Kehlsparren

Prosa-Definition¶

Ein Kehlsparren ist ein Stab-Bauteil eines Dachtragwerks in der Bauteilrolle eines Sparrens, dessen Bauteilachse auf der Kehllinie zweier benachbarter Dachflächen liegt — also auf einer geneigten, konkaven Schnittkante zweier Trägerebenen — und das die Lasten beider anliegender Dachflächen-Anteile zusammen mit der in der Kehle konzentriert ablaufenden Wasserführungs- und Schneeansammlungs-Last entlang seiner Längsachse zwischen einem Trauf-Innen-Eckpunkt am Fuß und einem Firstend-Punkt am Kopf abträgt.

Mathematische Definition¶

Sei

B ein Bauteil im Sinne von bauteil mit Stabgeometrie (geometrie ∈ 𝒢_stab),
a(B) = Bauteilachse.Gerade(p_a, p_e) die Bauteilachse von B im geraden Fall (siehe bauteilachse), mit d_hat_K := (p_e − p_a) / ‖p_e − p_a‖ ∈ S² ⊂ ℝ³,
𝒟 = {D_1, …, D_m} eine Dachflächenfamilie im Sinne von dachflaeche,
D_i = (E_i, P_i, n_{a,i}) und D_j = (E_j, P_j, n_{a,j}) zwei verschiedene Dachflächen aus 𝒟 mit i ≠ j,
s_{ij} ⊂ ℝ³ eine Kehlstrecke im Sinne von hg_kehle.md, also eine Schnittstrecke s_{ij} = F(P_i) ∩ F(P_j), die die Kehlen-Bedingungen (1)–(2) aus hg_kehle.md erfüllt (geneigt, konkav, beide äußeren Normalen in oberer Halbkugel, Spatprodukt ⟨n_hat_{a,i} × n_hat_{a,j}, t_hat⟩ < −ε_W),
t_hat := (b_{ij} − a_{ij}) / ‖b_{ij} − a_{ij}‖ ∈ S² die Tangente von s_{ij} mit s_{ij} = [a_{ij}, b_{ij}] und (Vorzeichenkonvention aus hg_kehle.md) ⟨t_hat, e_z⟩ > 0 (bergauf orientiert),
e_z := (0, 0, 1)ᵀ die vertikale Achse,
ε_W := Toleranzen.WINKEL_EPS die Winkeltoleranz,
ε_K := Toleranzen.KOLLINEAR_EPS die Kollinearitätstoleranz,
ε_L := Toleranzen.LAENGE_EPS die Längentoleranz.

Dann heißt B ein Kehlsparren der Kehlstrecke s_{ij} der Dachflächenfamilie 𝒟 genau dann, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

Stabgeometrie: B besitzt eine gerade Bauteilachse mit ‖p_e − p_a‖ > ε_L.
Endpunkt-Inzidenz: Beide Endpunkte der Bauteilachse liegen auf der Kehllinie der Kehlstrecke s_{ij} im Sinne der Punkt-Gerade-Inzidenz; konkret existieren Skalare s_a, s_e ∈ ℝ mit
```
p_a = a_{ij} + s_a · (b_{ij} − a_{ij}),
p_e = a_{ij} + s_e · (b_{ij} − a_{ij}),
```
und der zur Kehllinie rechtwinklige Abstand beider Endpunkte ist kleiner-gleich ε_L (Lage-Toleranz auf der Schnittgeraden der beiden Trägerebenen E_i und E_j).
Kehllinien-Kollinearität (Ersatz für die Falllinien-Kollinearität aus hg_sparren.md Bed. 3): Die Bauteilachsenrichtung ist kollinear zur Kehllinien-Tangente,
```
‖d_hat_K × t_hat‖ ≤ ε_K,
```
d. h. der Winkel zwischen d_hat_K und t_hat ist 0 oder π (modulo der numerischen Sinus-Toleranz nach §4 HG-Konvention für Parallelitäts-Prädikate).
Vorzeichenkonvention (Kehlsparrenrichtung von Trauf-Innenecke zu Firstend-Punkt): Die Bauteilachse ist so gerichtet, dass d_hat_K in dieselbe Halbkugel wie t_hat weist, also bergauf:
```
⟨d_hat_K, t_hat⟩ ≥ +1 − ε_W,
```
äquivalent ⟨d_hat_K, e_z⟩ > 0. p_a ist damit der Kehlsparrenfuß (am Trauf-Innen-Eckpunkt zweier zusammentreffender Dachflächen), p_e der Kehlsparrenfirstpunkt (am Firstend-Punkt der Kehllinie bzw. am Verschneidungs-Knoten unter dem First).
Zuordnung zu genau einer Kehlstrecke: B ist Kehlsparren einer eindeutig bestimmten Kehlstrecke s_{ij} der Familie 𝒟; die Wahl von s_{ij} ist die Zuordnung des Bauteils und nicht selbst Bestandteil der Bauteilgeometrie.

Wesentliche abgeleitete Größen:

Kehlsparrenlänge: L_{S,K} := ‖p_e − p_a‖ (in mm), entlang der Bauteilachse zwischen Kehlsparrenfuß und Kehlsparrenfirstpunkt.
Kehlsparrenneigung (= Kehlneigung der zugeordneten Kehlstrecke, siehe hg_kehle.md, abgeleitete Operation kehlneigung()):
```
α_K := arcsin(|⟨t_hat, e_z⟩|) = arcsin(⟨d_hat_K, e_z⟩).
```
Wertebereich α_K ∈ (0, π/2) bei nicht-entarteten Verschneidungs- Kehlen.
Kehlsparrenfuß und Kehlsparrenfirstpunkt (als Punkte): F_{fuß,K} := p_a, F_{first,K} := p_e.

