Beuth, Berlin 2015.

Korpus (nicht autoritativ):

Wikipedia, Lemma „Hankinson's equation" (abgerufen 2026-05-08).

Quelle herunterladen¶

Markdown Plain Text BibTeX