Abgeleiteter Satz — Reduktions-Formel der Kehlsparrenneigung¶

Für gleichgeneigte anliegende Dachflächen D_i und D_j mit gemeinsamer Dachneigung α und einem Plan-Winkel β_plan zwischen der Grundrissprojektion der Kehllinie und der Trauflinie einer der beiden Dachflächen gilt

tan(α_K) = tan(α) · cos(β_plan).                                  (★)

Herleitung aus den Primitiven: Die Herleitung ist exakt parallel zur Gratsparren-Reduktionsformel aus hg_gratsparren.md. Sei π_xy: ℝ³ → ℝ² die Projektion in die Horizontalebene. Die Schnittgerade s_{ij} ⊂ ℝ³ projiziert auf eine Gerade π_xy(s_{ij}) ⊂ ℝ². Sei e_hat_t := (t_hat_x, t_hat_y, 0) / ‖(t_hat_x, t_hat_y)‖ der normierte Grundrissrichtungs- vektor der Kehllinie und e_hat_fall(E_i) die Falllinie der Dachfläche D_i (siehe hg_falllinie.md). Dann gilt nach Konstruktion

cos(β_plan) = |⟨e_hat_t, π_xy(e_hat_fall(E_i)) / ‖π_xy(e_hat_fall(E_i))‖⟩|.

Aus der Geneigtheits-Bedingung (hg_kehle.md Bed. 1) und der Tatsache, dass t_hat in beiden Trägerebenen E_i und E_j liegt (s_{ij} = E_i ∩ E_j), folgt durch Aufspaltung von t_hat in seinen horizontalen Anteil und e_z-Anteil mit Höhenfunktion z auf E_i

⟨t_hat, e_z⟩ / ‖(t_hat_x, t_hat_y)‖ = tan(α) · cos(β_plan)

und damit tan(α_K) = ⟨t_hat, e_z⟩ / ‖(t_hat_x, t_hat_y)‖ = tan(α) · cos(β_plan). ∎

Vorzeichen-Unabhängigkeit: Die Reduktionsformel hängt nicht vom Vorzeichen des Spatprodukts ⟨n_hat_{a,i} × n_hat_{a,j}, t_hat⟩ ab, das die Konvexität (Gratstrecke, positiv) von der Konkavität (Kehlstrecke, negativ) trennt. Sie liefert daher dieselbe Reduktion für Gratsparren und Kehlsparren — die Schnittgeraden-Neigung ist eine Eigenschaft der beiden Trägerebenen, nicht ihrer Außenseiten-Orientierung. Diese Identität ist im angelsächsischen Korpus ausdrücklich festgehalten: „A regular hip rafter and a regular valley rafter on the same roof typically have the same slope if both roof planes have the same pitch."

Im symmetrischen Spezialfall (gleichgeneigte Dachflächen mit horizontalen, rechtwinklig zueinander stehenden Traufen) ist die Grundrissprojektion der Kehllinie die Winkelhalbierende der beiden Trauflinien-Polygon-Kanten und damit β_plan = 45°, woraus folgt

tan(α_K) = tan(α) / √2.                                          (★★)

(★) ist ein abgeleiteter Satz, kein Definitionsbestandteil; die Definition selbst (Bed. 1–5 oben) verwendet ausschließlich die Primitive Punkt, Vektor, Strecke, Ebene und die bereits definierten Begriffe bauteil, bauteilachse, sparren, kehle, dachflaeche.

Wohldefiniertheit¶

Existenz: Für jede Verschneidungs-Dachkonstruktion mit nicht- entarteten Kehlstrecken existiert in der Standardkonfiguration genau ein Kehlsparren pro Kehlstrecke; das ist die übliche Verschneidungs-Konstruktion (zwei Kehlsparren bei einem T-förmigen Sattel-an-Sattel-Anbau, mehrere bei Gaube-an- Hauptdach). Bed. 1–5 sind konstruktiv erfüllbar.
Eindeutigkeit der Vorzeichenkonvention: Aus der Geneigtheits-Bedingung der Kehlstrecke (hg_kehle.md Bed. 1) folgt ⟨t_hat, e_z⟩ > ε_W, also t_hat ≠ −t_hat als Tangentenwahl. Bed. 3 und 4 zusammen fixieren d_hat_K = +t_hat (modulo ε_K, ε_W). Die alternative Orientierung d_hat_K = −t_hat ist durch Bed. 4 ausgeschlossen.
Asymmetrie zum Oberbegriff sparren — explizite Auflösung: In hg_sparren.md lauten die zentralen geometrischen Bedingungen:
Bed. 2: beide Endpunkte der Bauteilachse liegen in der Trägerebene einer zugeordneten Dachfläche;
Bed. 3: die Bauteilachsenrichtung ist kollinear zur Falllinie dieser einen Dachfläche.

Für den Kehlsparren sind beide Bedingungen strukturell verletzt — exakt parallel zum Gratsparren (siehe hg_gratsparren.md, Wohldefiniertheits-Block): - Die Bauteilachse liegt auf der Schnittgeraden zweier Trägerebenen E_i und E_j; sie liegt also in der gemeinsamen Schnittgeraden beider, aber sie verläuft nicht entlang einer Falllinie, denn die Schnittgerade zweier nicht-paralleler, geneigter Ebenen ist nicht die Falllinie einer der beiden (außer in entarteten Sonderfällen). Diese strukturelle Asymmetrie ist Vorzeichen-unabhängig und betrifft Gratsparren und Kehlsparren gleichermaßen. - Genau diese Asymmetrie ist in hg_sparren.md Sektion „Wohldefiniertheit / Mehrfachzuordnung" antizipiert: „bei Verschneidungs-Sparren (Gratsparren, Kehlsparren), die auf zwei Dachflächen liegen, ist die Falllinien-Kollinearitätsbedingung nicht zu beiden Dachflächen gleichzeitig erfüllbar, weshalb diese Sonderformen eigene Begriffsdefinitionen erhalten".

Die hiesige Definition löst die Asymmetrie auf, indem sie: - Bed. 2 von hg_sparren.md durch eine Endpunkt-Inzidenz auf einer Kehlstrecke s_{ij} (Bed. 2 hier) ersetzt; - Bed. 3 von hg_sparren.md durch eine Kehllinien-Kollinearität zur Tangente t_hat (Bed. 3 hier) ersetzt; - Bed. 4 von hg_sparren.md als bergauf-Orientierung relativ zu t_hat statt zu e_hat_fall übernimmt (Bed. 4 hier).

Die geerbte konstruktive Rolle des Oberbegriffs sparren (Stab-Bauteil eines Dachtragwerks, geneigt, lastabtragend, Bauteilachse bergauf orientiert) bleibt damit unverletzt; nur die geometrische Lage-Bedingung wird von der Falllinie einer Einzelfläche auf die Kehllinie der Verschneidung umgehängt.

Konsistenz mit hg_kehle.md: Aus Bed. 3 und Bed. 4 folgt d_hat_K = +t_hat (modulo Toleranzen), wobei t_hat die nach hg_kehle.md Vorzeichenkonvention bergauf gerichtete Kehllinien-Tangente ist. Damit ist der Kehlsparrenfuß stets am unteren Endpunkt a_{ij} der Kehlstrecke (Trauf-Innen-Eckpunkt) und der Kehlsparrenfirstpunkt stets am oberen Endpunkt b_{ij} (Firstend-Punkt der Kehllinie).
Konsistenz mit hg_gratsparren.md — Vorzeichen-Trennung der Bauteilrolle: Die Vorzeichen-Asymmetrie zwischen Gratsparren und Kehlsparren liegt ausschließlich in der Konvexitäts-/Konkavitäts-Bedingung der zugeordneten Schnittstrecke (Spatprodukt der äußeren Normalen mit der aufwärts gerichteten Tangente positiv vs. negativ). Diese Trennung wird von hg_grat.md Bed. 3 (positiv) und hg_kehle.md Bed. 2 (negativ) getragen, ist disjunkt durch das Toleranzband [−ε_W, +ε_W] für entartete Konfigurationen und liefert eine eindeutige Klassifikation jeder geneigten Schnittstrecke s_{ij} einer Dachflächenfamilie als entweder Grat- oder Kehlstrecke. Ein Bauteil B ist daher zu jeder Schnittstrecke der Familie entweder Gratsparren oder Kehlsparren, nie beides.
Reduktions-Formel (★) als Konsequenz, nicht als Axiom: Die Formel tan(α_K) = tan(α)·cos(β_plan) wurde oben aus den Primitiven hergeleitet; sie ist nicht Bestandteil der Definition (Bed. 1–5), sondern beweisbar daraus. Damit ist die Definition konservativ im Sinne der HG-Konventionen: die mathematische Charakterisierung der reduzierten Neigung ist Abkürzung, nicht Axiom.
Mehrfachzuordnung — gegenseitige Disjunktheit der Sparren-Spezialisierungen: Ein Bauteil B kann nicht gleichzeitig
Sparren einer einzelnen Dachfläche im Sinne von hg_sparren.md und Kehlsparren einer Kehlstrecke s_{ij} sein (die Falllinien-Kollinearität aus hg_sparren.md Bed. 3 ist mit der Kehllinien-Kollinearität aus Bed. 3 hier nicht gleichzeitig erfüllbar);
Gratsparren einer Gratstrecke und Kehlsparren einer Kehlstrecke sein (die Konvexitäts- und Konkavitäts-Bedingungen der zugeordneten Schnittstrecken aus hg_grat.md Bed. 3 und hg_kehle.md Bed. 2 sind disjunkt durch das Spatprodukt- Vorzeichen).
Nicht-Zirkularität: Die Definition stützt sich nur auf bereits definierte Begriffe (bauteil, bauteilachse, sparren, kehle, dachflaeche, strecke, einheitsvektor, ebene, dachneigung, weltkoordinatensystem, toleranzen). Sie kommt nicht in ihrer eigenen Definition vor und verweist nicht auf Kehlsparren-Spezialisierungen oder Bearbeitungs- Folgegeometrie (Abkehlung, Absenkung, Anhebung).
Auflagerung (qualitativ, nicht Bestandteil der Definition): Ein Kehlsparren wird im Tragwerk typischerweise gestützt durch
eine durchlaufende Fußpfette der höheren Hauptdachfläche plus seitlich anschließende Pfette am Kehlsparrenfuß (am Trauf-Innen-Eckpunkt); anders als der Gratsparren liegt der Fuß nicht an einem Eck-Pfettenstoß zweier endender Fußpfetten, sondern an einer durchlaufenden Pfette;
einen Firstpfetten-Knoten oder einen Verschneidungs-Knoten unter dem First am Kehlsparrenfirstpunkt.

Die Auflagerung ist Eigenschaft des Tragwerks (siehe hg_tragwerk.md), nicht des Kehlsparrens selbst. Die zugehörigen Bearbeitungen (Kerve am Fuß, Firstanschnitt, Backenschnitte, Abkehlung, Hexenschnitt) sind partitive Bestandteile des Kehlsparrens, nicht Bestandteile der Definition.

Erläuterung (nicht normativ)¶

Der Kehlsparren ist das diagonale Hauptbauteil einer Verschneidung: er erscheint überall dort, wo zwei Dachflächen in einer Innenecke zusammentreffen — typische Fälle sind ein T-förmiger Sattel-an-Sattel-Anbau (zwei Kehlsparren beidseits an der Schnittstelle), eine Dachgaube an einem Hauptdach (zwei Kehlsparren seitlich der Gaube) oder ein Walm-an-Sattel-Übergang ungleichgeneigter Dächer.

Geometrische Charakterisierung — die geringere Neigung¶

Wie der Gratsparren weist auch der Kehlsparren eine geringere Neigung gegenüber den anliegenden Sparren auf, denn die Reduktionsformel tan(α_K) = tan(α)·cos(β_plan) hängt nicht vom Vorzeichen der Verschneidung ab, sondern nur von den Ebenenparametern. Im symmetrischen Fall (gleichgeneigte anliegende Dachflächen, rechtwinklige Trauf-Innenecke) gilt

tan(α_K) = tan(α) / √2.

Beispiel: bei einer Dachneigung α = 45° hat der Kehlsparren eine Neigung von α_K = arctan(1/√2) ≈ 35.26° — exakt dieselbe Neigung wie der Gratsparren desselben Daches. Im allgemeinen Fall (ungleichgeneigte Dachflächen) gilt tan(α_K) = tan(α)·cos(β_plan).

Die zimmermannssprachliche Praxis-Faustregel „Kehlsparren sind länger und flacher als normale Sparren" ist die qualitative Lesart dieser Reduktion.

Die drei konstruktiven Asymmetrien zum Gratsparren¶

Auf der mathematischen Linien-Ebene sind Gratsparren und Kehlsparren symmetrische Geschwister — sie unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen des Spatprodukts der äußeren Normalen mit der aufwärts gerichteten Tangente (hg_grat.md Bed. 3 vs. hg_kehle.md Bed. 2). Auf der konstruktiven Ebene brechen jedoch drei substanzielle Asymmetrien auf, die das Bemessungs- und Bearbeitungs-Profil des Kehlsparrens prägen.

(1) Wasserführung und Schneeansammlung. In der Kehle (Innenecke, Konkavität) fließt das Niederschlagswasser beider anliegender Dachflächen zusammen und konzentriert sich auf die Kehllinie. Der Kehlsparren trägt daher

die gesamte Niederschlagslast beider anliegender Dachflächen- Anteile, konzentriert entlang seiner Längsachse;
zusätzlich Schneeansammlungs-Last durch Sackung des Schnees in der Kehlrinne (besonders relevant in der Schweiz und im Voralpenraum; einschlägige Bemessungs-Lastfälle nach SIA 261 bzw. DIN EN 1991-1-3 „Anhäufung in Kehlen").

Der Gratsparren liegt auf der entgegengesetzt orientierten, konvexen Außenecke; Wasser fließt vom Grat abwärts in die beiden anliegenden Dachflächen, der Gratsparren trägt keine konzentrierte Wasser- oder Schneeansammlungs-Last. Diese Lastfall-Asymmetrie ist die zentrale statisch-konstruktive Differenz zwischen den beiden Geschwister-Bauteilen und liefert beim Kehlsparren häufig das maßgebende Bemessungsmoment.

(2) Abkehlung statt Abgratung. Da der unbearbeitete Kehlsparren-Quader mit seiner oberen Längskante über der geometrischen Schnittlinie der beiden Trägerebenen steht (anders als beim Gratsparren, dessen Querschnitt unbearbeitet unter den beiden Trägerebenen liegt), ist die Standard-Werkstück-Lösung inhaltlich gespiegelt:

Abkehlung (regional auch „Kehlung" — Wikipedia „Kehlsparren": „die Abgratung heißt hier Kehlung"): Die obere Längskante wird in der Mitte des Kehlsparrens vertikal weggeschnitten (V-förmige Nut nach unten), so dass die beiden Dachflächen-Trägerebenen bis zur Mitte des Kehlsparrens „durchlaufen" können.
Absenkung (englisch dropping the valley): Der Kehlsparren wird als Ganzes um einen kleinen Betrag vertikal abgesenkt; die Schifter setzen mit ihrer Schmiege bündig auf der Oberkante des Kehlsparrens an. Alternative Lösung mit einfacherem Abbund.
Anhebung mit Oberkante in der Kehllinie (CAD-Standard Dietrich's): Der Kehlsparren wird so positioniert, dass seine Oberkante exakt auf der geometrischen Kehllinie liegt; die Schifter setzen mit Schmiege auf der Oberseite des Kehlsparrens an. Im Werkstück entspricht dies einer unbearbeiteten Oberkante.

Die Abkehlung wird im Glossar als eigener Folge-Begriff hg_abkehlung.md geführt (Folgearbeit, Trigger: erste Visualisierung der Kehlsparren-Oberseite, gemeinsam mit hg_abgratung.md). Begriffliche Eigenständigkeit gegenüber der Abgratung ist im Korpus ausdrücklich belegt.

(3) Schifter-Topologie-Inversion. Die Schifter am Kehlsparren setzen mit doppelter Schmiege an, aber ihre Achsen-Topologie ist umgekehrt zur Gratsparren-Situation:

Am Gratsparren laufen die Gratschifter von der Fußpfette (unten) schräg aufwärts zum Gratsparren und werden von unten angesetzt.
Am Kehlsparren laufen die Kehlschifter von der Firstpfette (oben) schräg abwärts zum Kehlsparren und werden von oben angesetzt (Wikipedia „Schiftung": „Der Kehlschifter beginnt am First und endet am Kehlsparren").

Die Topologie-Inversion zeigt sich auch in der Anschluss-Variante Klauenschifter: am Gratsparren liegt die Klaue auf der Unterkante, am Kehlsparren auf der Oberkante (Kehlklauenschiftung). Die Schifter-Topologie ist Bestandteil der Tragwerks-Komposition (siehe hg_tragwerk.md), nicht der Kehlsparren-Definition.

Verschneidungs-Grundrissprojektion¶

Bei gleichgeneigten anliegenden Dachflächen mit horizontalen Traufen bildet die Grundrissprojektion der Kehllinie — analog zur Gratlinie — die Winkelhalbierende der beiden Trauflinien- Polygon-Kanten (siehe hg_dachausmittlung.md, Folgearbeit). Bei ungleicher Neigung ist die Grundrissprojektion keine Winkelhalbierende mehr, sondern wird über eine Traufhöhen-Hilfslinien-Konstruktion bestimmt — exakt parallel zum Gratsparren-Fall.

Querschnitt und Werkstoff¶

Kehlsparren werden mit größerem Querschnitt ausgeführt als die anliegenden Normal-Sparren, weil sie die Lasten beider anliegender Dachflächen-Anteile plus die Wasser- und Schneeansammlungs-Last tragen. Statisch ist der Kehlsparren häufig ungünstiger als der vergleichbare Gratsparren (Asymmetrie (1) oben); typische Querschnitte sind mindestens so groß wie beim Gratsparren des gleichen Daches, oft eine Sortimentsklasse höher. Die konkrete Querschnittsfindung ist Gegenstand der Bemessung nach SIA 265 / EN 1995-1-1 und liegt nicht im Definitionsbereich dieses Glossars.

Sechs unabhängige Bemessungsprogramme (Frilo DGK, pbs.de 062J, pcae 4H-GRAT, mb-AEC S120, Harzer-Statik, Dietrich's) führen Grat- und Kehlsparren in einem gemeinsamen Modul mit gemeinsamer Geometrie und getrennter Lastfall-Behandlung — die enge Symmetrie auf der Linien-Ebene und die konstruktive Asymmetrie auf der Lastfall-Ebene sind im Software-Pendant strukturell präsent.

Typische Verbindungen und Bearbeitungen am Kehlsparren¶

Kerve am Fuß auf der Fußpfetten-Trauf-Innenecke (Bleischnitt nach hg_kerve.md).
Firstanschnitt als oberer Endschnitt am Firstend-Punkt der Kehllinie.
Backenschnitte / Backenschmiege an den seitlichen Anschluss-Flächen für die Schifter — mit umgekehrter Schmiegen-Richtung als beim Gratsparren (Schifter von oben).
Abkehlung der Oberkante (Folgearbeit hg_abkehlung.md).
Hexenschnitt am Fuß zur beidseitigen planaren Anlage von Traufbohle und Stirnbrett — geometrisch gespiegelt zum Gratsparren-Hexenschnitt (Innenecke statt Außenecke). Folgearbeit hg_hexenschnitt.md, gemeinsamer Trigger Grat-/Kehlsparren- Bearbeitung; bis dahin Forward-Verweis in abgrenzung_zu: nicht erzwungen.

Diese Bearbeitungen sind partitive Bestandteile von Kehlsparren- Bauteilen (siehe hg_bauteilbearbeitung.md / hg_kerve.md etc.), nicht Bestandteile der Begriffsdefinition.

Sonderfälle¶

Verschneidung Sattel × Sattel (T-Anbau): zwei Kehlsparren beidseits des Anbaus; jeder endet am Firstend-Punkt der niedrigeren Firstlinie auf der höheren Hauptdachfläche.
Verschneidung Dachgaube × Hauptdach: zwei Kehlsparren von den seitlichen Trauf-Innenecken der Gaube aufwärts zum Hauptdach.
Verschneidung Walm × Sattel ungleich: Walm-Gratsparren trifft Kehlsparren-Endpunkt am kombinierten Verschneidungs-Knoten.
Verlängerung über den Trauf-Innenecken-Punkt hinaus (CAD- Konstruktions-Detail, Dietrich's): zur Aufnahme einer Traufbohle kann der Kehlsparren über den Trauf-Innen-Eckpunkt hinausgeführt werden; die Definition bleibt unverändert anwendbar.
Alternative Konstruktion Kehlbohle: statt eines Kehlsparrens kann eine flache Bohlen-Unterlage (Kehlbohle) eingebaut werden, über die die Schifter durchlaufen und an der Kehllinie gegeneinander stoßen. Die Kehlbohle ist kein Synonym, sondern eine andere Tragwerks-Konstruktion (siehe Folgearbeit hg_kehlbohle.md).

Beziehungen¶

Oberbegriff: sparren. Strukturell ist der Kehlsparren eine Bauteilrolle, die die konstruktive Sparrenrolle (Stab-Bauteil, geneigt, lastabtragend, bergauf orientiert) erbt, aber die Falllinien-Kollinearität (hg_sparren.md Bed. 3) durch eine Kehllinien-Kollinearität ersetzt. Diese Asymmetrie ist in hg_sparren.md Sektion „Mehrfachzuordnung" explizit antizipiert und in hg_gratsparren.md parallel ausgeführt.
Geschwister-Begriffe (andere Sparren-Spezialisierungen):
gratsparren: mathematisch exakt symmetrisches Gegenstück auf einer konvexen Gratstrecke statt einer konkaven Kehlstrecke; konstruktive Asymmetrien siehe Erläuterungs-Block.
schifter / schiftsparren (Folgearbeit): verkürzte Sparren, die am Kehlsparren mit Schmiege ansetzen (topologisch komplementär, nicht synonym; Schifter laufen am Kehlsparren von oben nach unten — Topologie-Inversion gegenüber dem Gratsparren).
Bestandteile (partitiv):
Bauteilachse (bauteilachse.Gerade, vom Bauteil geerbt) mit Kehlsparrenfuß als Anfangs- und Kehlsparrenfirstpunkt als Endpunkt;
Querschnitt (vom Bauteil geerbt; rechteckig, typisch mindestens wie Gratsparren des gleichen Daches);
Werkstoff (vom Bauteil geerbt; Vollholz oder BSH);
Faserrichtung (Annotation, Default ‖ d_hat_K);
Abkehlung (partitive Bearbeitung, Folgearbeit hg_abkehlung.md);
Kerven am Fuß (siehe hg_kerve.md).
Verwendung / Beziehung zu anderen Bauteilen:
Kehle (kehle): geometrische Schnittkante zweier Dachflächen, auf der die Bauteilachse des Kehlsparrens liegt; das ist die konstitutive Beziehung.
Dachfläche (dachflaeche): der Kehlsparren ist genau zwei Dachflächen gleichzeitig zugeordnet (D_i und D_j); seine Bauteilachse liegt auf E_i ∩ E_j.
Firstpfette (firstpfette): das obere Auflager des Kehlsparrens (Firstend-Punkt der Kehllinie) liegt typischerweise an einem Firstpfetten-Knoten der höheren Hauptdachfläche.
Fußpfette (fusspfette): das untere Auflager des Kehlsparrens liegt am Trauf-Innen-Eckpunkt auf einer durchlaufenden Fußpfette der höheren Hauptdachfläche (Asymmetrie zum Gratsparren, dessen Fuß an einem Eck-Pfettenstoß zweier endender Fußpfetten liegt).
Schifter (schifter, Folgearbeit): seitliche Anschluss- Sparren, die mit doppelter Schmiege am Kehlsparren ansetzen. Anders als am Gratsparren laufen die Schifter am Kehlsparren von oben (Firstpfette) abwärts an.
Abgrenzung:
Sparren (sparren): der allgemeine Sparrenbegriff verlangt Falllinien-Kollinearität in einer einzelnen Dachfläche (hg_sparren.md Bed. 3); der Kehlsparren erfüllt diese Bedingung gerade nicht, sondern verlangt stattdessen Kehllinien-Kollinearität. Die Asymmetrie ist in hg_sparren.md Sektion „Mehrfachzuordnung" antizipiert und oben im Wohldefiniertheits-Block ausgeführt.
Gratsparren (gratsparren): mathematisch exakt symmetrisches Geschwister auf einer konvexen Gratstrecke (hg_grat.md Bed. 3, positives Spatprodukt) statt einer konkaven Kehlstrecke (hg_kehle.md Bed. 2, negatives Spatprodukt). Konstruktiv asymmetrisch in Wasserführung, Oberkanten-Bearbeitung (Abgratung vs. Abkehlung) und Schifter-Topologie — siehe Erläuterungs-Block.
Schifter (schifter, Folgearbeit): die Schifter setzen am Kehlsparren an; sie sind topologisch komplementär, kein Synonym. „Verschneidungssparren" wird regional mehrdeutig sowohl für Kehlsparren als auch für Schiftsparren verwendet und ist daher als Hauptbenennung ungeeignet.
Kehle (kehle): die geometrische Kante; der Kehlsparren ist das Bauteil entlang dieser Kante. Die Kehle ist eine Dachkante (partitive Geometrie der Dachflächenfamilie), der Kehlsparren ein Bauteil mit Bauteilachse auf dieser Kante.
Kehlbohle (Folgearbeit hg_kehlbohle.md): alternative Konstruktion einer Verschneidung als flache Bohlen-Unterlage statt eines tragenden Kehlsparrens; kein Synonym, sondern andere Lastabtragungs-Topologie.
Kehlblech (Folgearbeit hg_kehlblech.md / hg_kehlrinne): wasserführende Blechabdeckung über dem Kehlsparren oder über der Kehlbohle; Eindeckungsbauteil, keine Begriffsüberschneidung mit dem Kehlsparren.
Kehlbalken (Folgearbeit hg_kehlbalken.md): Verwechslungsfalle, kein Synonym. Der Kehlbalken ist der horizontale Querriegel im Kehlbalkendach, der zwei gegenüberliegende Sparren als Zugband oder Druckriegel überspannt — ein vollständig anderer Bauteilbegriff. Beide Begriffe stehen weder in einer Spezialisierungs- noch in einer Synonymie-Beziehung; die gemeinsame Wortwurzel „Kehl-" ist rein lexikalisch.
Dachfläche (dachflaeche): zweidimensionales geometrisches Bauteil; der Kehlsparren liegt nicht in einer einzelnen Dachfläche, sondern auf der Schnittgeraden zweier Dachflächen.
Dachseite (dachseite): orientierungs-annotierte Dachfläche; nicht selbst Träger des Kehlsparrens, sondern Sicht auf die Dachfläche.
Firstpfette (firstpfette): horizontaler Längsträger am First; der Kehlsparren stößt am Firstend-Punkt typisch an einen Firstpfetten-Knoten, ist aber kein Pfettenbauteil.
Fußpfette (fusspfette): horizontaler Längsträger an der Traufe; der Kehlsparren stößt am Trauf-Innen-Eckpunkt typisch an eine durchlaufende Fußpfette (nicht an einen Eck-Stoß wie beim Gratsparren).
Kerve (kerve): partitive Bearbeitung am Kehlsparren-Fuß auf der Fußpfetten-Stoßstelle; nicht selbst Sparren.
Abkehlung (Folgearbeit hg_abkehlung.md): partitive Bearbeitung der oberen Längskante des Kehlsparrens; nicht Bestandteil der Definition. Begrifflich eigenständig gegenüber der Abgratung (Bearbeitung am Gratsparren) — Wikipedia „Kehlsparren": „die Abgratung heißt hier Kehlung".
Verschneidungssparren (Folgearbeit hg_verschneidungssparren.md): regional unscharfer Oberbegriff für Grat- und Kehlsparren bzw. Schiftsparren; in der Schweiz und Süddeutschland selten und mehrdeutig.
Schiftsparren (schiftsparren, Folgearbeit): Synonym zu Schifter; siehe oben.

Implementierungshinweis¶

Datentyp (Domänen-Schicht, Kotlin, Schicht domain.bauteil):

package domain.bauteil

import domain.Toleranzen
import domain.bauteil.Bauteil
import domain.bauteil.Bauteilachse
import domain.bauteil.BauteilId
import domain.bauteil.Kehle
import domain.geometrie.Einheitsvektor
import domain.geometrie.Punkt

/**
 * Kehlsparren als Bauteilrolle: Stab-Bauteil entlang einer
 * Kehlstrecke (geneigte konkave Schnittkante zweier Dachflächen).
 *
 * Glossar: hg_kehlsparren.md
 *
 * Asymmetrie zum Oberbegriff Sparren:
 *   Die Falllinien-Kollinearität aus hg_sparren.md Bed. 3 wird durch
 *   eine Kehllinien-Kollinearität ersetzt; statt einer einzelnen
 *   Dachfläche ist eine Kehlstrecke s_{ij} zugeordnet (Lage auf der
 *   Schnittgeraden zweier Trägerebenen).
 *
 * Symmetrie zum Schwester-Begriff Gratsparren:
 *   Auf der Linien-Ebene mathematisch exakt symmetrisch — Unterschied
 *   ausschließlich im Vorzeichen des Spatprodukts der äußeren
 *   Normalen mit der aufwärts gerichteten Tangente
 *   (positiv → Grat, negativ → Kehle). Auf der Konstruktions-Ebene
 *   asymmetrisch in Wasserführung (Kehlsparren trägt konzentrierte
 *   Niederschlags- und Schneeansammlungs-Last), Oberkanten-
 *   Bearbeitung (Abkehlung statt Abgratung) und Schifter-Topologie
 *   (Schifter von oben statt von unten).
 *
 * Vorzeichenkonvention (normativ):
 *   p_a = Kehlsparrenfuß       (am Trauf-Innen-Eckpunkt)
 *   p_e = Kehlsparrenfirstpunkt (am Firstend-Punkt der Kehllinie)
 *   d_hat_K zeigt bergauf (⟨d_hat_K, e_z⟩ > 0), kollinear zur
 *   aufwärts gerichteten Kehllinien-Tangente t_hat.
 */
data class Kehlsparren(
    val bauteil: Bauteil,
    val kehle: Kehle,                // zugeordnete Kehlstrecke (Regulaer-Variante)
) {
    init {
        require(bauteil.geometrie is Bauteilgeometrie.Stab) {
            "Kehlsparren erfordert Stabgeometrie"
        }
        // Lage- und Kehllinien-Bedingungen werden in der Factory
        // kehlsparrenAusBauteil(...) geprüft und liefern bei Verletzung
        // ein Resultat.Fehler mit KehlsparrenEntartet-Variante (siehe unten).
    }

    val kehlsparrenfuss: Punkt        get() = achse().anfang
    val kehlsparrenfirstpunkt: Punkt  get() = achse().ende
    val laenge: Double                get() = achse().laenge          // mm
    val kehlsparrenneigung: Double                                     // rad
        get() = kehle.kehlneigung()

    private fun achse(): Bauteilachse.Gerade =
        (bauteil.geometrie as Bauteilgeometrie.Stab).achse as Bauteilachse.Gerade
}

sealed class KehlsparrenEntartet {
    object NichtAufKehllinie         : KehlsparrenEntartet()
    object NichtKollinearZurTangente : KehlsparrenEntartet()
    object FalscheRichtung           : KehlsparrenEntartet()   // d_hat_K zeigt bergab
    object Nullachse                 : KehlsparrenEntartet()
    object EntarteteKehlstrecke      : KehlsparrenEntartet()
}

Einheit: Längen in mm (Double), Winkel intern in Radiant.
Identität: BauteilId aus dem zugrunde liegenden Bauteil.
Invarianten (in der Factory kehlsparrenAusBauteil(...) prüfen, bei Verletzung Resultat.Fehler mit der jeweiligen KehlsparrenEntartet-Variante; niemals Exception):
Stabgeometrie und Bauteilachse vom Typ Bauteilachse.Gerade.
Achsenlänge > Toleranzen.LAENGE_EPS — sonst Nullachse.
Zugeordnete Kehlstrecke kehle ist Kehle.Regulaer mit wohldefinierten Endpunkten — sonst EntarteteKehlstrecke.
p_a und p_e liegen auf der Kehllinien-Geraden bis ε_L — sonst NichtAufKehllinie.
‖d_hat_K × t_hat‖ ≤ Toleranzen.KOLLINEAR_EPS — sonst NichtKollinearZurTangente. (§4 HG-Konvention: Kollinearitäts-Test über das normierte Kreuzprodukt mit KOLLINEAR_EPS, nicht über WINKEL_EPS.)
⟨d_hat_K, t_hat⟩ ≥ +1 − Toleranzen.WINKEL_EPS — sonst FalscheRichtung (Konsumenten können durch Achsen-Umkehr automatisch korrigieren).
Edge Cases:
Verschneidung Sattel × Sattel (T-Anbau): Kehlsparren endet am Firstend-Punkt der niedrigeren Firstlinie auf der höheren Hauptdachfläche; die Definition bleibt anwendbar.
Verschneidung Dachgaube × Hauptdach: zwei Kehlsparren seitlich der Gaube; jeder erfüllt die Definition gegen seine eigene Kehlstrecke.
Ungleichgeneigte Verschneidung: Reduktions-Formel (★) bleibt gültig mit β_plan ≠ 45°; die Definition unverändert anwendbar.
Kehlsparren mit Verbearbeitung (Abkehlung, Absenkung, Anhebung): die Bauteilachse bleibt die geometrische Schwerlinie; die Bearbeitungen sind separate Geometrie- Modifikationen am Bauteil und nicht Bestandteil der Kehlsparren-Definition.
Verlängerung über den Trauf-Innen-Eckpunkt hinaus: p_a liegt auf einer Verlängerung der Kehllinien-Geraden jenseits von a_{ij}; die Definition bleibt anwendbar, sofern p_a auf der Geraden durch s_{ij} liegt (Bed. 2 testet Inzidenz auf der Gerade durch die Kehlstrecke, nicht Enthaltensein in der Strecke selbst).
Sehr kleine Verschneidungsflächen / kurze Kehlstrecke: bei ‖s_{ij}‖ → ε_L wird die Kehlstrecke entartet; in diesem Fall liefert die Factory EntarteteKehlstrecke.
Abgeleitete Eigenschaften (als Funktionen):
kehlsparrenneigung(): Double — = Kehlneigung der zugeordneten Kehlstrecke, in Radiant. Es gilt tan(α_K) = tan(α) · cos(β_plan) mit α = min(D_i.dachneigung(), D_j.dachneigung()) bzw. allgemein der dachflächen-spezifischen Falllinien-Neigung (Reduktions-Formel als Konsequenz, nicht als Code- Berechnungs-Identität).
dachflaechenPaar(): Pair<Dachflaeche, Dachflaeche> — die beiden zugeordneten Dachflächen (D_i, D_j).
planWinkel(d: Dachflaeche): Double — Grundrissprojektions- Winkel β_plan zwischen Kehllinie und Trauflinie der Dachfläche d; Bemessungs-Hilfsfunktion.
Bezeichner-Konvention (CLAUDE.md): Klasse heißt Kehlsparren (deutsch, Glossarbegriff); zugeordnete Kehlstrecke ist Kehle.Regulaer.

Quellen¶

Primär (normativ):

SIA 232/1:2020, „Geneigte Dächer", Schweizerischer Ingenieur- und Architektenverein, Zürich, Abschnitt 1.
SIA 265:2021, „Holzbau", Schweizerischer Ingenieur- und Architektenverein, Zürich, Abschnitt 4 und 5.
DIN EN 1995-1-1:2010-12, „Eurocode 5: Bemessung und Konstruktion von Holzbauten – Teil 1-1: Allgemeines", Abschnitt 5 und 6.
DIN 1356-1:1995-02, „Bauzeichnungen – Teil 1: Arten, Inhalte und Grundregeln der Darstellung", Abschnitt 5.
DIN 18338:2019-09, „VOB Teil C: Dachdeckungs- und Dachabdichtungsarbeiten", Abschnitt 0.
DIN 1052:2008-12, „Entwurf, Berechnung und Bemessung von Holzbauwerken", Abschnitt 8 und 12.

Sekundär:

Lignum (Hrsg.): Holzbautabellen HBT. Lignum, Zürich, aktuelle Auflage.
Lignum (Hrsg.): Lignatec — Geneigte Dächer in Holzbauweise. Lignum, Zürich, aktuelle Auflage.
Mönck, W.; Rug, W.: Holzbau – Bemessung und Konstruktion.
Auflage, Beuth Verlag, Berlin 2015.
Natterer, J.; Herzog, T.; Volz, M.: Holzbau-Atlas. 4. Auflage, Birkhäuser, Basel 2003.
Krämer, V.: Grundwissen des Zimmerers. Bruderverlag, Köln 2006.
Koepf, H.; Binding, G.: Bildwörterbuch der Architektur.
Auflage, Kröner, Stuttgart 2005, Eintrag „Kehlsparren".
Gerner, M.: Fachwerk – Instandsetzung, Sanierung, Neubau. DVA, 7. Auflage 2007.

Korpus (nicht autoritativ):

Wikipedia, Lemmata „Kehlsparren", „Schifter", „Schiftung", „Hexenschnitt", „Walmdach", „Dachausmittlung" (abgerufen 2026-05-14).
zimmerer-treff.com: „Austragung von Kehlsparren"; „Rechnerischer Abbund Kehlsparren".
polybau.ch (Schweiz): „Austragung Kehlsparren / rechnerischer Abbund" (paralleler URL-Pfad zu zimmerer-treff.com).
Greifswalder Zimmerer: „Rechnerischer Abbund Kehlsparren".
Bund Deutscher Zimmermeister, Handbuch „Anleitung Kehl-/ Gratsparrengrafik" und „Kehlbohlengrafik" (zimmerer.de).
zimmererzentrum.de DigiBAU „Austragung Kehlsparren gleiche Dachneigung mit Hexenschnitt".
zimmerin.de „Dachausmittlung".
Zimmerer-Bayern Gesellenprüfung 2019 (Kehlsparren als Prüfungsthema).
baubeaver.de: „Kehlsparren".
dachdecker.com: „Kehlsparren".
Bemessungssoftware: Frilo DGK „Grat- und Kehlsparren"; pbs.de 062J „Holzbau Grat- und Kehlsparren – EC5"; pcae 4H-GRAT „Grat- und Kehlsparren"; mb-AEC S120 „Grat- und Kehlsparren"; Harzer-Statik „Kehlsparren"; Dietrich's „Dachbauteile / Kehlsparren" und Support-Blog „Verlängerung eines Kehlsparrens über den Kehltraufpunkt hinaus".
Angelsächsische Valley-Rafter-Literatur: carpentrycompendium.com „Valley Rafters" („The top of the unbacked valley rafter rises slightly above the geometric intersection and must be cut off."); prebuiltml.com; yourownarchitect.com; roofobservations.com; sbebuilders.blogspot.com (für die Reduktions-Formel und „backing angle for valley" / „dropping the valley" als konstruktive Pendants zu Abkehlung und Absenkung).

Nicht verifizierbar (negativer Befund):

Lignum HBT (aktuelle Auflage), spezifische Begriffsbelegung „Kehlsparren"; online nicht volltext-indiziert.
Lignatec „Geneigte Dächer in Holzbauweise", spezifische Begriffsbelegung „Kehlsparren"; online nicht volltext-indiziert.
SIA 261:2020 Lastfall „Schneeanhäufung in Kehlen" — Existenz vermutet, spezifische Stelle nicht direkt zitiert.
Direkte Volltextstellen Mönck/Rug, Natterer Holzbau-Atlas, Blass/Sandhaas, Gerner, Krämer für „Kehlsparren" — nur über Inhaltsverzeichnis bestätigt.
Koepf/Binding-Eintragstext „Kehlsparren": Pendant zum (wörtlich zitierten) Gratsparren-Eintrag vermutet, nicht direkt zitierbar.

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